重庆荣昌第三中学2022年度高三数学理联考试题含解析

重庆荣昌第三中学2022年度高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设满足约束条件，若恒成立，则实数的最大值为(

)A．

B．

C．4

D．1参考答案：B2.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24

（B）18

（C）12

（D）9参考答案：BE→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法,故选B．3.中国共产党第十八届中央委员会第二次全体会议于2013年2月26日至28日在北京顺利举行，两名大学生志愿者甲与乙被安排在26日下午参加接待工作，工作时间均在13时至18时之间，已知甲连续工作2小时，乙连续工作3小时，则17时甲、乙都在工作的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.执行右边的程序框图，若，则输出的

（

）

A．3

B.4

C.5

D.6参考答案：B条件为。

Sn①2②3③4

不满足输出n=4

故选择B。5.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【解析】如图，在中，

，

6.已知函数f(x)满足条件：当x＞0时，，则下列不等式正确的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C构造函数.在恒成立，在上是增函数，得，故选C.7.如图所示的程序框图运行的结果是(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=2013时，不满足条件i≤2012，退出循环，输出A的值．解答： 解：模拟执行程序框图，可得A=0，i=1满足条件i≤2012，A=，i=2满足条件i≤2012，A=+，i=3…满足条件i≤2012，A=++…+，i=2013不满足条件i≤2012，退出循环，输出A的值．由A=++…+=1﹣…+﹣=1﹣=．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，用裂项法求和是解题的关键，属于基本知识的考查．8.已知双曲线的实轴长为2，则该双曲线的离心率为

A.

B.

C

D.参考答案：D略9.已知等差数列的前项和为，且，为平面内三点，点为平面外任意一点，若，则

（）A、共线B、不共线C、共线与否和点的位置有关D、位置关系不能确定参考答案：A略10.将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则的取值可能为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A将函数化简得到，向右平移个单位后得到函数表达式为，因为关于y轴对称故得到，当k=-1,时，得到值为.故答案为：A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的内角的对边为，已知，则的面积为

参考答案：12.一个口袋中装有若干个除颜色外都相同的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为，连续取出两个小球都是白球的概率为，已知某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为___________.参考答案：【分析】由条件概率求得，，则【详解】设第一次取白球为事件，第二次取白球为事件，连续取出两个小球都是白球为事件，则，，某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为，故答案为【点睛】本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题.求解条件概率时，一要区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系；二要熟记条件概率公式.13.若的二项展开式中，所以二项式系数之和为64，则

；该展开式中的常数项为

（用数字作答）.参考答案：，.试题分析：由题意得，，由二项展开通项公式可知，令，故常数项为，故填：，.考点：二项式定理.14.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．解答：解：如图，连接B1C，则，又，∴，∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，∴．点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．15.用一个边长为的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为

.

参考答案：略16.关于方程表示的圆,下列叙述中:①关于直线x+y=0对称;②其圆心在x轴上;③过原点④半径为.其中叙述正确的是＿＿＿＿（要求写出所有正确命题的序号）参考答案：①③④17.在的展开式中，其常数项的值为

.参考答案：28【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率与统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【试题分析】由二项式定理得，令，即，所以常数项为，故答案为28.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知数列{an}中，a1＝，点（n，2an＋1－an）（n∈N*）在直线y＝x上，???（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；???（Ⅱ）令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；???（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）由题意，2an＋1－an＝n，又a1＝，所以2a2－a1＝1，解得a2＝，同理a3＝，a4＝．

（3分）（Ⅱ）因为2an＋1－an＝n，所以bn＋1＝an＋2－an＋1－1＝－an＋1－1＝，b-n＝an＋1－an－1＝an＋1－（2an＋1－n）－1＝n－an＋1－1＝2bn＋1，即＝又b1＝a2－a1－1＝－，所以数列{bn}是以－为首项，为公比的等比数列．（8分）（Ⅲ）由（2）得，bn＝－×（）＝－3×（），Tn＝＝3×（）－．又an＋1＝n－1－bn＝n－1＋3×（），所以an＝n－2＋3×（）n，所以Sn＝－2n＋3×＝＋3－．

（11分）由题意，记cn＝．要使数列{cn}为等差数列，只要cn＋1－cn为常数．cn＝＝＝＋（3－λ）×，cn－1＝＋（3－λ）×，则cn－cn－1＝＋（3－λ）×（－）．故当λ＝2时，cn－cn－1＝为常数，即数列{}为等差数列．

（14分）19.（本小题满分12分）已知函数.（1)已知函数f(x)在点（l，f（1））处与x轴相切，求实数m的值；（2）求函数f(x)的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0<a<b,证明：参考答案：【知识点】导数的应用；不等式的证明方法.

B12

E7【答案解析】（1）1；（2）时，的增区间为，无减区间，时，的增区间为，减区间为；（3）证明：略.

解析：由得(1)依题意得,即

……2分(2)当时,,知函数在递增;

当时,,由得,由得即函数在递增,在上递减.

……8分(3)由(1)知,得对于任意的，可化为其中，,其中，,即由(2)知,函数在递减,且,于是上式成立故对于任意的，成立.……12分【思路点拨】（1）由函数f(x)在点（l，f（1））处与x轴相切得，函数在x=1处的导数为0求m值；（2）通过讨论m的取值得导函数大于0或小于0的x范围，从而得到单调区间；（3）即证对于任意的，，即证其中，,设，则证，即证，由(2)知,函数在递减,且,于是上式成立故对于任意的，成立.20.已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）．（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值；（3）当a≠0时，若f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）先求导数，再根据x=1是f（x）的极值点得到：“f′（1）=0”，从而求得a值；（2）先根据切线方程为x+y﹣3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．（3）由题意得：函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，即a2﹣2a=0，解得a=0或2；（2）∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上．∴f（1）=2∵（1，2）在y=f（x）上，∴又f′（1）=﹣1，∴1﹣2a+a2﹣1=﹣1∴a2﹣2a+1=0，解得∴由f′（x）=0可知x=0和x=2是极值点．∵∴f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为8．（3）因为函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点．而f′（x）=0的两根为a﹣1，a+1，区间长为2，∴在区间（﹣1，1）上不可能有2个零点．所以f′（﹣1）f′（1）＜0，∵a2＞0，∴（a+2）（a﹣2）＜0，﹣2＜a＜2．又∵a≠0，∴a∈（﹣2，0）∪（0，2）．21.已知椭圆的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：.参考答案：（1）（2）证明过程详见解析【分析】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得，与椭圆有两个交点，.设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明即可.【详解】解：（1）依题意可设圆方程为，圆与直线相切，.，由解得，椭圆的方程为.（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得，与椭圆有两个交点，，即.设，，直线，的斜率分别为，则，.，即.【点睛】本题考查椭圆的标准方程