2021-2022学年湖南省永州市犁头中学高三数学文下学期期末试题

2021-2022学年湖南省永州市犁头中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点A（4，4）在抛物线y2=2px（p＞0）上，该抛物线的焦点为F，过点A作该抛物线准线的垂线，垂足为E，则∠EAF的平分线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣12=0 B．x+2y﹣12=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．x﹣2y+4=0参考答案：D【分析】先求出抛物线方程，再抛物线的定义可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线，从而可得结论．【解答】解：∵点A（4，4）在抛物线y2=2px（p＞0）上，∴16=8p，∴p=2∴抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，E（﹣1，4）由抛物线的定义可得|AF|=|AE|，所以∠EAF的平分线所在直线就是线段EF的垂直平分线∵kEF=﹣2，∴∠EAF的平分线所在直线的方程为y﹣4=（x﹣4），即x﹣2y+4=0故选D．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．2.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则函数g（x）=f（x）+1的零点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数f（x）的解析式，利用函数零点的定义进行求解即可．【解答】解：若x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），即f（x）=﹣x2﹣2x，x＜0，当x≥0时，由g（x）=f（x）+1=0得x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，得x=1，当x＜0时，由g（x）=f（x）+1=0得﹣x2﹣2x+1=0，即（x2+2x﹣1=0．即（x﹣1）2=2，得x=1+（舍）或x=1﹣，故函数g（x）=f（x）+1的零点个数是2个，故选：B．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．3.下列说法错误的是（

）A．自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好参考答案：BA，C，D均正确，B错误，故选择B。4.已知向量与不平行，且||=||≠0，则下列结论中正确的是（）A．向量与垂直 B．向量与垂直C．向量与垂直 D．向量与平行参考答案：A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．【分析】求出（）?（）=0，从而得到与垂直．【解答】解：∵向量与不平行，且||=||≠0，∴（）?（）==||2﹣||2=0，∴与垂直．故选：A．5.若则“”是“”

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分与不必要条件参考答案：A略6.抛物线y=x2的准线方程是(

)A.4y+1=0

B.4x+1=0

C.2y+1=0

D.2x+1=0参考答案：7.分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的是（

）A．甲应付钱 B．乙应付钱C．丙应付钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少参考答案：B由分层抽样知识可知，，则甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱.故选：B

8.已知点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，I为三角形的内心，若成立，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.设函数，则实数m的取值范围是

(

）A．B．C．D．参考答案：C10.在四边形ABCD中，，，则（

）A．5

B．－5

C．－3

D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，AA1＝2，则球O的表面积为____________．参考答案：1612.若直线y＝kx与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，则k的值是____．参考答案：略13.等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则公比q=______参考答案：14.已知，，且，则与夹角的余弦值为___________.参考答案：，，．15.已知sinα?cosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=

．参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调性可知当＜α＜时，则cosα﹣sinα＜0，于是可对所求关系式平方后再开方即可．【解答】解：∵＜α＜，∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0，设cosα﹣sinα=t（t＜0），则t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，∴t=﹣，即cosα﹣sinα=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查正弦函数与余弦函数的单调性，判断知cosα﹣sinα＜0是关键，考查分析、运算能力，属于中档题．16.若双曲线的渐近线方程为y=x，则双曲线的焦点坐标是．参考答案：（）

【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，m=3．由此可以求出双曲线的焦点坐标．【解答】解：由题意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴双曲线的焦点坐标是（）．故答案：（）．17.已知在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：4．试题分析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得，，或，所以可得或，，，所以，所以或．故应填4．考点：平面向量的数量积的运算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)(Ⅰ)求点A、B、C、D的直角坐标；(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.参考答案：19.（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）?﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．参考答案：【考点】解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示可得，结合辅助角公式可得f（x）=sin（2x﹣），利用周期公式可求；（Ⅱ）由结合可得，，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有，即b2﹣4b+4=0，解方程可得b，代入三角形面积公式可求．【解答】解：（Ⅰ）=（2分）===（4分）因为ω=2，所以（6分）（Ⅱ）因为，所以，（8分）则a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0则b=2（10分）从而（12分）【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公式．综合的知识比较多，但试题的难度不大．20.(本小题满分12分)已知函数(1)若求函数的单调递减区间;(2)若关于的不等式恒成立，求整数a的最小值.参考答案：【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性【试题解析】（1）因为

此时

由

的单调递减区间为

（2）令，

当时，，

在上是增函数．

又

关于x的不等式不能恒成立．

当时

令

在上是增函数，在上是减函数，

的最大值为．

令上是增函数，

当时，

整数a的最小值为2．21.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．

综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．22.（12分）在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验.已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响.（Ⅰ）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；

（Ⅱ）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率.参考答案：解析：（Ⅰ）解：记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.

----------1分由题意，事件A包括以下两个互斥事件：1事件B：有2件甲批次产品检验不合格.由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式，得；

-------------3分2事件C：3件甲批次产品检验都不合格.由相互独立