陕西省西安市高新国际学校中学2022年高三数学理联考试卷含解析

陕西省西安市高新国际学校中学2022年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A．211﹣1 B．211﹣2 C．210﹣1 D．210﹣2参考答案：A【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的x=2，v=1，k=1，满足进行循环的条件，v=2+1=3，k=2，满足进行循环的条件，v=（2+1）×2+1=7，k=3…∴v=211﹣1，故输出的v值为：211﹣1，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．2.函数的最小正周期为，则为A．

B．

C．

D．参考答案：3.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣ B． C． D．1﹣参考答案：A【考点】几何概型．【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.函数的值域为

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.某高级中学高一，高二,高三年级学生人数分别为700，800，600，为了了解某项数据，现进行分层抽样，已知在高一抽取了35人，则应在高三抽取的人数为A.15

B.20 C.25

D.30参考答案：D略6.(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】C

a=0得到f(x)=为奇函数，如果奇函数f(0)=0得到a=0，所以为充要条件，故选C。【思路点拨】根据奇函数的性质判定结果。7.已知函数f（x）=ex+x，g（x）=lnx+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则(

) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c参考答案：B考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：分别由f（x）=0，g（x）=0，h（x）=0，利用图象得到零点a，b，c的取值范围，然后判断大小即可．解答： 解：由f（x）=0得ex=﹣x，由g（x）=0得lnx=﹣x．由h（x）=0得x=1，即c=1．在坐标系中，分别作出函数y=ex，y=﹣x，y=lnx的图象，由图象可知a＜0，0＜b＜1，所以a＜b＜c．故选：B．点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．8.我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”,而“平行曲线”具有性质:任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交,被截得的线段长度相等．已知函数(＞0)图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.设集合，,则（

）

参考答案：C，所以，选C.10.已知复数z满足，为z的共轭复数，则（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A由题意得：∴，，故选：A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C1：相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为

。参考答案：x+y-3=012.若x，y满足约束条件则的最小值为参考答案：【分析】作出可行域，平移目标式，确定最值点，求出最值.【详解】作出可行域如图，平移直线可得目标函数在点A处取到最小值，联立可得,代入可得的最小值.【点睛】本题主要考查线性规划，利用线性规划知识求解线性目标函数的最值问题，侧重考查直观想象的核心素养.13.若集合满足∪∪…∪,则称，，…为集合A的一种拆分。已知：

①当∪=时，A有种拆分；

②当∪∪=时，A有种拆分；

③当∪∪∪=时，A有种拆分；

……由以上结论，推测出一般结论；当∪∪…∪=，A有

种拆分。参考答案：略14.已知在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，若a=1，sin2B+sin2C﹣sin2A=sinAsinBsinC，则R的值为．参考答案：【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可化sin2B+sin2C﹣sin2A=sinAsinBsinC为b2+c2﹣a2=bcsinA，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，化为：2（sinA﹣2cosA）=+，再利用基本不等式的性质得出sinA，即可求出R．【解答】解：由正弦定理可化sin2B+sin2C﹣sin2A=sinAsinBsinC为b2+c2﹣a2=bcsinA，再由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，代入上式可得：2（sinA﹣2cosA）=+≥2，当且仅当b=c时取等号．即2sin（A﹣θ）≥2，其中tanθ=2．即sin（A﹣θ）≥1，又sin（A﹣θ）≤1，∴sin（A﹣θ）=1．∴A﹣θ=+2kπ，即A=θ++2kπ，k∈N*．∴tanA=tan（θ++2kπ）=tan（θ+）==，∴A∈（0，π），sinA=，∵a=1，∴2R==，∴R=．故答案为：．15.已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ=．参考答案：【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模．【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．【解答】解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．16.给出下列命题：①不等式成立的充要条件是；②已知函数在处连续，则；③当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是；④将函数的图象按向量平移后，与函数的图象重合，则的最小值为.你认为正确的命题是

．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①②略17.若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则的最小值为____________。参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）如果函数的最大值为1，求实数的值；（2）若的解集为，且，求实数的取值范围．参考答案：(1)或；（2）.（1）根据绝对值的三角形不等式，可得绝对值差的最大值，令最大值等于2，解出；（2）根据条件，将问题转化为当时，不等式恒成立，变形为，，根据定义域去掉绝对值，即，当时不等式恒成立问题，采用参变分离的方法求的取值范围.考点：1.含绝对值的三角形不等式；2.不等式恒成立问题.19.如图，在正三棱柱中，是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于

（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）当平面平面时，求的值.参考答案：Ⅰ）因为∥，在平面外，所以∥平面；…………2分是平面与平面的交线，所以∥，故∥；…………4分而在平面外，所以∥平面……6分注：不写“在平面外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.（Ⅱ）解法一：取中点、中点则由∥知在同一平面上，并且由知而与（Ⅰ）同理可证平行于平面与平面的交线，因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，…………10分于是，∽…………12分即…………14分注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.（Ⅱ）解法二：如图，取中点、中点.

以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则在平面中,，向量设平面的法向量，则由即得……9分在平面中,，向量设平面的法向量，由得……12分平面平面，，即……14分注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分.I）由题意，，∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且,∴曲线C的轨迹方程是.………………分

（II）先考虑切线的斜率存在的情形.设切线：，则

由与⊙O相切得

即

①……………7分由，消去得，,设，，则由韦达定理得，……9分

②……10分由于其中一条切线满足，对此结合①式可得…………12分于是，对于任意一条切线，总有，进而故总有.

…………14分最后考虑两种特殊情况：（1）当满足的那条切线斜率不存在时，切线方程为代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到，同上可得：任意一条切线均满足；（2）当满足的那条切线斜率存在时，，，对于斜率不存在的切线也有.综上所述，命题成立.

…………15分20.设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）≥．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，结合基本不等式的性质求出求出f（x）的最小值即可．【解答】（Ⅰ）解：∵a＜0，∴f（0）=|a|+|﹣|=﹣a﹣＞，即a2+a+1＞0，解得a＜﹣2或﹣＜a＜0；（Ⅱ）证明：f（x）=|2x+a|+|x﹣|=，当x≥﹣时，f（x）≥﹣﹣；当＜x＜﹣时，f（x）＞﹣﹣；当x≤时，f（x）≥﹣a﹣，∴f（x）min=﹣﹣≥2=，当且仅当﹣=﹣即a=﹣时取等号，∴f（x）≥．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．21.（本题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．（Ⅰ）求∠BAE的度数；（Ⅱ）求证:参考答案：证明:（Ⅰ）在△EAB与△ECA中因为AE为圆O的切线，所以∠EBA=∠EAC又∠E公用，所以∠EAB=∠ECA因为△ACD为等边三角形，所以

………5分（Ⅱ）因为AE为圆O的切线,所以∠ABD=∠CAE因为△ACD为等边三角形,所以∠ADC=∠ACD,

所以∠ADB=∠ECA,所以△ABD∽△EAC

所以,即因为△ACD为等边三角形,所以AD=AC=CD,

所以

…………………10分22.新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验，当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为．（Ⅰ）若，设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为，求的值；（Ⅱ）若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）该阶段经费使用不会超出预算，理由见解析.【分析】（Ⅰ）根据互斥事件的概率，求一次检验成功和经过两次检验才成功的概率之和即可求解；（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为元，由题意可知的可能值为900，1500，求随机变量的期望