2021-2022学年山西省忻州市业余少体校高二数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年山西省忻州市业余少体校高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列{an}中，a2=9，a5=243，{an}的前4项和为(

)A．81 B．120 C．168 D．192参考答案：B【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等比数列的性质可知等于q3，列出方程即可求出q的值，利用即可求出a1的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出{an}的前4项和．【解答】解：因为==q3=27，解得q=3又a1===3，则等比数列{an}的前4项和S4==120故选B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．2.不等式的解集是（

）

.

.

.

.参考答案：A3.展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

解析：只有第六项二项式系数最大，则，

，令4.已知点M到两个定点A（，0）和B（1，0）的距离之和是定值2，则动点M的轨迹是 A．一个椭圆 B．线段AB C．线段AB的垂直平分线 D．直线AB参考答案：B略5.设函数，若对于任意∈[0，2]都有成立，则实数的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．.参考答案：A6.已知=(2，1，﹣3)，=(4，2，λ)，若⊥，则实数λ等于（）A．﹣2 B． C．2 D．参考答案：B【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵，⊥，∴=8+2﹣3λ=0，解得．故选：B．7.（5分）设实数x，y满足，则μ=的取值范围是（） A． [，2] B． [，] C． [，2] D． [2，]参考答案：A考点： 简单线性规划．专题： 计算题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析： 根据不等式组画出可行域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域．设P（x，y）为区域内一点，根据斜率计算公式可得μ=表示直线OP的斜率，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到μ=的取值范围．解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，可得μ=表示直线OP的斜率，其中P（x，y）在区域内运动，O是坐标原点．运动点P，可得当P与A点重合时，μ=2达到最大值；当P与C点重合时，μ=达到最小值．综上所述，μ=的取值范围是[，2]故选：A点评： 本题给出二元一次不等式组，求μ=的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．8.下列命题中，正确的命题有（）①命题“，使得”的否定是“，都有”；②设p、q为简单命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“函数在内有极小值”的必要条件；④命题“，使得”为假命题时，实数的取值范围是。A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：D略9.设等比数列{}的前项和为若，则＝

(

)A．3:4

B．2:3

C．1:2

D．1:3参考答案：A略10.一船自西向东匀速航行上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 （

） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是

．参考答案：﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．12.不等式≤0的解集为．参考答案：{x|x＜0，或x≥1}【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式即即，由此求得x的范围．【解答】解：不等式≤0，即≥0，即，求得x＜0，或x≥1，故答案为：{x|x＜0，或x≥1}．13.已知、都是锐角，，则的值为

.参考答案：略14.双曲线的一条渐近线方程为．参考答案：y=x【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的a=2，b=，再由渐近线方程y=x，即可得到．【解答】解：双曲线的a=2，b=，则渐近线方程为y=x，故答案为：y=x．【点评】本题考查双曲线方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题．15.直线ax+by+3=0与直线dx+ey+3=0的交点为（3，–2），则过点（a，b），（d，e）的直线方程是___________________.参考答案：3x–2y+3=016.对满足不等式组的任意实数x，y，则z=x2+y2﹣4x的最小值是

．参考答案：﹣2【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：z=x2+y2﹣4x=（x﹣2）2+y2﹣4设m=（x﹣2）2+y2，则m的几何意义为区域内的点到点（2，0）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图，则由图象知，D到直线x﹣y=0的距离最小，此时d==，则m=d2=2，则z的最小值为z=2﹣4=﹣2，故答案为：﹣217.设函数f(x)=lnx+，则函数y=f（x）的单调递增区间是．参考答案：（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：∵，（x＞0），∴f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，故函数的递增区间是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设全集是实数集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（?RA）∩B=B，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．【分析】（1）A={x|≤x≤3}，当a=﹣4时，B={x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B和A∪B．（2）?RA={x|x＜或x＞3}，当（?RA）∩B=B时，B??RA，由此进行分类讨论能够求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|≤x≤3}，当a=﹣4时，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|≤x＜2}，A∪B={x|﹣2＜x≤3}．…（2）?RA={x|x＜或x＞3}，当（?RA）∩B=B时，B??RA，①当B=?，即a≥0时，满足B??RA；②当B≠?，即a＜0时，B={x|﹣＜x＜}，要使B??RA，需≤，解得﹣≤a＜0．综上可得，实数a的取值范围是a≥﹣．…19.（12分）已知函数．（1）求函数上的点到直线的最短距离；（2）对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）（2）20.分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．【解答】解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E的方程为．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值的判断与证明，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，解题时要注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．21.以下茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去图书馆学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.（Ⅰ）如果，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（Ⅱ）如果，从学习次数大于8的学生中选两名同学，求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．参考答案：解：（Ⅰ）当x=7时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习次数是：7，8，9，12，所以平均数为

……………3分方差为

……………6分（Ⅱ）记甲组3名同学为A1，A2，A3，他们去图书馆学习次数依次为9，12，11；乙组4名同学为B1，B2，B3，B4，他们去图书馆学习次数依次为9，8，9，12；从学习次数大于8的学生中人选两名学生，所有可能的结果有15个，它们是：A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B3，A2B4，A3B1，A3B3，A3B4，B1B3，B1B4，B3B4.