2021-2022学年安徽省安庆市第六中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年安徽省安庆市第六中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以圆内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为A．76

B．78

C．81

D．84参考答案：A2.阅读如下图所示程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（

）A．7

B．9

C．10

D．11参考答案：B试题分析：由程序框图知：算法的功能是求的值，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．考点：循环结构程序框图3.有下列说法：（1）“”为真是“”为真的充分不必要条件；（2）“”为假是“”为真的充分不必要条件；（3）“”为

真是“”为假的必要不充分条件；（4）“”为真是“”为假的

必要不充分条件。其中正确的个数为A.

1

B.

2

C.

3

D.

4参考答案：B4.设集合，，R是实数集，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出集合，再求解并集和补集.【详解】因为，所以，即，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.5.已知椭圆D：+=1（a＞b＞0）的长轴端点与焦点分别为双曲线E的焦点与实轴端点，若椭圆D与双曲线E的一个交点在直线y=2x上，则椭圆D的离心率为（）A．﹣1 B．﹣ C． D．参考答案：B【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可得双曲线方程，设椭圆与双曲线在直线y=2x上的交点（m，2m），把该点坐标分别代入椭圆与双曲线方程，消去m，化简整理得答案．【解答】解：由题意可得，双曲线E的方程为．设椭圆D与双曲线E的一个交点坐标为（m，2m），∴，①，②联立①②，得．整理得：8a4﹣8a2b2﹣b4=0．∴，则，∴，则．故选：B．6.设a＝log0.32，b＝log0.33，c＝20.3，d＝0.32，则这四个数的大小关系是()A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜cC．b＜a＜c＜d D．d＜c＜a＜b参考答案：B略7.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是.

.

.

.参考答案：B试题分析：根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个四棱锥构成的几何体，所以其体积为,故选B.考点：根据三视图还原几何体，求其体积.8.已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（） A．10个 B．9个 C．8个 D．1个参考答案：A【考点】对数函数的图象与性质；函数的周期性． 【专题】压轴题；数形结合． 【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可． 【解答】解：作出两个函数的图象如上 ∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数 ∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化， 在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数， 在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数， 且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]， 再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数， 且当x=1时y=0；x=10时y=1， 再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个， 故选：A． 【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题． 9.在平行四边形中，为一条对角线，，

则（

）

A.

B. C.

D.参考答案：C略10.若复数为纯虚数,则的虚部为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．参考答案：60每个城市投资1个项目有种，有一个城市投资2个有种，投资方案共种.

12.已知函数为奇函数，且对定义域内的任意x都有．当时，给出以下4个结论：①函数的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称；②函数是以2为周期的周期函数；③当时，；④函数在(k，k+1)(kZ)上单调递增．

其一中所有正确结论的序号为

参考答案：略13.由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：

①第二列中的必成等比数列；②第一列中的不一定成等比数列；

③；

④若9个数之和大于81，则

>9．

其中正确的序号有

．（填写所有正确结论的序号）．参考答案：①②③14.若，则a的取值范围是

．参考答案：15.已知函数则___________.参考答案：4略16.若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则

参考答案：数列为等比数列，通项为略17.已知直线的法向量为，则该直线的倾斜角为

．（用反三角函数值表示）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；（Ⅱ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中（学生人数很多）任选3人，记X表示抽到“极满意”的人数，求X的分布列及数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设Ai表示所取得人中有i个人是“极满意”，至少有一人是“极满意”记为事件A，利用古典概率计算公式与相互对立事件的概率计算公式即可得出．（II）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设Ai表示所取得人中有i个人是“极满意”，至少有一人是“极满意”记为事件A，则．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，由已知得．∴，，，．∴X的分布列为：X0123P∴．【点评】本题考查了古典概率计算公式与相互对立事件的概率计算公式、二项分布列的计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知，点在函数的图象上，其中（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．参考答案：20.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．参考答案：考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2?cos（A+B）sin（A﹣B）．求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．（Ⅱ）由sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，即cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2?cos（A+B）sin（A﹣B）．∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得，=，即=，∴a=．∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）×=，∴△ABC的面积为=×=．点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．21.（12分）在三棱柱ABC—A1B1C1中底面是边长为2的正三角形，点A1在底面ABC上射影O

恰是BC的中点。

（1）求证：A1A⊥BC；

（2）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A—AC—B的

（3）若D为侧棱AA1上一点，当为何值时，BD⊥A1C1。参考答案：解析：解法一：（1）连接AO，∴AO1⊥面ABC，AO⊥BC.∴A1A⊥BC。

··4分

（2）由（1）得∠A1AO=45°由底面是边长为2的正三角形，

可知AO=3

∴A1O=3，AA1=3

过O作OE⊥AC于E，连接A1E，

则∠A1EO为二面角A1—AC—B

····6分

∵∴tan∠A1EO=

···7分

即二面角A1—AC—B的大小为arctan2.

···8分

（3）过D作DF∥A1O，交AO于F，则DF⊥平面ABC，

∴BC为BD在面ABC内的射影，

又∵A1C1∥AC，∴要使BD⊥A1C1，只要BD⊥AC，即证BF⊥AC，

∴F为△ABC的中心，

∴

···12分

解法二：以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OA1为z轴建立空间直角坐标系。

（1）由题意知∠A1AO=45°，A1O=3∴O（0，0，0）C（，0，0），A（0，3，0），A1（0，0，3），B（，0，0）

∵（0，-3，3），=（2，0，0）

∴

∴AA1⊥BC

····4分

（2）设面ACA1的法向量为

则

令z=1，则x=，y=1，∴=（，1，1）

····5分

而面ABC的法向量为=（0，0，1）（6分）

cos（，）=

又显然所求二面角的平面角为锐角，

∴所求二面角的大小为arccos

···8分

（3）A1C1∥AC，故只需BD⊥AC即可，设AD=a，则D（0，，）

又B（，0，0），则（，，），（，-3，0）。

要使BD⊥AC，须

得，而A1A=3，∴A1D=，22.如图中，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和侧视图在右面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC′，证明：B