2021-2022学年河北省承德市孛罗台乡中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年河北省承德市孛罗台乡中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（

）A. B.1 C. D.2参考答案：D【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则.当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.3.设表示不超过的最大整数(如,),对于给定的,定义,,则当时,函数的值域是(

)

参考答案：D4.若一个几何体的主视图和左视图是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是A. B. C. D.不能确定参考答案：【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】B

由三视图知，几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，

圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高是=∴圆锥的体积是×π×12×=故选B．【思路点拨】几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高，利用圆锥的体积公式做出结果．5.抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为（

）

A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：【知识点】抛物线的简单性质．H7D

解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．6.设平面向量等于(

) （A）4 （B）5 （C）3 （D）4参考答案：D略7.下面四个条件中，使成立的充分不必要条件为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为，所以是成立的一个充分不必要条件，选A.8.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是A.1：16 B.39：129 C.13：129 D.3：27参考答案：B10.3名老师随机从3男3女共6名学生中各带2名进行实验，其中每名老师各带一名男生和一名女生的概率为

（

）A、

B、 C、 D、参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙与AC相切于点E。若BC＝6，则DE的长为

图3参考答案：4【知识点】选修4-1

几何证明选讲N1连结OE，BC＝6，则AB=12，与相似，则,，r=4,为直角三角形，DE为中线，所以DE=4.【思路点拨】利用三角形相似，比例关系求出DE=4.。12.已知一元二次不等式的解集为{，则的解集为

。参考答案：{|<－1或>1}

略13.高三（1）班某一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在跑步．①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在跑步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在跑步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在．参考答案：画画【考点】进行简单的合情推理．【分析】由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打篮球，D在画画，即可得出结论．【解答】解：由③可知，C在散步，A在跳舞，由②④，可知，B在打篮球，D在画画，故答案为画画．14.已知变量x，y满足，则的最小值为________.参考答案：0【分析】画出可行域，分析目标函数得，当在y轴上截距最小时，即可求出的最小值.【详解】作出可行域如图：联立得化目标函数为，由图可知，当直线过点时，在y轴上的截距最小,有最小值为，故填.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.

15.函数，实数互不相同，若，则的范围为

．参考答案：略16.不等式的解集为

．

参考答案：[-2,3]17.从4个标有数字1，2，3，4的球中，有放回地随机抽取2个，则抽到的2个球的数字之和不大于5的概率等于

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然对数的底数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（Ⅲ）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，

当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．（Ⅱ）证明：因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又g′（x）=，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=＜，所以f（x）min﹣g（x）max＞，所以在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则f′（x）=a﹣=，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a=，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0＜＜e时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f（x）min=f（）=1+lna=3，a=e2，满足条件．③当≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a=，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3，综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，运算量较大，综合性较强．19.（本小题满分14分）（1）计算：；（2）已知，求的值．参考答案：20.已知数列的前项和，数列满足，（）．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，求<2014时的的最大值．

参考答案：（Ⅰ）当时，，又，∴．又，所以是公比为3的等比数列，．（Ⅱ）

①—②得，．

所以．

由得，所以的最大值为6略21.已知数列⑴求证：为等差数列；⑵求的前n项和；参考答案：解：⑴∵∴∴为等差数列，首项为，公差d=1

…………6分⑵由⑴得

∴

…………8分

∴Sn=1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1

两式相减得：－Sn=21＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1

=∴Sn=2－2n+1＋n·2n+1=(n－1)·2n+1＋2 略22.(本题满分12分