2022天津徐庄子中学高三数学理联考试题含解析

2022天津徐庄子中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；类似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为M，则有.上述命题是()A．真命题B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题参考答案：A因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A点在平面BCD内的射影为M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，将S△ABC、S△BCM、S△BCD分别表示出来，可得故选A.2.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A．y=e﹣x B．y=x3 C．y=lnx D．y=|x|参考答案：B【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．【解答】解：对于选项A，y=ex为增函数，y=﹣x为减函数，故y=e﹣x为减函数，对于选项B，y′=3x2＞0，故y=x3为增函数，对于选项C，函数的定义域为x＞0，不为R，对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，故选：B．3.己知集合，，则A∩B=（

）A.(－1,4) B.(0,3] C.[3,4) D.(3,4)参考答案：C【分析】先求出集合A，B，由此能求出.【详解】由变形，得，解得或，∴或.又∵，∴.故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4.已知，存在，使得则等于A．46

B．76

C．106

D．110参考答案：D略5.右图是计算函数的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，参考答案：B略6.已知函数：①；②；③；④；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是(A)②①③④

(B)②③①④

(C)④①③②

(D)④③①②参考答案：D根据幂函数，指数函数，对数函数的图象可知选D.7.已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（

）A.(1,2] B.[2+)

C.(1,3]

D.[3，+)参考答案：C【知识点】双曲线及其几何性质.H6解析：由定义知：|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|=2a+|PF2|，+4a+|PF2|

≥8a，当且仅当=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号,设P（x0，y0）（x0a），由焦半径公式得：|PF2|=-ex0-a=2a，，又双曲线的离心率e＞1，∴e∈（1，3]，故选C．【思路点拨】本题主要考查双曲线的定义及几何性质，均值定理的应用已知为球的直径，是球面上两点，且若球的表面积为，则棱锥的体积为（

）

A． B． C． D．

【答案】A【解析】【知识点】多面体与球.G8

解析：如图，由题意球O的表面积为64π，可得球的半径为：4，知OP=OC=OA=OB=4，AB=6，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=，∠PAC=∠PBC=，AO⊥PC，BO⊥PC，∴PC⊥平面AOB，BP=BC=4，∴S△OAB=×AB×h=×6×=3，∴棱锥A﹣PBC的体积V=×PC×S△OAB==．故选：A．【思路点拨】由题意知OP=OC=OA=OB=4，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=，∠PAC=∠PBC=，求出棱锥A﹣PBC的体积．8.设分程和方程的根分别为和，函数，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略9.已知函数．（1）求方程的解集；（8分）（2）当，求函数的值域。（6分）参考答案：（1）解法一：由，得

1分由，得，（）

4分由，得，，（）．

7分所以方程的解集为

8分解法二：

4分由，得，，，

所以方程的解集为

8分（2）因为

所以

所以

12分所以

14分10.如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点P，以为球心，为半径作一个球设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若幂函数的图象经过点,则的值是

．参考答案：12.若复数满足为虚数单位，则在复平面内所对应的图形的面积为＿参考答案：13.已知△ABC中，，△ABC所在平面内存在点P使得，则△ABC面积的最大值为

▲

．参考答案：14.已知A，B，C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为．参考答案：π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；球．【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【解答】解：设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R=，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴得r2﹣r2=3，得r2=．球的表面积S=4πr2=4π×=π．故答案为：π．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．15.已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为_____.参考答案：{－1，0，1}16.双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_________________。参考答案：或

17.设定义在上的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为

▲

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）

已知函数，其中。（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。参考答案：【知识点】导数的应用B12(1)当时，在定义域上单调递增；当时，单调递增区间：，单调递减区间：；(2)解析：（1）定义域为，……2分①当时，，在定义域上单调递增；……4分②当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减。函数的单调递增区间：，单调递减区间：………………7分（2）对任意恒成立令，所以………………10分在上单调递增，在上单调递减，……12分.【思路点拨】可通过判断导数的符号求函数的单调区间，遇到不等式恒成立求参数范围问题，可先分离参数转化为求函数的最值问题进行解答.19.（本小题满分12分）如图四边形是菱形，平面，为的中点．求证：

（１）∥平面；（２）平面平面

参考答案：（1）PC//OQ

（2）BD⊥AC,BD⊥PA20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．21.选修4—1：几何证明选讲 如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD.(Ⅰ)求证：DE是圆O的切线；(Ⅱ)如果AD=AB=2，求EB.参考答案：略22.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。（1）求证AM//平面BDE；

（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°。参考答案：（1）见解析

（2）60°

（3）P是AC中点(1)记AC与BD的交点为N,连接NE,∵N.M分别是AC.EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形ANEM是平行四边形，

∴AM∥NE。∵平面BDE，平面BDE，

∴AM