2021-2022学年湖北省荆州市新沟中学高三数学理上学期期末试题

2021-2022学年湖北省荆州市新沟中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论正确的是(

) A．若向量∥，则存在唯一的实数λ，使= B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 C．命题“?x∈R，都有2x≥2x”的否定为“?x0∈R，使得2x≤2x0” D．“a=0”是“直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行”的充要条件参考答案：D考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：对于选项A：利用向量的共线的充要条件即可判断，对于选项B；根据复合命题的真假即可判断；对于选项C；根据命题的否定，即可判断；对于选项D；根据两直线的平行的充要条件即可判断．解答： 解：对于选项A：若向量∥，则存在唯一的实数λ，使=，且λ≠0，故A错误；对于选项B；若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故B错误；对于选项C；命题“?x∈R，都有2x≥2x”的否定为“?x0∈R，使得2x＜2x0”，故C错误；对于选项D；直线（a+1）x+a2y﹣3=0与2x+ay﹣2a﹣1=0平行，则（a+1）a=2a2，且（﹣2a﹣1）（a+1）≠2×（﹣3），解得a=0，故D正确．故选：D．点评：本题考查了命题的真假的判断，涉及了向量，复合命题，命题的否定，两直线平行等知识，属于基础题．2.定义集合与的运算“*”为:或,但.设是偶数集,,则A.

B.

C.

D.

参考答案：A略3.已知平面向量的夹角为且，在中，，，为中点，则（

）

A.2

B.4

C.6

D.8参考答案：A4.已知函数的定义域为R，，对任意都有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由所以所以.5.已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=(

) A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．?参考答案：B考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答： 解：Q={y|y=3x}={y|y＞0}，则P∩Q={1，2}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．6.将正三棱柱截去三个角(如右图所示A、B、C分别是△

GHI三边的中点)得到的几何体如下图，则该几何体按右

图所示方向的左视图(或称左视图)为

参考答案：A截前的左视图是一个矩形，截后改变的只是B，C，F方向上的7.已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=M B．M∪（?UN）=U C．M∩（?UN）=? D．M??UN参考答案：B【分析】根据题意求出集合M，化简集合N，再判断选项是否正确．【解答】解：全集U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，N={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}≠M，A正确；?UN={x|x≤0或x≥1}，M∪（?UN）=R=U，B正确；M∩（?UN）={x|x≤0}≠?，C错误；M??UN不成立，D错误．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．8.某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（

）A、1800元

B、2400元

C、2800元

D、3100元

参考答案：C.设生产桶甲产品，桶乙产品，总利润为Z，则约束条件为，目标函数为，可行域为，当目标函数直线经过点M时有最大值，联立方程组得，代入目标函数得，故选C.9.已知，则（

）A． B．

C．

D．参考答案：B 10.已知函数则不等式的解集为

(

)

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（0，1）（1，2）

D．（-1，0）（0，1）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有

---种．

参考答案：10812.执行如图所示的程序框图，

输出的所有值之和为__________．参考答案：48略13.若实数束条件，则的最大值为

。参考答案：略14.已知，则函数z=3x﹣y的最小值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣，1）．化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值﹣．故答案为：﹣．15.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，，，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点M．现点P从点A出发，沿着运动一次，则点M经过的路径长为

.参考答案：由题意，点P从点A出发，沿着运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧．正四棱柱中，，，四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为，四棱柱的外接球的半径为，，所在大圆，所对的弧长为，点M经过的路径长为．故答案为：．

16.定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是

．参考答案：（）【考点】简单线性规划的应用；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用不等式的性质得到答案．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增，∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4，即2a+b＜4，又由a＞0．b＞0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与A（﹣2，﹣2）连线的斜率，直线AB，AC的斜率分别是，3；则∈（，3）；故答案为：（）．17.已知点M，N分别是直线x+y+1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2上的动点，则|MN|的最小值为

．参考答案：考点：两点间的距离公式；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：|MN|的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，由距离公式可得．解答： 解：由题意可得|MN|的最小值为圆心（1，1）到直线的距离d减去圆的半径，由点到直线的距离公式可得d==，∴所求最小值为﹣=点评：本题考查直线和圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）若函数．（1）求方程的实数根；（2）若方程（a为实数）在R上有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考答案：解析：（1）

………4分（2）由,得当或时,当时,所以在和上单调递增,在上单调递减,在上的极大值为在上的极小值为

……………8分函数方程在上有三个不同的实数根,即直线与函数的图象有三个交点.由的大致图象可知,当时,直线与函数的图象没有交点;当时,直线与函数的图象有两个交点;当时,直线与函数的图象有三个交点.因此实数的取值范围是.

………………14分

19.（本小题满分13分）

已知实数，函数，.（Ⅰ）求函数单调区间；（Ⅱ）若在区间上为增函数，且对任意，总存在，使在处的导数成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）…………1分

当时，，

恒成立.故在上为增函数；……………3分

当时，由，又

的递减区间为，

递增区间为……………6分（Ⅱ）∵在区间上为增函数，∴，恒成立，即恒成立，

即：.

……………………8分，当时，，，，所以函数的值域为.…………10分又，故函数值域为

…-………………11分依题意应有或

…………12分

又，故所求为…………13分

略20.（本题满分12分）

已知函数，设函数．

（1）求证：函数必有零点

（2）若在上是减函数，求实数的取值范围；

（3）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案：略21.（09年扬州中学2月月考）（10分）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角余弦值的大小。

参考答案：解析：（I）如图，取的中点，则，因为，

所以，又平面，

以为轴建立空间坐标系，则，，，，，，，，由，知，又，从而平面；

（II）由，得。

设平面的法向量为，，，所以，设，则

所以点到平面的距离。

（III）再设平面的法向量为，，