高中数学人教A版第一章空间几何体 第一章单元检测

第一章单元检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列说法中不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台中平行于底面的截面是圆面答案：C解析：本题考查了对基本概念的理解，根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质知，应选C.2．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1上下底面中心分别为O1、O2，将正方体绕直线O1O2旋转一周，其中由线段BC1旋转所得图形是答案：D解析：由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在B，D中选，显然B不对．因为BC1中点绕O1O2旋转得到的圆比B点和C1点的小，故选D.3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4，x，表面积为108，则x等于()A．2B．3C．5D．答案：D解析：该长方体的表面积为2(3×4＋3x＋4x)＝108，x＝6.4．过圆锥的轴的平面截圆锥所得三角形是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为()\f(π,3)\f(\r(3)π,3)\f(2π,3)\f(2\r(3)π,3)答案：B解析：由条件知圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，所以体积为eq\f(\r(3)π,3).5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm2答案：B解析：由三视图可知，该几何体是底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥，其侧面积为πrl＝π×3×5＝15π6.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形答案：A解析：依据斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又∵AO⊥BC，∴AB＝AC＝2.故△ABC是等边三角形．7．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，高为1，M为线段AB的中点，则三棱锥C－MC1D1的体积为\f(1,2)\f(1,3)\f(1,4)\f(2,3)答案：D解析：S△C1D1C＝eq\f(1,2)×1×2＝1，∴VC－MC1D1＝VM－C1D1C＝eq\f(1,3)S△C1D1C·h＝eq\f(1,3)×1×2＝eq\f(2,3).8．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是()\r(6)π\f(4,3)π\f(8,3)π\f(32,3)π答案：B解析：正方体棱长为2，内切球半径为1.9．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋eq\f(8\r(5),3)，则正视图中x的值为()A．5B．4C．3D答案：C解析：该几何体上部为正四棱锥(底面为正方形且顶点在底面的射影是正方形中心的四棱锥)，四棱锥的高为eq\r(32－22)＝eq\r(5)，底面正方形的边长为2eq\r(2)；下部为圆柱，圆柱的高为x，底面圆的直径为4.V四棱锥＝eq\f(1,3)×(2eq\r(2))2×eq\r(5)＝eq\f(8\r(5),3)，V圆柱＝π×22×x＝4πx，V四棱锥＋V圆柱＝eq\f(8\r(5),3)＋4πx＝eq\f(8\r(5),3)＋12π，所以x＝3，故选C.10．若正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，点M是棱AB的中点，则在该正方体表面上，点M到顶点C′的最短距离是()A．6B．10C．2eq\r(17)D．2eq\r(13)答案：D解析：将正方体展成一个平面再求最短距离．11．如右图所示，A∈α，B∈l，C∈l，D∈β，AB⊥BC，BC⊥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，P是棱l上的一个动点，则AP＋PD的最小值为()\r(5)B．2eq\r(2)C．3\r(10)答案：D解析：把α、β展开成一个平面，如图，作AE∥BC，延长DC交AE于E，则AE＝BC＝1，EC＝1，∴在Rt△AED中有AD＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).12．如图，如果底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下的部分的体积是()\f(1,3)πr2(a＋b)\f(1,2)πr2(a＋b)C．πr2(a＋b)D．2r2(a＋b)答案：B解析：将这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个高为a＋b的圆柱．故圆柱被截下后剩下部分的体积为eq\f(1,2)πr2(a＋b)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若两个球的半径之比为1：2，且它们的体积之和为12π，则它们的表面积之和为________．答案：20π解析：设两球半径分别为r,2r，则体积之和为12πr3＝12π，r＝1，表面积之和为4π(r2＋4r2)＝20π.14．一个圆台的上、下底面积分别为π、9π，中截面面积等于圆台的侧面积，则圆台的母线长为________．答案：1解析：如图所示，r1＝1，r3＝3，r2＝2，则π(1＋3)l＝π×4.∴l＝1.15．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的侧视图的面积为________答案：2eq\r(3)解析：由题意知该三棱柱的侧视图为矩形，该矩形的长为2，宽为底面正三角形的高，其值为eq\r(3)，所以其侧视图的面积是2eq\r(3).16．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．答案：2(1＋eq\r(3))π＋4eq\r(2)解析：此几何体是半个圆锥，直观图如图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝π×2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)π，S底＝π×22＝4π，S△SAB＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)＝4eq\r(2).所以S表＝eq\f(4\r(3)π,2)＋eq\f(4π,2)＋4eq\r(2)＝2(1＋eq\r(3))π＋4eq\r(2).三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知圆台的上、下底面半径分别是2和5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．解：设圆台的上、下底面半径分别为r、R，母线为l，则有πr2＋πR2＝π(r＋R)l，所以l＝eq\f(πr2＋πR2,πr＋R)＝eq\f(22＋52,2＋5)＝eq\f(29,7).即该圆台的母线长为eq\f(29,7).18．(12分)已知三棱柱三个侧面都是矩形，若底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为解：由题意设AB＝AC＝3，BC＝2，AA′＝4，则底面BC边上的高为eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，所以体积为V＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×4＝8eq\r(2)cm3，表面积为S＝2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＋(3＋3＋2)×4＝4eq\r(2)＋32(cm2)．19．(12分)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，其中V1是三棱台AEF－A1B1C1的体积，V2是多面体BCFEB1C1的体积，求V解：设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E、F分别为AB、AC的中点，所以S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)h(S＋eq\f(1,4)S＋eq\r(S·\f(S,4)))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，故V1：V2＝7：5.20．(12分)已知一圆锥的母线长为10cm，底面半径为(1)求它的高；(2)若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．解：(1)高为eq\r(102－52)＝5eq\r(3)(cm)．(2)其轴截面如图，设球的半径为rcm，△SCE与△SBD相似，则eq\f(r,5)＝eq\f(5\r(3)－r,10)，解得r＝eq\f(5\r(3),3).于是，所求球的体积V球＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)))3＝eq\f(500\r(3)π,27)(cm3)21．(12分)如图的三个图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和正视图、侧视图(单位：cm)．(1)请画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积和表面积；(3)若将五边形ADD′GE绕直线DD′旋转一周，求所得几何体的表面积和体积．解：(1)俯视图如图所示．(2)所求多面体体积V＝V长方体－V主棱锥＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3)(cm3)．易求得EF＝EG＝FG＝2eq\r(2)，△EFG的面积S△EFG＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3)(cm2)，所以表面积S表＝2×(4×4＋4×6＋4×6)－3×(eq\f(1,2)×2×2)＋2eq\r(3)＝112＋2eq\r(3)(cm2)．(3)五边形ADD′GE绕直线DD′旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为2的圆柱与一个上底半径为2，下底半径为4，高为2的圆台的组合体，其体积＝V圆柱＋V圆台＝π×42×2＋eq\f(1,3)×(4π＋16π＋eq\r(4π×16π))×2＝eq\f(152,3)π(cm3)．该几何体的表面积＝S圆台表＋S圆柱表＝π(2＋4)×2eq\r(2)＋4π＋16π＋2π×4×2＝36π＋12eq\r(2)π(cm2)．22．(14分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积V1＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×(eq\f(16,2))2×4＝eq\f(256,3)π(m3)．如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积V2＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π