2021-2022学年湖南省娄底市十竹中学高三数学理月考试题含解析

2021-2022学年湖南省娄底市十竹中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是

A．870

B．30

C．6

D．3参考答案：B【知识点】程序框图．L1

解析：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B．【思路点拨】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算数列an的各项值，并输出，模拟程序的运行结果，可得答案．2.设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为（）A． B． C．1 D．4参考答案：B【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：不等式表示的平面区域阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线2x﹣y﹣6=0的交点（8，10）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而=．故选B．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3.已知复数，则（

）A.0 B.1 C. D.2参考答案：D【分析】根据复数的运算法则，求得，再根据复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意复数，则，所以，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.已知集合，若，则由a的取值构成的集合为

(A)

(B){0}

(C){0,1}

(D)参考答案：C略5.设集合，，则（

）A．B．C．D．参考答案：【知识点】交集的运算.A1A

解析：因为集合，化简为，所以，故选A.【思路点拨】先化简集合M，再求其交集即可。6.设函数，的零点分别为，则(

)A．

B． C． D．参考答案：B略7.若复数（其中为虚数单位），则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=(

)A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10参考答案：B【考点】等差数列；等比数列．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1?a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．9.“”是“”的（

）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

参考答案：B由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，选B,10.函数在下列哪个区间内是增函数（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：令，由选项知二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数y=f（x），对于任意的x满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，则下列不等式中成立的有．①＜f（）②f（）f（）③f（0）f（）④f（）f（）参考答案：②③④【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】构造函数F（x）=，x，可得函数F（x）在x上单调递增，逐个选项验证可得．【解答】解：构造函数F（x）=，x，则F′（x）=＞0，∴函数F（x）在x上单调递增，∴F（）＞F（），即2f（）＞f（），可得＞f（），①错误；同理可得F（）＜F（），即f（）＜f（），可得f（）f（），②正确；同理F（0）＜F（），即f（0）＜f（），③正确；同理F（）＜F（），即f（）＜2f（），可得f（）f（），④正确．故答案为：②③④【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，利用单调性比较大小，熟记商的导数公式，以之构造出相应函数是解答的关键，属中档题．12.已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则a+b的值为

．参考答案：3【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】方程思想；分析法；导数的综合应用．【分析】求得函数的导数，由题意可得f（1）=10，且f′（1）=0，解a，b的方程可得a，b的值，分别检验a，b，由极大值的定义，即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，由在x=1处取得极大值10，可得f（1）=10，且f′（1）=0，即为1+a+b﹣a2﹣7a=10，3+2a+b=0，将b=﹣3﹣2a，代入第一式可得a2+8a+12=0，解得a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（x﹣1）（3x﹣1），可得f（x）在x=1处取得极小值10；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=（x﹣1）（3x﹣9），可得f（x）在x=1处取得极大值10．综上可得，a=﹣6，b=9满足题意．则a+b=3．故答案为：3．【点评】本题考查导数的运用：求极值，注意运用极值的定义，考查化简整理的运算能力，注意检验，属于基础题和易错题．13.函数的定义域是

．参考答案：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分式函数的定义域求法求定义域即可．【解答】解：要使函数有意义，则x2+x≥0，解得x≥0或x≤﹣1．即函数的定义域为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数的定义域的求法．14.函数在区间上递增，则实数的取值范围是___________．参考答案：考点：1.复合函数的单调性；2.对数函数的性质.【名师点睛】本题考查复合函数的单调性与对数函数的性质，属中档题；复合函数单调性的判断原则是同增异减，即函数，当两个函数均为增函数或均为减函数时，函数为增函数，当两个函数中一个为增函数，一个为减函数时，函数为减函数.15.已知向量，若，则=

▲

．参考答案：16.的展开式中含的系数为50，则a的值为

．参考答案：－1

17.已知A（2，2），B（a，b），对于圆x2+y2=4，上的任意一点P都有=，则点B的坐标为．参考答案：（1，1）【考点】点与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=2（x﹣a）2+2（y﹣b）2，化简可得（2﹣2a）x+（2﹣2b）y+a2+b2﹣2=0，由此可求点B的坐标．【解答】解：设P（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣2）2=2（x﹣a）2+2（y﹣b）2，化简可得（2﹣2a）x+（2﹣2b）y+a2+b2﹣2=0，a=1，b=1时，方程恒成立，∴点B的坐标为（1，1），故答案为（1，1）．【点评】本题考查点与圆的位置关系，考查恒成立问题，正确转化是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。参考答案：

19.（15分）已知数列{an}满足a1=1，Sn=2an+1，其中Sn为{an}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式得到数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，即可求出通项公式，再代值计算即可，（Ⅱ）先求出bn，再根据前n项和公式得到|Tn|，利用放缩法即可证明．【解答】解：（Ⅰ）数列{an}满足Sn=2an+1，则Sn=2an+1=2（Sn+1﹣Sn），即3Sn=2Sn+1，∴，即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，∴（n∈N*）．∴S1=，S2=；（Ⅱ）在数列{bn}中，，Tn为{bn}的前n项和，则|Tn|=|=．而当n≥2时，，即．【点评】本题考查数列的通项及不等式的证明，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）设函数．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．参考答案：解析：（Ⅰ）= = =

故的最小正周期为T=

=8

(Ⅱ)解法一：

在的图象上任取一点，它关于的对称点

.由题设条件，点在的图象上，从而

=

=

当时，，因此在区间上的最大值为解法二：

因区间关于x=1的对称区间为，且与的图象关于x=1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（Ⅰ）知＝

当时，因此在上的最大值为

.21.（本小题满分13分）设函数，其中．（Ⅰ）讨论在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当时，求取得最大值和最小值时的的值.参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，令，得所以当或时，；