高中数学苏教版第3章指数函数对数函数和幂函数 章末过关检测卷(三)

章末过关检测卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．f(x)＝eq\f(1,x)－x的图象关于()A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝eq\f(1,－x)－(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－x))＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案：C2．下列函数为偶函数的是()A．y＝x2＋x B．y＝－x3C．y＝ex D．y＝lneq\r(x2＋1)解析：选项A，C为非奇非偶函数，选项B为奇函数．答案：D3．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(9，3)，则log4f\f(1,4)B．－eq\f(1,4)C．2D．－2解析：设幂函数为f(x)＝xα，则有3＝9α，得α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，f(2)＝eq\r(2)，所以log4f(2)＝log4eq\r(2)＝log44eq\s\up6(\f(1,4))＝eq\f(1,4).答案：A4．函数f(x)＝|logeq\s\do9(\f(1,2))x|的单调递增区间是()A．(0，eq\f(1,2)) B．(0，1)C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)解析：画f(x)＝|logeq\s\do9(\f(1,2))x|的图象如图所示：由图象知单调增区间为[1，＋∞)．答案：D5．已知10m＝2，10n＝4，则10eq\s\up6(\f(3m－n,2))的值为()A．2\r(2)\r(10)D．2eq\r(2)解析：10eq\s\up6(\f(3m－n,2))＝10eq\s\up6(\f(3m,2))÷10eq\s\up6(\f(n,2))＝(10m)eq\s\up6(\f(3,2))÷(10n)eq\s\up6(\f(1,2))＝2eq\s\up6(\f(3,2))÷4eq\s\up6(\f(1,2))＝2eq\f(3,2)－1＝eq\r(2).答案：B6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：由f(0)＝0得b＝－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案：A7．已知函数f(x)＝eq\f(e－x－ex,x)，则其图象()A．关于x轴对称 B．关于y＝x轴对称C．关于原点对称 D．关于y轴对称解析：函数的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝eq\f(ex－e－x,－x)＝eq\f(e－x－ex,x)＝f(x)，所以函数f(x)的偶函数，其图象关于y轴对称．答案：D8．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123f(x)－则函数f(x)一定存在零点的区间是()A．(－∞，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，＋∞)解析：因为f(2)·f(3)＜0，所以f(x)在(2，3)内一定存在零点．答案：C9．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|解析：选项A为奇函数，选项C，D在(0，＋∞)上是减函数．答案：B10．已知0＜a＜1，x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)，y＝eq\f(1,2)loga5，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)，则()A．x＞y＞z B．z＞y＞xC．y＞x＞z D．z＞x＞y解析：x＝logaeq\r(2)＋logaeq\r(3)＝logaeq\r(6)＝eq\f(1,2)loga6，z＝logaeq\r(21)－logaeq\r(3)＝logaeq\r(7)＝eq\f(1,2)loga7.因为0＜a＜1，所以eq\f(1,2)loga5＞eq\f(1,2)loga6＞eq\f(1,2)loga7.即y＞x＞z.答案：C11．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1000＋5x＋eq\f(1,10)x2，Q＝a＋eq\f(x,b)，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有()A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30解析：设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y＝xQ－P＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(x,b)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000＋5x＋\f(1,10)x2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10)))·x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝45，,b＝－30.))答案：A12．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－3，x≤0，,x\s\up6(\f(1,2))，x＞0，))已知f(a)＞1，则实数a的取值范围是()A．(－2，1)B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：当a≤0时，f(a)＝(eq\f(1,2))a－3＞1，解得a＜－2；当a＞0时，f(a)＝aeq\s\up6(\f(1,2))＞1，解得a＞1.综上a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x＜2，,log3（2x－1），x≥2，))则f(f(2))＝________．解析：因为f(2)＝log3(22－1)＝1，所以f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.答案：214．(2023·上海卷)若f(x)＝xeq\s\up6(\f(2,3))－xeq\s\up6(\f(1,2))，则满足f(x)＜0的x的取值范围是________．解析：根据幂函数的性质，由于eq\f(1,2)＜eq\f(2,3)，所以当0＜x＜1时，xeq\s\up6(\f(2,3))＜xeq\s\up6(\f(1,2))；当x＞1时，xeq\s\up6(\f(2,3))＞xeq\s\up6(\f(1,2)).因此f(x)＜0的解集为(0，1)．答案：(0，1)15．若定义运算f(a*b)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a＜b，))则函数f(3x*3－x)的值域是________．解析：由定义可知该函数是求a，b中较小的那一个，所以分别画出y＝3x与y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)的图象，由图象很容易看出函数f(3x*3－x)的值域是(0，1]．答案：(0，1]16．(2023·福建卷)函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x＞0))的零点个数是________．解析：当x≤0时，由x2－2＝0，得x＝－eq\r(2).当x＞0时，f(x)＝2x－6＋lnx是增函数且f(2)＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＞0.所以f(x)在区间(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上可知f(x)的零点有2个．答案：2三、解答题(本题共6个小题，满分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝eq\f(bx,ax2＋1)(b≠0，a＞0)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)若f(1)＝eq\f(1,2)，log3(4a－b)＝eq\f(1,2)log24，求a，b的值．解：(1)f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq\f(－bx,ax2＋1)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)由f(1)＝eq\f(b,a＋1)＝eq\f(1,2)，得a－2b＋1＝0.又log3(4a－b)＝eq\f(1,2)log24＝1，即4a－b＝3.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2b＋1＝0，,4a－b＝3，))解得a＝1，b＝1.18．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．解：(1)因为a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1或x＝3，所以f(x)的不动点为－1和3.(2)由题设知ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，即ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，所以Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒b2－4ab＋4所以(－4a)2－4×4a<0⇒0<故a的取值范围是(0，1)．19．(本小题满分12分)设海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，其中c，k为常量，已知某地某天在海平面的大气压为×105Pa，1000m高空的大气压为×105Pa，求600m高空的大气压强(精确到解：将x＝0，y＝×105；x＝1000,y＝×105,代入y＝cekx得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1×105＝cek·0，,×105＝cek·1000，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝×105，①,×105＝ce1000k.②))将①代入②得：×105＝×105e1000k⇒k＝eq\f(1,1000)×lneq\f,，计算得：k＝－×10－4.所以y＝×105×e－×10－4x.将x＝600代入，得：y＝×105×e－×10－4×600，计算得：y＝×105(Pa)．所以在600m高空的大气压约为×10520．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)，(a＞1＞b＞0)．(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a，b满足的关系式．解：(1)由ax－bx＞0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(x)＞1.因为a＞1＞b＞0，所以eq\f(a,b)＞1.所以x＞0.所以f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)因为f(x)在(1，＋∞)上递增且恒为正值，所以f(x)＞f(1)，只要f(1)＞0.则lg(a－b)≥0，所以a－b≥1.因此a，b满足的关系为a≥b＋1.21．(本小题满分12分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、2万件、万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．解析：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．设y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p，q，r为常数，且p≠0)，y2＝g(x)＝abx＋c，根据已知有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＋q＋r＝1，,4p＋2q＋r＝，,9p＋3q＋r＝)和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝，,ab3＋c＝，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝－，,q＝，,r＝)和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－，,b＝，,c＝.))所以f(x)＝－＋＋，g(x)＝－×＋.所以f(4)＝，g(4)＝.显然g(4)更接近于，故选用y＝－×＋作为模拟函数较好．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x－eq\f(1,2|x|).(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x