2021-2022学年河北省石家庄市博林中学高三数学理模拟试卷含解析

2021-2022学年河北省石家庄市博林中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则下列结论正确的是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】分别对集合和集合进行化简，然后对选项分别研究，得到正确答案.【详解】集合中：，解得，集合中：是单调递增函数，所以即，A选项中，，所以错误；B选项中，，所以，所以错误；C选项中，，所以错误D选项中，，，所以正确.故选D项.【点睛】本题考查集合的交集运算，集合与集合之间的关系，属于简单题.

2.在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，，BC边上的高为h，则h的最大值为（

）A. B.1 C. D.2参考答案：C【分析】先化简已知得，再求出，再利用三角函数求h最大值得解.【详解】因为，所以所以.所以所以,所以当B=时，h取最大值.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.若，则（

）A．

B．

C.

D．0参考答案：C4.已知的图象如下左图所示，则的表达式为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：B5.既是偶函数又在区间上单调递减的函数是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B6.若复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数的值是A．

B．或

C．或

D．参考答案：D略7.设满足约束条件则的最大值为（

）A．－1

B．3

C．9

D．12参考答案：C8.设集合，，则A∪B=（

）A． B． C． D．参考答案：B9.对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角，有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是(

)A.若，则

B.C.

D.参考答案：D略10.公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（

）A8；

B.32；

C.64；

D.128；参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等腰直角三角形BCD中，斜边BD长为2，E为边CD上的点，F为边BC上的点，且满足：，，若=，则实数λ=．参考答案：或【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】用，表示出，根据数量积列方程解出λ．【解答】解：∵等腰直角三角形BCD中，斜边BD长为2，∴BC=CD=2，∴==4，=0，∵，，∴=（λ﹣1），=（﹣1），∴=+=+（λ﹣1），==（﹣1）+，∴=[+（λ﹣1）]?[（﹣1）+]=（）+（λ﹣1）=4（+λ﹣2）=﹣，解得λ=或λ=，由得≤λ≤1．显然两个值都符合条件．故答案为：或．12.若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为

．（用数字作答）参考答案：9略13.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标

.（）

参考答案：14.设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=．参考答案：﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=sin（x+α）（其中，cosα=，sinα=），由题意可得θ+α=2kπ+，k∈z，即θ=2kπ+﹣α，k∈z，再利用诱导公式求得cosθ的值．【解答】解：当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x+α）取得最大值，（其中，cosα=，sinα=﹣），∴θ+α=2kπ+，k∈z，即θ=2kπ+﹣α，k∈z，∴cosθ=cos（2kπ+﹣α）=cos（﹣α）=sinα=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．15.椭圆T：的两个顶点，，过A，B分别作AB的垂线交椭圆T于D，C（不同于顶点），若，则椭圆T的离心率为_____．参考答案：【分析】本题首先依题意可得直线：以及直线：．联立椭圆方程可得、，再通过可得，即，最后得出椭圆的离心率。【详解】依题意可得，因为过，分别作的垂线交椭圆于，（不同于顶点），所以直线：，直线：．由，所以.由，所以，.因为，，由可得，所以，椭圆的离心率，故答案为：。【点睛】本题考查椭圆及双曲线的离心率公式，考查椭圆及双曲线的几何性质，考查计算能力，考查化归与转化思想，属于中档题。16.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）是抛物线C上一点，圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A，若=2，则p=．参考答案：2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，利用=2，得x0=p，即可得出结论．【解答】解：设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，∵=2，∴x0=p，∴2p2=8，∵p＞0，∴p=2．故答案为2．17.中，分别是角的对边，若，且，则的值为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，，，，，是的中点．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值．参考答案：（1）证明：底面，又，，故面面，故………… 4分又，是的中点，故从而面，故易知，故面……………… 6分（2）如图建立空间直角坐标系，设，则、、、，，从而，，…9分设为平面的法向量，则可以取

……11分又为平面的法向量，若二面角的平面角为则

……11分因此。……12分略19.（本小题满分12分）已知等差数列的前n项的和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和。参考答案：（1）an=21-2n20.《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°．（1）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．参考答案：解：（1）证明：∵AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cos60°，即3＝1+BC2﹣BC，解得BC＝2，∴BC2＝AB2+AC2，即AB⊥AC，则△ABC为直角三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1为堑堵；（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于点D，连接BD，由三垂线定理可知，BD⊥A1C，∴∠ADB为二面角A﹣A1C﹣B的平面角，在Rt△AA1C中，，在Rt△BAD中，，∴，即二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．21.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，求为原点）面积的最大值．参考答案：（1）解：由得

①

……2分由椭圆经过点，得

②

……3分联立①②，解得

…………Ks5u……………4分

所以椭圆的方程是

…………………5分

（2）解：易知直线的斜率存在，设其方程为．将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得．……7分令，得．设，，则，．…………9分

所以

…………10分因为设，则

…13分当且仅当，即时等号成立，此时面积取得最大值．……………14分22.（本小题满分14分）设、是函数的