2022安徽省阜阳市颍州区育英中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022安徽省阜阳市颍州区育英中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列前项和为，若．则当取最小值时，（

）．（A）6

（B）7

（C）8

（D）9参考答案：A略2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果，那么是函数f(x)的极值点；因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点，以上推理中（

）A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．结论正确参考答案：A因导数函数的零点不一定都是极值点,故大前提错位,应选A．

3.已知是抛物线的焦点,准线与轴的交点为，点在抛物线上,且,则等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A4.把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（

）． A． B． C． D．参考答案：C折叠后的三棱锥如图，易知当平面垂直于平面时三棱锥的体积最大，设的中点为，则即为所求，而是等腰直角三角形，所以，故选．5.已知椭圆过点作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为（

）A.2x-y-3=0

B.2x-y-1=0

C.x+2y-4=0

D.x+2y-1=0参考答案：C6.已知，O是坐标原点，则等于A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.当且时，函数的图象必经过定点（

）A.(1,－2) B.(0,1) C.(－1,2) D.(0,0)参考答案：A【分析】由所给函数的特征确定函数所经过的定点即可.【详解】由函数解析式的特征结合指数函数的性质，令可得，此时，故函数恒过定点.故选：A.【点睛】本题主要考查指数函数的性质，指数函数恒过定点问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0参考答案：A【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．9.已知为椭圆的两个焦点，，如图的顶点A、B在椭圆上，在边AB上，其周长为20，则椭圆的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，则（

）

A．

B．

C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（ax﹣）8的展开式中x2的系数为70，则a=

．参考答案：±1【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2的系数，再根据x2的系数为70，求得a的值．【解答】解：（ax﹣）8的展开式中的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?a8﹣r?，令8﹣=2，求得r=4，故x2的系数为?a4=70，则a=±1，故答案为：±1．12.参考答案：13.ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是AD1、BD的中点，则＝

.（用向量abc表示）参考答案：a－c14.设，式中变量满足下列条件，则的最大值为

．参考答案：

15.已知复数（i是虚数单位），则|z|=．参考答案：1首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，是一个纯虚数，求出模长．解：==，∴|z|=1，故答案为：116.椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是

▲

．参考答案：17.设n为正整数，，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_________________．参考答案：f()≥

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．19.（本小题满分12分）我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：分组频数频率合计（1）求出表中、、、的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.0100.0110.0120.0130.0140.0150.016分数频率/组距300060900120150（2）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在分以上的人数；（3）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．参考答案：解：（1）由频率分布表得,-------1分

所以，---------2分

，．---------3分

直方图如右---------5分

（2）由题意知，全区90分以上学生估计为人．---------7分

（3）设考试成绩在内的3人分别为A、B、C；考试成绩在内的3人分别为a、b、c，

从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：

(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，

(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，

(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)共有15个.---------10分

设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D．

则事件D含有3个结果：(A，B)，(A，C)，(B，C)

---------11分

∴．

---------12分20.设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解：（1）当m=1时，，∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），又，由题意，得的最小值为负，∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去），∴m﹣n＞3；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，则θ'（x）=，设，∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，不妨设δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）?ln2a﹣（ax0﹣1）?lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立．又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根据条件对任意正数x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，∴且，解得且，即时上述条件成立，此时．解法三、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，等价于（ax﹣