2021-2022学年湖南省娄底市测水中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年湖南省娄底市测水中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知F1、F2为双曲线C︰x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=（

）A． B． C． D．参考答案：B【知识点】双曲线及其几何性质H6设|PF1|=2|PF2|=2a=2，PF1|=2|PF2|,∴|PF1|=4，|PF2|=2∵|F1F2|=2∴cos∠F1PF2==【思路点拨】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．2.设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．3.若方程的取值范围是A．(－∞，－1) B．[0，1) C．[，＋∞) D．(－∞，－1)∪(，＋∞)参考答案：D略4.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．2 B． C．1 D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥（也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面S=（1+2）×1=，高h=1，故体积V==，故选：D也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体，同样得分．【点评】本题考查的知识点是棱锥的表面积和体积，简单几何体的三视图，难度中档．5.设集合(

)A． B． C． D．参考答案：B6.若复数，则的虚部为（）A. B. C. D.参考答案：D试题分析：，．所以的虚部为．故D正确．7.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（

）（A）4

（B）5

（C）

6

（D）7参考答案：B试题分析：设数列的公比为q，∴，∵，∴，∴，解得或（舍），∴，∵，∴，∴，解得，故选B.考点：等比数列的前n项和.8.函数与函数的图象可能是

（

）

参考答案：答案:D9.若集合A={}，B={}，则集合等于(

)．

(A){}

(B){}(C){}

(D){}参考答案：D10.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：B由题意，对应点为，在第二象限．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b=2，B=且sin2A+sin(A+C)=sinB，则△ABC的面积为

。参考答案：，12.有如下四个命题：①甲乙两组数据分别为甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67则甲乙的中位数分别为45和44.②相关系数，表明两个变量的相关性较弱.③若由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值,那么有95%的把握认为两个变量有关.④用最小二乘法求出一组数据的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据的残差是指.

以上命题“错误”的序号是

.参考答案：13.已知命题.若命题p是假命题，则实数的取值范围是

.参考答案：因为命题为假命题，所以。当时，，所以不成立。当时，要使不等式恒成立，则有，即，所以，所以，即实数的取值范围是。14.已知抛物线y2=x上一定点B（1，1）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的纵坐标的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先假设P，Q的坐标，利用BP⊥PQ，可得=0，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，即可求得Q点的纵坐标的取值范围．【解答】解：设P（t2，t），Q（s2，s）∵BP⊥PQ，∴=0，即（t2﹣1，t﹣1）?（s2﹣t2，s﹣t））=0即t2+（s+1）t+s+1=0∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点∴必须有△=（s+1）2﹣4（s+1）≥0．即s2﹣2s﹣3≥0，解得s≥3或s≤﹣1．∴Q点的纵坐标的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【点评】本题重点考考查取值范围问题，解题的关键是利用=0构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．15.设

则__________.参考答案：16.甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为

▲

.参考答案：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。17.曲线在点(0,0)处的切线方程为__________．参考答案：y=2x

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=1，BC=2，AC⊥BC，D，E，F分别为棱AA1，A1B1，AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若异面直线AA1与EF所成角为30°时，求三棱锥C1﹣DCB的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）要证EF∥平面BCC1B1，可证EF所在平面平行于平面BCC1B1，取AB的中点O，连接FO，EO，由棱柱的性质可得FO∥BC，EO∥BB1，再由面面平行的判定得到平面EFO∥平面BCC1B1，则答案得到证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠FEO异面直线AA1与EF所成角，得到∠FEO=30°，进一步得到BC⊥平面ACC1A1，再由已知求出EO的长度，把三棱锥C1﹣DCB的体积转化为B﹣CDC1的体积求解．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连接FO，EO，∵E，F分别为棱A1B1，AC的中点，∴FO∥BC，EO∥BB1，FO∩EO=O，BC∩BB1=B，FO，EO?平面EFO，BC，BB1?平面BCC1B1，∴平面EFO∥平面BCC1B1，又EF?平面EFO，∴EF∥平面BCC1B1；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠FEO异面直线AA1与EF所成角，∴∠FEO=30°，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴EO⊥平面ABC，则EO⊥FO，∵，∴，由∵AC⊥BC，CC1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴=．【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19.如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设∠，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。⑴写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；⑵问中转点D距离A处多远时，S最小？参考答案：

略20.某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化学的成绩制成下列散点图（物理成绩用表示，化学成绩用表示）（图1）和生物成绩的茎叶图（图2）.

（图1）

（图2）

（1）若物理成绩高于90分，我们视为“优秀”，那么以这20人为样本，从物理成绩优秀的人中随机抽取2人，求至少有1人是住校生的概率；（2）若化学成绩高于80分，我们视为“优秀”，根据图1完成如下列联表，并判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关；

住校非住校优

秀

非优秀

附：（,其中）（3）若生物成绩高于75分，我们视为“良好”，将频率视为概率，若从全年级学生中任选3人，记3人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量，求出的分布列和数学期望.参考答案：（1）由图（1）可知20人中物理成绩优秀的有5人，其中住校生2人。……1分记“从物理成绩优秀的5人中随机抽取2人，至少有1人是住校生”为事件A，则；

……4分（2）列联表为

住校非住校优

秀84非优秀26……5分计算，

………………6分经查表

……7分故没有95%的把握认为优秀率与住校有关；

……8分

（3）由图（2）可知，20人中生物成绩为“良好”的学生有12人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为，………9分故从全年级学生中任选3人，生物成绩为“良好”的学生人数服从二项分布，分布列为（或）：0123

……………11分数学期望为。

…………12分21.在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列．（1）若，，求的值；（2）求的取值范围．参考答案：解：(1)成等差数列,

即

，即

，所以

（2）

的取值范围是

略22.如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1