2021-2022学年湖南省衡阳市常宁曲潭中学高三数学文月考试题

2021-2022学年湖南省衡阳市常宁曲潭中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略2.已知，执行下列程序框图，则输出结果共有（

）A．3种

B．4种

C．5种

D．6种参考答案：B考点：流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.3.定义在上的函数的导函数为，已知是偶函数且，若且，则与的关系是（

）A.

B.

C.

D.不确定参考答案：C略4.已知函数在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（

）A.[） B.[] C.[） D.[]参考答案：D【分析】化简可得，由是函数含原点的递增区间，又因为函数在上递增，，可列出不等式组，求解得到，又函数在区间上恰好取得一次最大值，可得到不等式，由此求出，综上即可得到结果.【详解】，即，是函数含原点的递增区间，又因为函数在上递增，，得不等式组：，又，又函数在区间上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知，即函数在处取得最大值，可得，，综上，可得.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换化简，根据题中条件列出不等式组是解本题的关键，属难题.5.若曲线在点处的切线与两个坐标轴为成的三角形面积为18，则（）

A．64

B．32

C．16

D．8参考答案：A6.已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx，对定义域内任意x都有f（x）≥kx﹣2，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1﹣] B．（﹣∞，﹣] C．[﹣，+∞） D．[1﹣，+∞）参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题转化为k≤1+﹣对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=1+﹣，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出k的范围即可．【解答】解：f（x）=x﹣1﹣lnx，若对定义域内任意x都有f（x）≥kx﹣2，则k≤1+﹣对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=1+﹣，则g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞e2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e2，故g（x）在（0，e2）递减，在（e2，+∞）递增，故g（x）的最小值是g（e2）=1﹣，故k≤1﹣，故选：A．7.已知集合，，则（

）A.0

B.3

C.4

D.3或4参考答案：D3或48.若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e） B．（e，+∞） C．（0，） D．（1，+∞）参考答案：B【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得=，设g（m）=，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得切线的斜率为1+lnm，由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=，化简可得=，（*），由题意可得方程（*）有两解，设g（m）=，可得g′（m）=，当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．可得g（m）在m=e处取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故选：B．9.函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：A、当时，，所以不正确；B、当时，，所以不正确；D、当时，，所以不正确；综上所述，故选C.1考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.本题主要是利用特殊点排除法解答的.10.如图，在平面四边形ABCD中，若AB=2，CD=3，则=(

)A．﹣5 B．0 C．3 D．5参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】利用向量的三角形法则和数量积运算即可得出．【解答】解：∵=+，=+，∴+=+++=﹣，∴（+）?（+）=（﹣）?（+）=2﹣2=22﹣32=﹣5．故选：A．【点评】熟练掌握向量的三角形法则和数量积运算是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为双曲线的左准线与x轴的交点，点，若满足的点在双曲线上，则该双曲线的离心率为

.参考答案：12.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题:

①若；②，则；③若则且；④若其中正确的命题是

．（写出所有真命题的序号）．参考答案：②④13.设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是______

__.参考答案：14.等差数列前n项和为，已知，

，则=_______.参考答案：4028略15.已知点A1（a1，1），A2（a2，2），…，An（an，n）（n∈N*）在函数y=logx的图象上，则数列{an}的通项公式为；设O为坐标原点，点Mn（an，0）（n∈N*），则△OA1M1，△OA2M2，…，△OAnMn中，面积的最大值是．参考答案：an=（）n,

【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由对数函数可得通项公式，又可得△OAnMn的面积Sn的表达式，由函数的单调性可得．【解答】解：由题意可得n=logan，∴an=（）n，又可得△OAnMn的面积Sn=×an×n=n（）n，构造函数y=x（）x，可判函数单调递减，∴当n=1时，Sn取最大值故答案为：an=（）n；【点评】本题考查对数函数的性质，涉及函数的单调性，属基础题．16.若，，，则从小到大的顺序为

.参考答案：试题分析：，，，故.17.如图，等腰三角形OAB的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（3，3），AB与直线y=x交于点C，在△OAB中任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为

．参考答案：考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：求出直线AB的方程与直线y=x交于点C（4，2），再求出面积，即可求出点P落在阴影部分的概率．解答： 解：A，B的坐标分别为（6，0），（3，3），方程为y=﹣x+6，与直线y=x交于点C（4，2），∴阴影部分的面积为=3，∵等腰三角形OAB的面积为=9，∴点P落在阴影部分的概率为P==．故答案为：．点评：本题考查点P落在阴影部分的概率，考查学生的计算能力，确定面积是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某购物网站为了解顾客对某商品的满意度，随机调查50名顾客对该商品的评价，具体数据如下评分12345人数x20105y已知这50位顾客中评分小于4分的顾客占80%．（Ⅰ）求x与y的值；（Ⅱ）若将频率视为概率，现从对该商品作出了评价的顾客中，随机抽取一位，记该顾客的评分为X，求随机变量X的分布列一与数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）列出题意：x+20+10=50×80%，5+y=50×20%，即可求解．（Ⅱ）确定随机变量，分别求解概率，列出分布列，运用公式求解X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，x+20+10=50×80%，5+y=50×20%，解得x=10，y=5．…（Ⅱ），，，，…所以X的分布列为X12345P0.20.40.20.10.1X的数学期望为EX=1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1+5×0.1=2.5．…【点评】本题考查了离散型的概率分布，数学期望，仔细阅读理解题意，利用排列组合知识求解，属于中档题．19.（本小题满分12分）已知数列中，，前项和为（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求满足不等式的值．参考答案：解：（1）由，得当时

∴

，即

，∴（）------3分又，得，

∴，

∴适合上式∴数列是首项为1，公比为的等比数列∴

------------6分（2）∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，∴

-----------…9分又∵，∴不等式＜

即得：＞，

∴n=1或n=2

…………12分

20.(本小题满分13分)已知是定义在上的奇函数，且当时,.(Ⅰ)求当时，的表达式；(Ⅱ)求满足不等式的的取值范围.参考答案：(Ⅰ)当时，，，…………………2分又为奇函数,，…………………4分即．…………5分又，即，……………6分故当时，．……………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上是增函数，…………9分，………………10分即………………11分解得.………13分21.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面ACD；（2）根据三棱锥的体积公式，确定体积最大时的条件，建立空间坐标系，利用向量法即可得到结论．【解答】（1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，…1分，因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC

…2分，因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD

…3分因为CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四边形，BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，…4分，因为DE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD

…5分（2）因为DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知===，，当且仅当AC=BC=2时等号成立

…8分如图所示，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），则=（﹣2，2，0），=（0，0，1），=（0，2，0），=（2，0，﹣1）…9分，设面DAE的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，0，2），设面ABE的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，1，0），…12分，则cos＜＞==，结合图象可以判断二面角D﹣AE﹣B的余弦值为﹣，…13分【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定依据空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法．22.已知函数f（x）=|x﹣|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）证明：f（x）≥2．参考答案：【考点】绝对