2021-2022学年河北省唐山市遵化东梁子河中学高二数学理期末试卷

2021-2022学年河北省唐山市遵化东梁子河中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3 B．b=a3+C．（b﹣a3）（b﹣a3﹣）=0 D．|b﹣a3|+|b﹣a3﹣|=0参考答案：C【考点】平面向量的坐标运算．【专题】分类讨论；平面向量及应用．【分析】根据△OAB为直角三角形，讨论是OA⊥OB？还是OA⊥AB？OB⊥AB？再利用平面向量的数量积，求出a、b的关系即可．【解答】解：∵点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），且△OAB为直角三角形，∴当OA⊥OB时，=（0，b），=（a，a3），∴?=ba3=0，∴b=0或a=0，此时不成立；当OA⊥AB时，=（0，b），=（a，a3﹣b），∴?=b（a3﹣b）=0，∴b≠0且a3﹣b=0；当OB⊥AB时，=（a，a3﹣b），=（a，a3），∴?=a2+a3（a3﹣b）=0，∴a≠0且+a3﹣b=0；综上，a3﹣b=0或+a3﹣b=0，即（b﹣a3）（b﹣a3﹣）=0．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．2.下列函数中，以为周期且在区间上为增函数的函数是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.若是任意实数，则方程x2+4y2sin=1所表示的曲线一定不是(

)A．圆

B．双曲线

C．直线

D．抛物线参考答案：D略4.已知集合，,则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B5.过点与直线垂直的直线的方程为（

）A．B．C．D．

参考答案：C略6.若i为虚数单位，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由题意结合复数的运算法则分子分母同时乘以i，然后整理计算即可求得最终结果.【详解】由复数的运算法则有：.本题选择B选项【点睛】本题主要考查复数的除法运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.直线与直线分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为（1，－1），则直线的斜率为

（

）

A．

B．

C．－

D．－参考答案：C8.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（

）⑴，；⑵，；⑶，；

⑷，；⑸，

A

⑴、⑵

B

⑵、⑶

C

⑷

D

⑶、⑸参考答案：C9.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，}，则集合AB=（

）A．{x|x≥－4}

B.{x|x≥－1或x≤5}

C.{x|x≥－2}D.{x|x≥－4或x≤-10}参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数，若，则

▲

.参考答案：312.已知是椭圆的两个焦点，过点的直线交椭圆于两点。在中，若有两边之和是10，则第三边的长度为

参考答案：6略13.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为____________。参考答案：－4略14.四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，，，则该球的体积为

_

．参考答案：略15.如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．参考答案：【考点】概率的基本性质；几何概型．【专题】计算题．【分析】由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P=，故答案为：【点评】本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．16.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为

．

参考答案：1617.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为____________.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知在中，角A、B、C的对边为且，；（Ⅰ）若,求边长的值。（Ⅱ）若，求的面积。参考答案：（1）由及余弦定理得，因为，所以所以，又，所以由得

（2）由知，又，得因此得，故三角形为直角三角形，则，所以19.已知{an}是递增的等差数列，，是方程的根．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn．参考答案：（1）；（2）．（1）方程的两个根为2，3，由题意得因为，．设数列的公差为，则，故，从而．所以的通项公式为．（2）设的前项和为，由（1）知，则

①

②①-②得．所以．20.(本小题满分8分)设函数，求的单调区间和极值；参考答案：，当时，；当时，；故在单调减少，在单调增加。的极大值，极小值21.四棱锥E﹣ABCD中，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD﹣CE=1，AB=AD=AE=，且EC⊥BD.（1）求证：平面BED⊥平面AEC；（2）求二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．

参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意可得AC⊥BD，又EC⊥BD，结合线面垂直的判定可得平面BED⊥平面AEC；（2）由（1）知AC⊥BD，证得△COE∽△CEA，可得CE2+AE2=AC2=4，即∠CEA=90°，得EO⊥AC，又BD⊥OE，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面DBM与平面CBM的一法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）由于△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，故连接AC交BD于O点，则△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，则AC⊥BD，又∵EC⊥BD，EC∩AC=C，故BD⊥面ACE，∴平面BED⊥平面AEC；解：（2）由（1）知AC⊥BD，且CO=，AO=，连接EO，则，∴△COE∽△CEA，又CE2+AE2=AC2=4，可得∠CEA=90°．∴∠COE=∠CEA=90°，故EO⊥AC，又BD⊥OE，故如图建立空间直角坐标系，则B（0，，0），D（0，，0），C（，0，0），M（，0，），，，设平面DBM的法向量，则由，得，取z1=1，得；，设平面CBM的法向量，则由，得，取z2=1，得．∴cos＜＞=．故二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值为．

22.如图，已知四棱柱P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点．(1)求证：；(2)若平面，求证：.参考答案：（1）详见解析（2）详见解析试题分析：（1）取BC中点E，连结ME、NE，由已知推导出平面PAB∥平面MNE，由此能证明MN∥平面PAB．（2）利用面面垂直的性质，由平面PMC⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，可证CM⊥平面PAD，由AD?平面PAD，即可证明CM⊥AD试题解析：（1）取PB的中点E，连接EA，EN，在△PBC中，EN//BC且，又，AD//BC，AD＝BC所以EN//AM，，EN＝AM.

所以四边形ENMA是平行四边形，

所以MN//AE.又，，所以MN//平面PAB.