高中数学人教B版第三章基本初等函数 高质作品指数与指数函数 优秀

第三章3.一、选择题1．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x的反函数为eq\x(导学号65164972)(C)A．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x B．y＝eqlog\s\do8(\f(3,2))xC．y＝eqlog\s\do8(\f(2,3))x D．y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x[解析]函数y＝logax(a>0，a≠1)与函数y＝ax(a>0，a≠1)互为反函数，∴函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x的反函数是y＝eqlog\s\do8(\f(2,3))x，故选C．2．若f(10x)＝x，则f(5)＝eq\x(导学号65164973)(B)A．log510 B．lg5C．105 D．510[解析]解法一：令u＝10x，则x＝lgu，∴f(u)＝lgu，∴f(5)＝lg5.解法二：令10x＝5，∴x＝lg5，∴f(5)＝lg5.3．若函数y＝eq\f(ax,1＋x)的图象关于直线y＝x对称，则a的值为eq\x(导学号65164974)(B)A．1 B．－1C．±1 D．任意实数[解析]因为函数图象本身关于直线y＝x对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，eq\f(a,2))与(eq\f(a,2)，1)均在原函数图象上，故可得a＝－1.4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为eq\x(导学号65164975)(C)A．－e B．－eq\f(1,e)C．eq\f(1,e) D．e[解析]∵函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，∴f(x)＝lnx，又∵函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，∴g(x)＝－lnx，∴g(a)＝－lna＝1，∴lna＝－1，∴a＝eq\f(1,e).5．函数y＝10x2－1(0<x≤1)的反函数是eq\x(导学号65164976)(D)A．y＝－eq\r(1＋lgx)(x>eq\f(1,10))B．y＝eq\r(1＋lgx)(x>eq\f(1,10))C．y＝－eq\r(1＋lgx)(eq\f(1,10)<x≤1)D．y＝eq\r(1＋lgx)(eq\f(1,10)<x≤1)[解析]由y＝10x2－1(0<x≤1)，得x2－1＝lgy，即x＝eq\r(lgy＋1).又∵0<x≤1，即－1<x2－1≤0，∴eq\f(1,10)<10x2－1≤1，即原函数的值域为(eq\f(1,10)，1]．∴原函数的反函数为y＝eq\r(lgx＋1)(eq\f(1,10)<x≤1)．6．已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是eq\x(导学号65164977)(A)A．增函数 B．减函数C．奇函数 D．偶函数[解析]∵函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，∴loga(4－k)＝0，∴k＝3.∴f(x)＝loga(x－3)，又反函数f－1(x)的图象过点(1,7)，∴f(x)过点(7,1)．∴loga4＝1，∴a＝4，∴f(x)为增函数．7．若点(1,2)既在y＝eq\r(ax＋b)的图象上，又在其反函数的图象上，则a＝__－3__，b＝\x(导学号65164978)[解析]由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y＝eq\r(ax＋b)的图象上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝\r(a＋b),1＝\r(2a＋b)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3,b＝7)).8．已知函数f(x)的反函数g(x)＝1＋2lgx(x>0)，则f(1)＋g(1)＝\x(导学号65164979)[解析]令g(x)＝1，则2lgx＝0，∴x＝1.∵f(x)与g(x)互为反函数，∴f(1)＝1，g(1)＝1＋2lg1＝1，∴f(1)＋g(1)＝2.三、解答题9．已知y＝eq\f(1,2)x＋a与y＝3－bx互为反函数，求a、b的值.eq\x(导学号65164980)[解析]由y＝eq\f(1,2)x＋a，得x＝2y－2a，∴y＝2x－2a即函数y＝eq\f(1,2)x＋a的反函数为y＝2x－2a，由已知得函数y＝2x－2ay＝3－bx为同一函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝2,－2a＝3))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,2),b＝－2)).10．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1).eq\x(导学号65164981)(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)判断f－1(x)的单调性．[解析](1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.(2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即x＝2－ay.∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是减函数．证