高中数学苏教版本册总复习总复习 章末过关检测卷(三)

章末过关检测卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin347°cos148°＋sin77°cos58°的值为()\f(1,2)B．－eq\f(1,2)\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)解析：原式＝sin13°cos32°＋cos13°sin32°＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案：C2．若函数f(x)＝－sin2x＋eq\f(1,2)(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数解析：f(x)＝－eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)cos2x.答案：D3．sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)的值是()A．0B．－eq\r(2)\r(2)D．2解析：原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\f(π,12)－\f(\r(3),2)cos\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝－2sineq\f(π,4)＝－eq\r(2).答案：B4．函数f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3),2)cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2解析：f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，振幅为1，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.答案：A5．已知sineq\f(α,2)＝eq\f(4,5)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(3,5)，则角α的终边所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝－eq\f(24,25)<0，cosα＝2cos2eq\f(α,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(7,25)<0.所以α为第三象限角．答案：C\f(2cos10°－sin20°,cos20°)的值为()\r(3)\f(\r(6),2)C．1\f(1,2)解析：原式＝eq\f(2cos（30°－20°）－sin20°,cos20°)＝eq\f(2（cos30°cos20°＋sin30°sin20°）－sin20°,cos20°)＝eq\f(\r(3)cos20°,cos20°)＝eq\r(3).答案：A7．设向量a＝(sin15°，cos15°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a，b的夹角为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：因为|a|＝|b|＝1，且a·b＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin30°＝eq\f(1,2)，所以a，b的夹角θ，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2).又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.答案：B8．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝eq\f(2\r(3),3)，则tanAtanB的值为()\f(1,4)\f(1,3)\f(1,2)\f(5,3)解析：△ABC中，C＝120°，得A＋B＝60°，所以(tanA＋tanB)＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝eq\r(3)(1－tanAtanB)＝eq\f(2\r(3),3).所以tanAtanB＝eq\f(1,3).答案：B9．在△ABC中，cosA＝eq\f(\r(5),5)，cosB＝eq\f(3\r(10),10)，则△ABC的形状是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等边三角形解析：因为cosA＝eq\f(\r(5),5)，所以sinA＝eq\f(2\r(5),5).同理sinB＝eq\f(\r(10),10).因为cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝－eq\f(\r(50),50)<0，所以C为钝角．答案：B10．(2023·新课标全国Ⅰ卷)设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，则()A．3α－β＝eq\f(π,2) B．2α－β＝eq\f(π,2)C．3α＋β＝eq\f(π,2) D．2α＋β＝eq\f(π,2)解析：由tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)得eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，所以sin(α－β)＝cosα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq\f(π,2)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).所以由sin(α－β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，得α－β＝eq\f(π,2)－α.所以2α－β＝eq\f(π,2).答案：B11．函数y＝sinx＋cosx＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))的最小值是()A．2－eq\r(2) B．2＋eq\r(2)C．3 D．1解析：由y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋2，且0≤x≤eq\f(π,2)，所以eq\f(π,4)≤x＋eq\f(π,4)≤eq\f(3,4)π.所以eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤1.所以3≤y≤eq\r(2)＋2.答案：C12．(2023·天津卷)已知函数f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为eq\f(π,3)，则f(x)的最小正周期为()\f(π,2)\f(2π,3)C．πD．2π解析：由题意得函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是eq\f(π,3)，由正弦函数的图象知，ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)和ωx＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)对应的x的值相差eq\f(π,3)，即eq\f(2π,3ω)＝eq\f(π,3)，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝eq\f(2π,ω)＝π.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．若cosxcosy＋sinxsiny＝eq\f(1,3)，则cos(2x－2y)＝________．解析：因为cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝eq\f(1,3)，所以cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝－eq\f(7,9).答案：－eq\f(7,9)14．(2023·江苏卷)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝eq\f(1,7)，则tanβ的值为________．解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tan（α＋β）－tanα,1＋tan（α＋β）tanα)＝eq\f(\f(1,7)－（－2）,1＋\f(1,7)×（－2）)＝3.答案：315．设f(x)＝2cos2x＋eq\r(3)sin2x＋a，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)有最大值4，则a＝________．解析：f(x)＝2cos2x＋eq\r(3)sin2x＋a＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＋a＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1.由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以f(x)max＝3＋a＝4.所以a＝1.答案：116．在△ABC中，若cosA＝eq\f(1,3)，则sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A等于________．解析：在△ABC中，eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2)，所以sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＋cos2A＝cos2eq\f(A,2)＋cos2A＝eq\f(1＋cosA,2)＋2cos2A－1＝－eq\f(1,9).答案：－eq\f(1,9)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知sin(α－β)＝eq\f(3,5)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，且α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求cos2β的值．解：由sin(α－β)＝eq\f(3,5)及α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))得：cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，由sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)及α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))得：cos(α＋β)＝eq\f(4,5).所以cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(3,5)＝－1.18．(本小题满分12分)(2023·江苏卷)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))的值．解：由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))且α＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5).(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝sineq\f(π,4)cosα＋coseq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝－eq\f(\r(10),10).(2)sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(4,5)，cos2α＝2sin2α－1＝eq\f(3,5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f(5π,6)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(4＋3\r(3),10).19．(本小题满分12分)在斜△ABC中，sinA＝－cosBcosC且tanBtanC＝1－eq\r(3)，求角A.解：在三角形中，有A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)．所以－cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC.上式两边同时除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝－1.又tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝eq\f(－1,1－（1－\r(3)）)＝－eq\f(\r(3),3).因此tanA＝eq\f(\r(3),3).又0<A<π，所以A＝eq\f(π,6).20．(本小题满分12分)设函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝cos2ωx＋eq\r(3)sinωxcosωx＋a(其中ω>0，a∈R)．且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是eq\f(π,3).(1)求ω的值；(2)如果f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,6)))上的最小值为eq\r(3)，求a的值．解：(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝cos2ωx＋eq\r(3)sinωxcosωx＋a＝eq\f(1＋cos2ωx,2)＋eq\f(\r(3)sin2ωx,2)＋a＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＋a.依题意得2ω·eq\f(π,3)＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)⇒ω＝eq\f(1,2).(2)由(1)知，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＋a，又当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,6)))时，x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，从而f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,6)))上的最小值为eq\r(3)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋a，故a＝eq\r(3).21．(本小题满分12分)设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b)．(1)求函数f(x)的最大值与最小正周期；(2)求使不等式f(x)≥eq\f(3,2)成立的x的取值范围．解：(1)因为f(x)＝a·(a＋b)＝a·a＋a·b＝sin2x＋cos2x＋sinxcosx＋cos2x＝1＋eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1,2)(cos2x＋1)＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，所以f(x)的最大值为eq\f(3,2)＋eq\f(\r(2),2)，最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)知f(x)≥eq\f(3,2)⇔eq\f(3,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≥eq\f(3,2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≥0.所以2kπ≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋π，解之得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8).所以使f(x)≥eq\f(3,2)成立的x的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,8)≤x≤kπ＋\f(3π,8)，k∈Z)))).22．(本小题满分12分)(2023·福建卷)已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)．(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)))的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：法一：(1)feq\b\lc\(