2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市龙新中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市龙新中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=sinx+cosx的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=参考答案：A考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简函数f（x）的解析式为f（x）=sin（x+），令x+=kπ+，k∈z，求出x即为函数的对称轴．解答：解：根据和差公式可得f（x）=sinx+cosx=sin（x+）令x+=kπ+，k∈z，可得x=kπ+，k∈z．故选：A．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的对称性，化简函数f（x）的解析式为sin（x+），是解题的关键，属于中档题．2.已知，是由直线，和曲线围成的曲边三角形区域，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则的值是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D区边三角形的面积为，区域的面积为1，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率，所以，所以，选D.3.已知i是虚数单位，则复数

（

）

A．－1－i

B．－1+i

C．1+i

D．1－i参考答案：B4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10:S5＝1:2，则

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B5.满足，且的集合的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案：B略6.已知是定义在上的奇函数，满足,当时,，则函数在区间上的零点个数是

A．3

B．5

C．7

D．9参考答案：D7.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=3，则b的值为（）A．6 B．26 C． D．参考答案：D【考点】余弦定理的应用．【分析】利用三角形的面积公式求出边a；利用三角形的余弦定理求出边b．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=3，∴S=acsinB==3．∴a=6．由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=36+2﹣12×=26．∴b=．故选：D．8.过椭圆(a>b>0)左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量与向量a=(3，-l)共线，则该椭圆的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：B9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝

(

)A．30°

B．60°

C．120°

D．150°参考答案：A略10.在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A． B． C． D．36π参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．因为△ABC内切圆的半径为2，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1内切球半径即可【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=12，△ABC内切圆的半径为r=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．此时球的体积为πR3=，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列{an}中，若a1＜0，S9＝S12，则当n等于________时，Sn取得最小值．

参考答案：10或1112.已知函数，则_____．参考答案：因为，所以．故答案为．13.理：已知数列的通项公式（其中），则该数列的前项和

.参考答案：；14.一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为,则这个三棱柱的体积为________．

参考答案：略15.如图,，且，若，（其中），则终点落在阴影部分（含边界）时，的取值范围是

.

参考答案：16.已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a=．参考答案：-3略17..如图是一个算法的流程图，若输入的值是10，则输出的值是

▲

.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；(Ⅲ)求二面角的大小．参考答案：解析:解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，．

………1分∵平面平面，

又∵，平面．……3分平面，．平面．

………………4分

(Ⅱ)连结，平面，是直线与平面所成的角．……5分设，则，，

……6分，．

即直线与平面所成的角为．

…8分

(Ⅲ)过作于，连结．

…………9分平面，．平面．是二面角的平面角．…10分∵平面平面，平面．．在中，，有．由(Ⅱ)所设可得，，．………11分．．∴二面角等于．

………12分解法二:∵四边形是正方形，，∵平面平面，平面，

……2分∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，是正方形的对角线的交点，．……4分

(Ⅰ)

，，，，…………5分平面．

……6分(Ⅱ)平面，为平面的一个法向量，………7分，．………8分．∴直线与平面所成的角为．……9分

(Ⅲ)设平面的法向量为，则且，且．

即取，则，则．……10分又∵为平面的一个法向量，且，，……11分设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．…………………12分

19.（2016秋?桓台县校级期末）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BD∥EF，BD⊥AC，EF⊥AC，从而EF⊥AO，EF⊥PO，由此能证明BD⊥平面POA．（2）设AO∩BD=H，连接BO，以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣O的余弦值．【解答】证明：（1）∵点E，F分别为CD，CB的中点，∴BD∥EF，∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．解：（2）设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴，在Rt△BHO中，，在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO，∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF?平面BFED，∴PO⊥平面BFED，以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则．∴，设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣），∵BD⊥平面POA，AO∩BD=H，∴平面PAO的一个法向量为=（﹣2，0，0），设二面角B﹣AP﹣O的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角B﹣AP﹣O的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.已知等差数列的前5项和为105，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.

参考答案：(I)由已知得：解得,所以通项公式为.……………6分(II)由，得，即.∴是公比为49的等比数列，……………14分略21.已知椭圆C：，直线与椭圆C相交于A、B两点，（其中O为坐标原点）。（1）

试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）

求的最小值。（3）

参考答案：（Ⅰ）点到直线的距离是定值.

设，①当直线的斜率不存在时，则由椭圆的对称性可知，，.∵，即，也就是，代入椭圆方程解得：.此时点到直线的距离.

………2分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立，消去得：，，，

………3分因为，所以，所以，

………4分代入得：，整理得，

………5分到直线的距离.综上所述，点到直线的距离为定值.

………6分（Ⅱ）（法一：参数法）设，，设直线的斜率为，则的方程为，的方程为，

解方程组，得，

同理可求得，故……………9分令，则，令，所以，即………………11分当时，可求得，故，故的最小值为，最大值为2.……………………13分法二：（均值不等式法）由（Ⅰ）可知，到直线的距离.在中，，故有，即，

………9分而（当且仅当时取等号）代入上式可得：，即，（当且仅当时取等号）.

………………11分故的最小值为.

………13分法三：（三角函数法）由（Ⅰ）可知，如图，在中，点到直线的距离.

设，则，故，.……9分所以，，…………11分显然，当，即时，取得最小值，最小值为.

…………13分22.（本小题16分）已知函数且

（I）试用含的代数式表示；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；参考答案：解法一:依题意,得

,--------------------------------------------------2分故.------------------------------------------------------------------------------------4分

由得,故,令,则或,--------------------------------------------------6分①

当时,,当变化时,与的变化如下表:(,)(,)(,)+-+单调递增单调递减单调递增由此得,函数的单调增区间为(,)和(,),单调减区间为(,).②

当时,.此时恒成立,且仅在处,故函数的单调增区间为.③

当时,,同理可得函数的单调增区间为和,单调减区间为.--------------------------------------------------9分综上:当时,函数的单调增区间为(,)和(,),单调减区间为(,);当时,函数的单调增区间为;当时,函数的单调增区间为和,单调减区间为.-------------------------------10分(Ⅲ)当时,得由,得,.由(Ⅱ)得单调区间为和,单调减区间为,所以函数在,处取得极值;故，.------------------------------------------------------------12分所以直线的方程为，由，得-------------------------------14分令.易得，.而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这表明线段与曲线存在异于、的公共点.--------------------------------------------------------------