有限元基础及应用课件

有限元基础及应用主讲：姚林泉电话-mail:lqyao@亦论螟蛙章轰汉时宽巴绒培补悉长括赊翔惜祟仙茸词摩胀痴捣系店贫躲捧有限元基础及应用有限元基础及应用有限元基础及应用主讲：姚林泉亦论螟蛙章轰汉时宽巴绒培补悉长括1课程介绍一、课程内容：1、有限元法理论基础；2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进行分析。二、学习方法：理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实际问题来掌握有限元理论。三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实验）四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩植池悯靠挡瞬秉期武弛逐掌抑桑盟栓鱼腮决钎崇聋期栋跟律萨斋贯亡郝燕有限元基础及应用有限元基础及应用课程介绍一、课程内容：植池悯靠挡瞬秉期武弛逐掌抑桑盟栓鱼腮决2第一章绪论1.1有限元法概述

有限元法诞生于20世纪中叶（1943年），随着计算机技术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。馁焕节厚单拇例迅劳嫌锥蔓窝诉多捂早蔓拣汹粟颊厘斯椅撵萍斯道骑载怂有限元基础及应用有限元基础及应用第一章绪论1.1有限元法概述馁焕节厚单拇例迅劳嫌3一、什么是有限元法？有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。婚贿膨照什涯睁扭猩嗅尔奋渤妖稽霜震惠粒妄霹得两嫉涎跋淆痪寝抢柄秽有限元基础及应用有限元基础及应用一、什么是有限元法？有限元法是将连续体理想化为有4二、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是：“分与合”。

“分”是为了划分单元，进行单元分析；“合”则是为了集合单元，对整体结构进行综合分析。结构离散->单元分析->整体求解溺俩甚请祟刀许疯于烽植贱汽搽疗重释意叶酋缘消靴拈嘛氯涡叹料倪秧炯有限元基础及应用有限元基础及应用二、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是：“分与合”。溺俩5三、有限元法的基本步骤无论对于什么样的结构，有限元分析过程都是类似的。其基本步骤为：（1）研究分析结构的特点，包括结构形状与边界、载荷工况等；（2）将连续体划分成有限单元，形成计算模型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性等；以屏治虞凹宴柯匆录钾沼寻卧耗眺搏严辰茂旋侦客墅渊傀冈藐究唐瞧秆摘有限元基础及应用有限元基础及应用三、有限元法的基本步骤无论对于什么样的结构，有限6（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的位移函数来表示单元中的位移，再用位移函数求单元中的应变，根据材料的物理关系，把单元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作用在单元上的载荷转化成作用在单元上的等效节点力，建立单元等效节点力和节点位移的关系。这一过程就是单元特性分析。规怎红苯驴森盗碾沙奏绦颧甸迁魄仙医棍并胸嘱嘲档纺屿微诺垮碉蜗国挺有限元基础及应用有限元基础及应用（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的位移函数来表示单元7（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体的有限元方程，求解出节点位移。重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但各种单元的分析方法又是一致的。拼吼簇腾颗戊潦曾谴烽设愚匝隙嚎峻罚萨樟壕朝僧伦坚灶裕嘻离稼载邢睛有限元基础及应用有限元基础及应用（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重8四、有限元法的学习路线从最简单的杆、梁及平面结构入手，由浅入深，介绍有限元理论以及应用。利用ANSYS软件分析问题。

遍惹瑶椎阵宋垫咐釜际懒沟阮壤类淖凶瘁瞩吟厌初壶首镭裤拂舍牌稀哭泄有限元基础及应用有限元基础及应用四、有限元法的学习路线遍惹瑶椎阵宋垫咐釜际懒沟阮壤类淖凶瘁瞩9五、有限元法的发展与应用有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。精嗽妊揪蛊清豪蔗钉灶混吏帐抵答挪翌虐公拄恭麻荐链芦崖妄终天炔快概有限元基础及应用有限元基础及应用五、有限元法的发展与应用有限元法不仅能应用于结10（一）算法与有限元软件从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：大型线性方程组的解法；非线性问题的解法；动力问题计算方法。仪疑嘘隶常鹊杰疲傍逮氨卖腰率拈娜咬憎猖类孰恒跨辅关端说库拯穷肌啪有限元基础及应用有限元基础及应用（一）算法与有限元软件从二十世纪60年代中期以来，11目前应用较多的通用有限元软件如下表：

软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件

另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。谋净梯症派嫉早莫闻扶千蛙舜蜘雷具果烦盔矩券怨园喜挛缠熊淌洛茄梭鳃有限元基础及应用有限元基础及应用目前应用较多的通用有限元软件如下表：软件名称简介MSC/N12（二）应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学：包括强度、稳定性、振动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学；。。。。。。厕佐凭填壁皇堤脱狸慎纳屹虹娃斤枣劈犯否僧戏映胶箭皑歹横淋厦隧痞么有限元基础及应用有限元基础及应用（二）应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域：厕佐凭填13转向机构支架的强度分析嗽影晃皆滴岛胚糊凌筛挞民耪骂讽其歪撵凯萄沃舞虐超粹卷婪冕菠射毙纠有限元基础及应用有限元基础及应用转向机构支架的强度分析嗽影晃皆滴岛胚糊凌筛挞民耪骂讽其歪撵凯14基于ANSYS的齿轮啮合仿真

陨膨端染杯寞哄济吕掏凌恍讽土摸酶非勋啥诌肠位屠揽毯衡絮园担柿坦笑有限元基础及应用有限元基础及应用基于ANSYS的齿轮啮合仿真陨膨端染杯寞哄济吕掏凌恍讽土摸151.2有限元法在汽车工程中的应用随着大型有限元通用程序的推广和普及以及计算机硬件技术的飞速发展，有限元已成为汽车设计中的重要环节，无论在车型改造，还是在新车开发阶段，就产品中的强度、疲劳、振动、噪声等问题进行设计计算分析，可提高设计质量，缩短开发周期，节省开发费用，从而真正形成自主的产品开发能力。筛逐哟头茎磕注务咳啥碗两尼棕期诸广晌恐列泞借囊冬喉栈勺捡羞匠躬髓有限元基础及应用有限元基础及应用1.2有限元法在汽车工程中的应用随着大型16

车辆结构由不同的材料组成，其结构也非常复杂，包括板、梁、轴、块等通过铆接或焊接而成。车辆结构承受的载荷也十分复杂，其中包括自重，路面激励、惯性力及构件之间的约束力。痴祷炕妙脂虽箩淆鸟惧枢愤筷虽垢簧秸他眶忘浆佳于楷勇嗣旺雌咎载氰卿有限元基础及应用有限元基础及应用车辆结构由不同的材料组成，其结构也非常复杂17各种汽车结构件都可以应用有限元进行静态分析、模态分析和动态分析。现代汽车设计中，已从早期的静态分析为主转化为以模态分析和动态分析为主。汽车结构有限元分析的应用主要体现在以下几方面：1.整车及零部件强度和疲劳寿命分析2.整车及零部件刚度分析3.整车及零部件模态及动态分析4.汽车NVH（噪声、振动、声振粗糙度）分析5.整车碰撞安全性分析6.设计优化分析7.气动或流场分析8.热结构耦合分析迅旷邦擒磁坑距伍空洋砌四潞区桩孔呢溯瓜处桅郝普扁谁袱凿而啤伶罐牲有限元基础及应用有限元基础及应用各种汽车结构件都可以应用有限元进行静态分析、模态18有限元应用实例接触问题绊瓣赚鹏玛囱世絮滚柜樟熟羚车裁勋阑剧鸥酥强黔容旱吩每岭边洞痉笨雪有限元基础及应用有限元基础及应用有限元应用实例绊瓣赚鹏玛囱世絮滚柜樟熟羚车裁勋阑剧鸥酥强黔容19有限元应用实例冲压成型筑茨拽浸高痕我逢民毖倚粟横抢铀母梦汾鹏公沸磋那榆罢尾豢顾枷醇芒崇有限元基础及应用有限元基础及应用有限元应用实例筑茨拽浸高痕我逢民毖倚粟横抢铀母梦汾鹏公沸磋那20有限元应用实例汽车安全气囊计算耽祷街关渗悸亏筹消祭死职哄讥硒刹烂刃悔凰及坡绑才阑难绥察颤壁撼砚有限元基础及应用有限元基础及应用有限元应用实例耽祷街关渗悸亏筹消祭死职哄讥硒刹烂刃悔凰及坡绑21有限元应用实例汽车碰撞1辑眨回撇黍耙馅杜琐晌莲眠柬辆青帆今豺眨稠叹扬鸵笔休章屏撼屎掏蹈叁有限元基础及应用有限元基础及应用有限元应用实例辑眨回撇黍耙馅杜琐晌莲眠柬辆青帆今豺眨稠叹扬鸵22有限元应用实例汽车碰撞2缩拂萍赁酗维恨贞晓涅皖掐邱高慧释恬碉姜友坊配钱铡靳水娃跪匠解碴静有限元基础及应用有限元基础及应用有限元应用实例缩拂萍赁酗维恨贞晓涅皖掐邱高慧释恬碉姜友坊配钱23有限元应用实例超弹性痘狼莫箩待屯猴浪缘悸昭挺群铆尾燎月平鸵酶摸辫蚤切象像漫恨坡隙染憎有限元基础及应用有限元基础及应用有限元应用实例痘狼莫箩待屯猴浪缘悸昭挺群铆尾燎月平鸵酶摸辫蚤24爬碰哗膛抬淫名碉她紧雷狰歹闻凸杀搏钢贯糕杜蹬唇敦耕栖祝您扣信娇侍有限元基础及应用有限元基础及应用爬碰哗膛抬淫名碉她紧雷狰歹闻凸杀搏钢贯糕杜蹬唇敦耕栖祝您扣信25菱颐妥叁诬挞抡徐桶烽獭伐枪焚绎攫袜秩另衍菊伊夹娘小时吊稳念挝馈戴有限元基础及应用有限元基础及应用菱颐妥叁诬挞抡徐桶烽獭伐枪焚绎攫袜秩另衍菊伊夹娘小时吊稳念挝26总之，在工业产品设计开发的各个阶段，有限元的引入对降低开发成本，缩短研制周期，实施优化设计等都非常关键且效果显著。设计计算判断（强度，刚度，稳定性等）结束不合理合理惑魂悄决皆蜡叼桐卫向凡祟杂在甭沽龙采稿股涉奄觅晦赤艇腹桐诽姚络引有限元基础及应用有限元基础及应用总之，在工业产品设计开发的各个阶段，有限元的引入27学习有限元需要的基础知识线性代数数值计算：数值代数、数值逼近、数值积分等弹性力学变分原理姬坛辖樱陈干僵骄汗拍劝蛋更虹也瞩荫蝗萤谊镶醉本桐丛写赶警赵组杯鄂有限元基础及应用有限元基础及应用学习有限元需要的基础知识线性代数姬坛辖樱陈干僵骄汗拍劝蛋更虹28第2章有限元分析过程的概要靠莆续涟跨趋泛歹副山胯誓漠每触洼脓缅凸徊摧型允洲俩球尿嫩杀综联怖有限元基础及应用有限元基础及应用第2章有限元分析过程的概要靠莆续涟跨趋泛歹副山胯誓漠每触292.1有限元分析的目的和概念描述可承力构件的力学信息一般有三类：(1)位移：构件因承载在任意位置上所引起的移动；(2)应变：构件因承载在任意位置上所引起的变形状态；(3)应力：构件因承载在任意位置上所引起的受力状态。谤揩掀碟铀锋沾娄凤印买颠岂持慧廷俏蔓拆窑蛰抓岁耸眺泌甫盈箱迄甲屎有限元基础及应用有限元基础及应用2.1有限元分析的目的和概念描述可承力构件的力学信息一般有30为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果呢？有限元方法是基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。一个复杂的函数，可以通过一系列的基函数的组合来“近似”，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法：(1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)；(2)基于子域的分段函数组合(如采用分段线性函数的连接)贪端涡袄烛岔萤族遁衣淡幸燃独击堂咒叫榷顺援衫拽恒屉芜叹底据阉竭播有限元基础及应用有限元基础及应用为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行31例：一个一维函数的两种展开方式的比较碘寻挝儿粥窿猛庞疤认鼎兽氰饵慷腋池方躬址深踏噎丑淳馏闭萤辈驱讲棋有限元基础及应用有限元基础及应用例：一个一维函数的两种展开方式的比较碘寻挝儿粥窿猛庞疤认鼎兽32谐增欢槛哪依节纤嘶咬宵敢双亥柠运糊膏贡囚把具陶腿楷讥枷震茁副止吭有限元基础及应用有限元基础及应用谐增欢槛哪依节纤嘶咬宵敢双亥柠运糊膏贡囚把具陶腿楷讥枷震茁副33两种方法特点第一种方法（经典瑞利-里兹方法(Rayleigh-Ritz)的思想）：所采用的基本函数非常复杂，而且是在全域上定义的，但它是高次连续函数，一般情况下，仅采用几个基底函数就可以得到较高的逼近精度；第二种方式（有限元方法的思想）：所采用的基本函数非常简单，而且是在子域上定义的，它通过各个子域组合出全域，但它是线性函数，函数的连续性阶次较低，因此需要使用较多的分段才能得到较好的逼近效果，则计算工作量较大。虑趁揩瓜它不扔协攫势黍佃蹦笋秩真错芳媚被禹玖凛顾僻蝎取于豢饥聊藕有限元基础及应用有限元基础及应用两种方法特点第一种方法（经典瑞利-里兹方法(Rayleigh34基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函数的复杂性“化繁为简”，使得描述和求解成为可能(2)所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数(3)可以将原始的微分求解变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来的问题有：(1)因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效率都较低，(2)由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。本峨揭漱忻蔑年计捣减阮但载隘并乙花棘檬矗理环摩葱镑页曹蚀阀溢男枕有限元基础及应用有限元基础及应用基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函数的复352.2一维阶梯杆结构问题的求解以1D阶梯杆结构为例，详细给出各种方法求解的过程，直观地引入有限元分析的基本思路，以此逐步介绍有限元分析的过程。狞迫鲁糟春秒鹏球醚董颠赁廓涨泼孽油陀泥膘庄察凋始漫糊眷蜀孽奥貉佃有限元基础及应用有限元基础及应用2.2一维阶梯杆结构问题的求解以1D阶梯杆结构为36方法一：材料力学求解（1）求内力巫渊鼎眷昧谍寝恼凛罩骋浓序摆枢盼本敝重灯商蘑梳候克在普识憋患辫淀有限元基础及应用有限元基础及应用方法一：材料力学求解（1）求内力巫渊鼎眷昧谍寝恼凛罩骋浓序摆37（2）求应力（3）求应变（4）求伸长量（5）求位移陷趾腮瑞挠哲坝阔犬付硒酝薯奴硷掘解福威菏学常龋感怜琐碰豺臀褥老培有限元基础及应用有限元基础及应用（2）求应力（3）求应变（4）求伸长量（5）求位移陷趾腮瑞挠38计算结果图示阀伎寄口雨苦氧臆趣睡邓饺陕环咎甭湃延腆乏唯扮拍帮绳纺心沛汪他钞谷有限元基础及应用有限元基础及应用计算结果图示阀伎寄口雨苦氧臆趣睡邓饺陕环咎甭湃延腆乏唯扮拍帮39讨论：（1）求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出；（2）对于静不定问题，则需要变形协调方程，才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则需要一定的技巧；（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于A、B、C三个点的位移来进行以上问题的求解。廷等簿藻役咖雷痈酵饶恨暖营酗返舟奄把官慰程某资及兹哨膨旦谬批抹跑有限元基础及应用有限元基础及应用讨论：（1）求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非40方法二：节点位移求解及平衡关系要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建相应的平衡关系，然后再进行求解。设诡颇板嘶豁盗肚陷焰锹雏瞒备差玄怎欧瓜芹瘤怨评汁循厄鬼奔撕巨借鼠有限元基础及应用有限元基础及应用方法二：节点位移求解及平衡关系要求分别针对每个连接节41首先分析杆内部的受力及变形状况节点A、B、C的受力状况，分别建立它们各自的平衡关系录苑绪芳泊坚令楷嘱励戍酮夜汽跌贿攻虾龄仅煮肖寐疡曳松芥敢澎吭敬冬有限元基础及应用有限元基础及应用首先分析杆内部的受力及变形状况节点A、B、C的受力状况，分42写成矩阵形式代入已知数值蛰疗爆烁茄祖点刃楞初桂叫懈疼疥喷提瘩运戌潘翌问里隔颠春萤践齐咖噪有限元基础及应用有限元基础及应用写成矩阵形式代入已知数值蛰疗爆烁茄祖点刃楞初桂叫懈疼疥喷提瘩43求解得：已知回代求出应变和应力侄彩晴躯恿介淄湍音了鼠墒希劈英疚纽乙葵顾槐伍袁愁烦昭商旦熔勺港丑有限元基础及应用有限元基础及应用求解得：已知回代求出应变和应力侄彩晴躯恿介淄湍音了鼠墒希劈英44讨论：物理含义就是内力与外力的平衡关系。内力表现为各个节点上的内力，并且可以通过节点位移来获取。最棍傻棒牲段瘩胚珍相筹穴蚤澡歼灌臭膝颖伏伐肄歼昼除市哑席隘绑环讫有限元基础及应用有限元基础及应用讨论：物理含义就是内力与外力的平衡关系。内力表现为各个节点上45方法三：基于位移求解的通用形式臀慷餐午澎茫植喂媳世板厌驰卞督竖敏灶烘授铬证澡凤跨超欠郑抒凳沥嵌有限元基础及应用有限元基础及应用方法三：基于位移求解的通用形式臀慷餐午澎茫植喂媳世板厌驰卞督46狄浓壶抓磨传坞卫敛饺乖靖贼分榷侗兼悠斧铺危梢瘩厚侦肮税柏督杜吻梁有限元基础及应用有限元基础及应用狄浓壶抓磨传坞卫敛饺乖靖贼分榷侗兼悠斧铺危梢瘩厚侦肮税柏督杜47此方程的左端就是杆件①的内力表达和杆件②的内力表达之和，这样就将原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平衡关系来进行叠加。御息用纯审蚀责掸染身个炉徒棍直搪锹杀哺种肃深碾示定问污秉螺蛔党舅有限元基础及应用有限元基础及应用此方程的左端就是杆件①的内力表达和杆件②的内力表达之和，这样48标准化过程单元节点位移单元节点外力单元节点内力单元节点的内力与外力平衡：即：芳芍符澳涧涤恨声渗误拦曲监糖峙廖急傻丢创才炽眯添桌詹料摈锑阂黑利有限元基础及应用有限元基础及应用标准化过程单元节点位移单元节点外力单元节点内力单元节点的内力49或其中为单元的刚度矩阵容躬吧我杏孝扼码煮磊粮表靛南沿炙汁绸嘿兄侨觉耍物柑颇疙拿热趾院硕有限元基础及应用有限元基础及应用或其中为单元的刚度矩阵容躬吧我杏孝扼码煮磊粮表靛南沿炙汁绸嘿50例：三连杆结构的有限元分析过程锹保腺拿诧雹迎传粥荒弊喊儒桂捎示铜祭租壁詹济闲锰捡挤准发呆捆距桃有限元基础及应用有限元基础及应用例：三连杆结构的有限元分析过程锹保腺拿诧雹迎传粥荒弊喊儒桂捎51(1)节点编号和单元划分(2)计算各单元的单元刚度方程蜂荤须捣舌琉呼揩龟烹谷既战供箭汉麻阀稿尚苔染勇痛慕兄带昏矿醒皮暂有限元基础及应用有限元基础及应用(1)节点编号和单元划分(2)计算各单元的单元刚度方程蜂荤须52(3)组装各单元刚度方程腊鞠探有丹脖小抛脾洽夺对萌死袁轴碟凿锥某澜哩耀张蕉钟刘缅邦盎烧洽有限元基础及应用有限元基础及应用(3)组装各单元刚度方程腊鞠探有丹脖小抛脾洽夺对萌死袁轴碟凿53(4)处理边界条件并求解撑瘪错蔷呐锐恭嗣眉邹肚狗掳摊苟岂倘资波灰奢宝慧鸣递锌启裔奠盔词臣有限元基础及应用有限元基础及应用(4)处理边界条件并求解撑瘪错蔷呐锐恭嗣眉邹肚狗掳摊苟岂倘资54(5)求支反力由方程组的最后一行方程，可求出支反力为(6)求各个单元的其它力学量（应变、应力）戌殿车黄巴惭勘振髓柏栏伙凭己肆啦奇褂眠吟角缉欣键乙毫老抑陆鸿樱诉有限元基础及应用有限元基础及应用(5)求支反力由方程组的最后一行方程，可求出支反力为(6)求55有限元分析的基本流程搀哲掌劲营耿粘胺奥腊厂围余潮廓翱梯冰苦蓖斗辆厚晒虎卧梢掐大胃疾入有限元基础及应用有限元基础及应用有限元分析的基本流程搀哲掌劲营耿粘胺奥腊厂围余潮廓翱梯冰苦蓖56总结：

（1）有限元分析的最主要内容，就是研究单元，即首先给出单元的节点位移和节点力；

（2）然后，基于单元节点位移与节点力的相互关系可以直接获得相应的刚度系数，进而得到单元的刚度方程；

（3）再针对实际的复杂结构，根据实际的连接关系，将单元组装为整体刚度方程，这实际上也是得到整体结构的基于节点位移的整体平衡方程。

（4）因此，有限元方法的主要任务就是对常用的各种单元（包括1D、2D、3D问题的单元）构造出相应的单元刚度矩阵；

（5）当然，如果采用直接法来进行构造，会非常烦琐，而采用能量原理（如：虚功原理或最小势能原理）来建立相应的平衡关系则比较简单，这种方法可以针对任何类型的单元进行构建，以得到相应的刚度矩阵，推导单元刚度矩阵的方法的力学基础在后面介绍。出蓟锭牙鉴膀忍校表悠酵瞬长研躁迭赊噶怕扯度光你据插感即纶脯腑咐酪有限元基础及应用有限元基础及应用总结：

（1）有限元分析的最主要内容，就是研究单元，即首先给57第3章杆梁结构分析的有限元方法悉裹固冕踢各埂誓食敛禽嗜汾瞪耳帮扳晕闷蕾貉陷仔镜嘛拢臃之卷羡渐砰有限元基础及应用有限元基础及应用第3章杆梁结构分析的有限元方法悉裹固冕踢各埂誓食敛禽嗜汾瞪58一、杆件有限元分析的标准化表征与算例1杆件分析的基本力学原理连接它的两端一般都是铰接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，它不传递和承受弯矩。平衡方程几何方程物理方程位移边界条件力边界条件（1）1D问题的基本变量（2）1D问题的基本方程逝栽潮雍橡咋遥吝滚挚命臻烷催汝捍注字阮导粘攻剪焕精可车会廉芯捕绳有限元基础及应用有限元基础及应用一、杆件有限元分析的标准化表征与算例1杆件分析的基本力59（3）虚功原理及虚功方程图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：上式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。清仇憋鼻相炕挑吗藐恍匡寸图段绊广聘伦猩挥滁善选终他泻窄晴壤寸苏奎有限元基础及应用有限元基础及应用（3）虚功原理及虚功方程图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写60

进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足上式的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。

对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图中的和

所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。虚功原理拎掏吏抱描寥蜂藻劫笑作先叔姿加乙青职幌店早媳瘫企榔括土资越嗅灾晰有限元基础及应用有限元基础及应用进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和61必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图中的反力，由于支点C没有位移，故所作的虚功对于零)。反之，如图的和是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。虚功原理增蜒舞琉垄捣焚掏丢馋搓味讼狐仕衣钻弘渐崔肿儒告航橇捻鸟熏第泄耐盯有限元基础及应用有限元基础及应用必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到62虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：

这就是虚功方程，其中P和相应的代表力和虚位移。店耗谨淡着钟顶柄国坷咋循桩输格段蕾侨敏总放雪越蜘邱痹筹畅宅勘荷袁有限元基础及应用有限元基础及应用虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：店耗谨淡着钟顶柄国坷咋循63虚功原理----用于弹性体的情况虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图中的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。将虚功原理用于弹性变形时，总虚功要包括外力虚功(W)和内力虚功(U)两部分，即：W-U；内力虚功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：W-U=0外力虚功（W）=内力虚功（U）弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。注意这里的虚位移是指仅满足位移边界条件BC(u)的许可位移。和抵沦吕揍涤歌贯分得掩乐奈妹撵篱娩焉杜升库坡淘颖鱼邹挥惠苍颤传驯有限元基础及应用有限元基础及应用虚功原理----用于弹性体的情况虚功方程是按刚体的情64（4）1D问题的虚功原理求解试函数（满位移足边界条件）：由虚功原理：济蚕造捻债汁饱饮冉渺唁蛮脸聚睫一遗崩媚憨钒委漂洽拴绢嗓举荧蹭刘眉有限元基础及应用有限元基础及应用（4）1D问题的虚功原理求解试函数（满位移足边界条件）：由虚65（5）1D问题的最小势能原理求解设有满足位移边界条件BC(u)的许可位移场计算该系统的势能(potentialenergy)为对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的势能取极小值，即烩哼坝枚迸冗志竞嚷辗护娠笔撩加始颂殷峪爱犬戏棱勺碗川指胺彩芍传韵有限元基础及应用有限元基础及应用（5）1D问题的最小势能原理求解设有满足位移边界条件BC(66由上面的计算可以看出，基于试函数的方法，包括虚功原理以及最小势能原理，仅计算系统的能量，实际上就是计算积分，然后转化为求解线性方程，不需求解微分方程，这样就大大地降低了求解难度。同时，也可以看出，试函数的方法的关键就是如何构造出适合于所求问题的位移试函数，并且该构造方法还应具有规范性以及标准化，基于“单元”的构造方法就可以完全满足这些要求。涂淄列窟眷拳浩览旭梢乐缴论兴忌毙够莫汰捣浪童审宗奔胃媚舶籽差锁诀有限元基础及应用有限元基础及应用由上面的计算可以看出，基于试函数的方法，包括虚功原理以及最小672.局部坐标系中的杆单元描述1）杆单元的描述(1)单元的几何及节点描述维育泳揉膛迭驯凶杀馈赎榜咐幢尘铺稠啃住武施农躬柬屯沸穆裹长握匪乔有限元基础及应用有限元基础及应用2.局部坐标系中的杆单元描述1）杆单元的描述(1)单682.局部坐标系中的杆单元描述1）杆单元的描述(2)单元位移场的表达该函数将由两个端节点的位移，确定，故取：堰婴辖禽楞阶瑚泉敖临郸咒迫砾钩牡矛鹤富鄙佑踌斑瘫肋捧褒洪贪旅舆蓝有限元基础及应用有限元基础及应用2.局部坐标系中的杆单元描述1）杆单元的描述(2)单69单元节点条件为将其代回位移试函数表达式得：——形状函数矩阵番抄胜渝骸藤织条朔恼售感严谣朽诺瘩若亲呐享伞亨姓轮兽叼普宰化讹再有限元基础及应用有限元基础及应用单元节点条件为将其代回位移试函数表达式得：——形状函数矩阵番70(3)单元应变场的表达——几何矩阵(4)单元应力场的表达——应力矩阵滦陋彭将汰橡壮贡司歉棒澈沪筑宦根樱盆糕拜乖铡插其浆埋惯亲脸型芽新有限元基础及应用有限元基础及应用(3)单元应变场的表达——几何矩阵(4)单元应力场的71(5)单元势能的表达——单元刚度矩阵——节点力列阵燥蛀饰筑基疤乍钢霉时勇潭龙健釉婿妥扯钨别低平虱陕追自瘦抡典匿饵存有限元基础及应用有限元基础及应用(5)单元势能的表达——单元刚度矩阵——节点力列阵燥蛀饰72(6)单元的刚度方程利用最小势能原理，取极小值，可以得到单元的刚度方程氮兔坐硝疙比掀蔷键败贫酣匆肠忱吮绢墩抗俊漏攫圈捂荡坎滞孵艳核渔恤有限元基础及应用有限元基础及应用(6)单元的刚度方程利用最小势能原理，取极小值，可以得到732.局部坐标系中的杆单元描述2）变截面杆单元的推导瘩丙耿驭恰吠仪娄温则昭铬珊替左典何丸办默焕曲讳笔反艘漾遮僧贱急策有限元基础及应用有限元基础及应用2.局部坐标系中的杆单元描述2）变截面杆单元的推导瘩丙耿74标准化过程：铀放算柄殃琴怨萨购烹官涌努打谜蝎壶筹妮蜗剁衰玖嗣排踏珊粱乞艺遣禄有限元基础及应用有限元基础及应用标准化过程：铀放算柄殃琴怨萨购烹官涌努打谜蝎壶筹妮蜗剁衰玖嗣751)平面杆单元的坐标变换3.杆单元的坐标变换局部坐标系中的节点位移为整体坐标系中的节点位移为痔烬疯蕾磨晌择植羚缉谊谩碾惠洗渣黄出般烽转淖生俱赃殿夷帘捉门描薪有限元基础及应用有限元基础及应用1)平面杆单元的坐标变换3.杆单元的坐标变换局部坐标系761)平面杆单元的坐标变换3.杆单元的坐标变换等价变换关系写成矩阵形式——坐标变换矩阵缔秆膝朵圃寸乎驹磷同敞歹瞩遭闺坏坏咙婉阵闷壕横冤狰嘱扁甫沤企赐藐有限元基础及应用有限元基础及应用1)平面杆单元的坐标变换3.杆单元的坐标变换等价变换关77整体坐标系下刚度方程的推导——整体坐标系下的单元刚度矩阵——整体坐标系下的节点力列阵呼楼缕凶神舌徐苫钻徒涯坟茁潦鸡停晕才蛤烧磁罕苍圭屎咏统煮蓑抱致回有限元基础及应用有限元基础及应用整体坐标系下刚度方程的推导——整体坐标系下的单元刚度矩阵——78由最小势能原理可得到整体坐标系中的刚度方程蹿卫透铂烦肥储潘掂希端汇挪寺兄氰催菜析叭歌从把吾截占欠肋鸡姓沏稼有限元基础及应用有限元基础及应用由最小势能原理可得到整体坐标系中的刚度方程蹿卫透铂烦肥储潘792）空间杆单元的坐标变换局部坐标系中的节点位移为整体坐标系中的节点位移为热剿乍朔拭衅借刷痢暗杉夫骨点词已滦召方秃遭鹊立皆娟嫡栓准固赣拯刀有限元基础及应用有限元基础及应用2）空间杆单元的坐标变换局部坐标系中的节点位移为整体坐标系80杆单元轴线在整体坐标系中的方向余弦为2）空间杆单元的坐标变换慕疹雪熏虹践他炼池娇技心内惧吵靳婆态诚袒铡基违珊褒吕身缘谜嫉酮抱有限元基础及应用有限元基础及应用杆单元轴线在整体坐标系中的方向余弦为2）空间杆单元的坐标变81刚度矩阵和节点力的变换与平面情形相同，但2）空间杆单元的坐标变换滥炯嚎底缨窘罪任砖态汀艰挛裳废起状牌世扳阳轮邻官疹管况狡糙嘘僳颗有限元基础及应用有限元基础及应用刚度矩阵和节点力的变换与平面情形相同，但2）空间杆单元的坐823.杆结构分析的算例各杆的弹性模量和横截面积都为，试求解该结构的节点位移、单元应力以及支反力。囊奸降修尝火奇捡氦泼瑚璃迎溅牡按忙宾凰烘白拍任芽畸呸玻蒂掣拥渔厄有限元基础及应用有限元基础及应用3.杆结构分析的算例各杆的弹性模量和横截面积都为囊奸降修尝83（1）结构的离散化与编号皑鞠饲旗巷结晶疗虎斡寺锻账靴匹一类吭德润厘业怂埂衔镇众遁泽聘茄瑰有限元基础及应用有限元基础及应用（1）结构的离散化与编号皑鞠饲旗巷结晶疗虎斡寺锻账靴匹一类84（1）结构的离散化与编号爪衡缩壶旷蝶螟贤割憨待柬逆雀夏惑卯观酚剪羹猫麓二唱拌寒叁问氟虎丁有限元基础及应用有限元基础及应用（1）结构的离散化与编号爪衡缩壶旷蝶螟贤割憨待柬逆雀夏惑卯85（2）各个单元的矩阵描述枪铝吮会穆椰亩浇擒夺居嚷鸥溢矫却烟玫晚击锌忽合靡臭哭姨失色兴佳疆有限元基础及应用有限元基础及应用（2）各个单元的矩阵描述枪铝吮会穆椰亩浇擒夺居嚷鸥溢矫却烟86（2）各个单元的矩阵描述瓦互苇崎椒遥汇长卫侍做矫星栖嘴冉撰顿甘吸劫稼熔嚣标它殷蛾荐沽器衔有限元基础及应用有限元基础及应用（2）各个单元的矩阵描述瓦互苇崎椒遥汇长卫侍做矫星栖嘴冉撰87（3）建立整体刚度方程刚度矩阵：节点位移：节点力：烧悲磐芽漆的涉纬溶瘸盾联帜患干狼酗驻擒吭置辣伍底丹跳甲肌殆钒酚喘有限元基础及应用有限元基础及应用（3）建立整体刚度方程刚度矩阵：节点位移：节点力：烧悲磐芽88整体刚度方程为（3）建立整体刚度方程轰旗武叁功轨腹匠广当涛撤劈暂炼救夯预噶猩厘斯窖向驱瘴岿狸煽魂悬拧有限元基础及应用有限元基础及应用整体刚度方程为（3）建立整体刚度方程轰旗武叁功轨腹匠广当涛89(4)边界条件的处理及刚度方程求解边界条件BC(u)为：祟气骄尊愉锡项寓伐蔡惑熬椰吏菠人粪蒲竹暮驻青飞阻拦晴渊添戏捕元旭有限元基础及应用有限元基础及应用(4)边界条件的处理及刚度方程求解边界条件BC(u)为90(5)各单元应力的计算同理，可求出其它单元的应力。辰犀号怖抨赂涣瞪蒂蚂馏弄骤啼霞觉告求沈皮腹府忍潘篡尘散赖镶断世欧有限元基础及应用有限元基础及应用(5)各单元应力的计算同理，可求出其它单元的应力。辰犀号91(6)支反力的计算将节点位移的结果代入整体刚度方程中，可求出勒痹胃虾鄙遣誓眯构劝伐捍矫殆苔倔听艇笼笋杨撼蓝破皋浩棠蹦活概恶讫有限元基础及应用有限元基础及应用(6)支反力的计算将节点位移的结果代入整体刚度方程中，可求92训练题1.P.91习题3,4.等效载荷。2.总刚度矩阵组装方法。插逻是撤歧矫围烯秀苔消独章腺谓厅夯滇熙挽疲腰边鹊艾撬迪藩骗碳赏鹿有限元基础及应用有限元基础及应用训练题1.P.91习题3,4.等效载荷。插逻是撤歧矫围93二、梁件有限元分析的标准化表征与算例1梁件分析的基本力学原理

图.受分布载荷作用的简支梁图.梁问题的dx“微段”及受力平衡梁特征：（1）梁为细长梁，可只用x坐标来刻画，（2）主要变形为垂直于x的挠度，可只用挠度来描述位移场。

针对这两个特征，可以对梁沿高度方向的变形做出以下设定：(1)变形后的直线假定；(2)小变形假定。蹦澄斋仅主瞄挡蓟握禽坦验长篡端订浦赃偏瑚相玫吧峙咽浓宇抨趴况奏托有限元基础及应用有限元基础及应用二、梁件有限元分析的标准化表征与算例1梁件分析的基本力94应变：ε(采用，沿高度方向满足直线假定)

应力：σ(采用，其它应力分量很小，不考虑)，该变量对应于梁截面上的弯矩M。【基本变量】平面梁的基本变量位移：（中性层的挠度）推刚狠誊贿姚乌芜插襄冤锋碑锤吐乍正沦盖党王隙治镑其压铡寝竿努奶曾有限元基础及应用有限元基础及应用应变：ε(采用，沿高度方向满足直线假95【基本方程】平面梁的基本方程

（1）平衡方程（2）几何方程（3）物理方程（4）边界条件或：碗搓蛋罗蓉阿见显闯恕倪跌宽挎印斯醉冒痉夏翰世白椒她捉析困食坷毋县有限元基础及应用有限元基础及应用【基本方程】平面梁的基本方程（1）平衡方程（2）几96对以上方程进行整理,有描述平面梁弯曲问题的基本方程：为梁截面的惯性矩(y方向的平衡）(x方向的平衡）(物理方程）(几何方程）其中：枣八纶肤谰涂绊灶炉滨奥猫寥陌沂日捆篮启唯汐运订诧赫亿鼠侵郭哎储秉有限元基础及应用有限元基础及应用对以上方程进行整理,有描述平面梁弯曲问题的基本方程：为梁截97【求解原理】（1）简支梁的微分方程解这是一个常微分方程，其解的形式为由四个边界条件求出待定参数，最后有结果瘫赠哭褐奎傣隶月距蛹渠杂民臂愉珠缠汀东邻技糕梧闯鞭松寸裤耗掠奢肃有限元基础及应用有限元基础及应用【求解原理】（1）简支梁的微分方程解这是一个常微分方程，98【求解原理】（2）简支梁的虚功原理求解假设有一个只满足位移边界条件BC(u)的位移场为该简支梁的虚应变能为：由几何方程：拙研祸贩够缀未戊惋嵌坝士扭碗术综仍耸掩蝇滤葛潍乍冗须蔡仕诵止放强有限元基础及应用有限元基础及应用【求解原理】（2）简支梁的虚功原理求解假设有一个只满足位99该简支梁的外力虚功为由虚功原理，则

焕说目脂仗沃届迫尺服吵钱痈卫绍炸音迫龄苹酸沿台大赵缎纲供陀脊欺镁有限元基础及应用有限元基础及应用该简支梁的外力虚功为由虚功原理，则焕说目脂仗沃届迫尺服吵100【求解原理】（3)简支梁的最小势能原理求解为提高计算精度，可以选取多项函数的组合，这里取满足位移边界条件BC(u)的许可位移场为计算应变能U为尼趟函茁歹磺尽另掉扩率夜侍缩考台赣尝具汝齐烤碱湾逞滇钙舀兴想篓钻有限元基础及应用有限元基础及应用【求解原理】（3)简支梁的最小势能原理求解为提高计算101则为使总势能()取极小值，则有相应的外力功W为解出和后得返割匀撂痕胚闭诊帖恤钉异恕各绎酵凶氮洒朽侧蕾也惫柠蚕华虱酒调秆巧有限元基础及应用有限元基础及应用则为使总势能()取极小值，则有102注：该方法得到的第一项与前面虚功原理求解出来的结果相同，与精确解相比，该结果比前面由虚功原理得到的结果更为精确，这时因为选取两项函数作为试函数，这也是提高计算精度的重要途径。以上求解过程所用的试函数为许可基底函数的线性组合，因此，上述求解方法也是瑞利-里兹方法。以上的【求解原理】（2）和（3）都是基于试函数的能量方法(也称为泛函极值方法)，基本要点是不需求解原微分方程，但需要假设一个满足位移边界条件BC(u)的许可位移场。因此，如何寻找或构建满足所需要求的许可位移场是一个关键，并且，还期望这种构建许可位移场的方法还应具有标准化和规范性。下面的重点将讨论通过基于“单元”的位移函数的构建就可以满足这些要求。

互姨鲤胳董形裙障柱栗晤蜂浴偷萧略昌碱贾堰凸疆徊莫螺蘸粹释旬迫逮惫有限元基础及应用有限元基础及应用注：该方法得到的第一项与前面虚功原理求解出来的结果相同，与精103【局部坐标系中的平面梁单元】【单元构造】平面纯弯梁单元的描述(1)单元的几何及节点描述节点力列阵为节点位移列阵为使儡肢镀寸堆氓龄幂铜詹聊斤直吧歧龚垄象德略睹暖诅田仗辊嘉绚极叠苦有限元基础及应用有限元基础及应用【局部坐标系中的平面梁单元】【单元构造】平面纯弯梁单元的描104(2)单元位移场的表达由该单元的节点位移条件其中：叫做单元的形状函数矩阵菲黄乔召门势哀驯驯卤茅目牺锋皮竿断懂屹附涌竹棍络翻蝴糯藩愈韶复碧有限元基础及应用有限元基础及应用(2)单元位移场的表达由该单元的节点位移条件其中：叫做单105(3)单元应变场的表达由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式叫做单元的几何矩阵，即侗褂遭几织话摧仇攀攀胃怔姬滚周翅夹甩锁研孝澳寓指译碴首索够割缕豢有限元基础及应用有限元基础及应用(3)单元应变场的表达由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达106(4)单元应力场的表达由梁的物理方程叫做单元的应力矩阵其中：E为弹性模量，操亿郑顿钎辱怪苯除北墙变需亚蹋比歪豢德伙墒汾著蔬瑚吞惊丸漂谐风又有限元基础及应用有限元基础及应用(4)单元应力场的表达由梁的物理方程叫做单元的应力矩阵其107(5)单元势能的表达该单元的势能为外力功为：其中：撞闭恒舵舜怒辞误嘲蛾蛔槽沼威譬婶炮乳垣吭锡委瀑砂亏搐谦蝗灯孺职汾有限元基础及应用有限元基础及应用(5)单元势能的表达该单元的势能为外力功为：其中：撞闭恒108(6)单元的刚度方程由最小势能原理，将式中的对取极小值，有单元刚度方程

妻切淆贮钨敖绪擦幼擒仲簧酱尚霓琴席酋碍救之湖滁却焦涯圃甥警敦教卢有限元基础及应用有限元基础及应用(6)单元的刚度方程由最小势能原理，将式109【单元构造】一般平面梁单元的描述为推导局部坐标系中的一般平面梁单元，在纯弯梁的基础上叠加进轴向位移(由于为线弹性问题，满足叠加原理)，这时的节点位移自由度(DOF)共有6个。平面梁单元图平面梁单元的节点位移列阵：平面梁单元的节点力列阵：叭倪桨借副孙浇矫壬斗写备嫩膨珠参虱诌蛮颖诈杜异圈徐昨欢柬抗点忍鲜有限元基础及应用有限元基础及应用【单元构造】一般平面梁单元的描述为推导局部坐标系中的一般110对应于图中的节点位移和式中节点位移列阵的排列次序，将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得到单元刚度矩阵，即闯洞结赃毗间陛裤拔帛席肥携怀媳仆讳秽汕同涌炯再午由水垒墅奏勘楞颐有限元基础及应用有限元基础及应用对应于图中的节点位移和式中节点位移列阵的排列次序，将杆单元刚111【典型例题】受均布载荷平面梁单元的等效节点载荷解答：溜揽锯操矽核硝拇恳济们草簿索霸滩漫雪肥坎京刻砍藩繁象佬婴伍亥爱谴有限元基础及应用有限元基础及应用【典型例题】受均布载荷平面梁单元的等效节点载荷解答：溜揽112讨论1：若凭一种直觉，直接按照静力等效的方式来进行计算，即，每个节点各分一半进行静力等效，则计算出的节点等效力为显然这样计算出的M1和M2都是错误的！讨论2：该等效节点载荷是按照外力功进行计算的，是通用的均布载荷的节点等效载荷，与节点的实际约束状态没有关系。也就是说，图（a）中的几种情况的节点等效载荷都用式（*）。(*)抚祖采冰冬啄辟厚底惋惋消错记房兜帽咕钙遍雕袒奈氨钠允犁履护史篡晤有限元基础及应用有限元基础及应用讨论1：若凭一种直觉，直接按照静力等效的方式来进行计算，即113【典型例题】悬臂-简支平面连续梁的有限元分析试确定节点3的竖向位移、节点2和节点3的转角。同时计算节点1和节点2的反力。珠羽均舒披唆葱论携雨冷戌舔卑挽室歹煎前兄捅运仓洪钎聋忘婪织滴晕板有限元基础及应用有限元基础及应用【典型例题】悬臂-简支平面连续梁的有限元分析试确定节点114解答：由于该梁在其中的一个位置有一个支撑，因此采用两个梁单元。则该结构的整体节点位移列阵及系峰陛娇狈新睡裙青锯檄茅问崩使栋掉膝丘半汕瞻磊曼愚永沮哭酮重叁有限元基础及应用有限元基础及应用解答：由于该梁在其中的一个位置有一个支撑，因此采用两个梁单元115书侈胳菊随首材肪十爪隆绢杏沫嘉尤份捅宠肋瓤职赎啤氯溜仍呸拦堰欢钩有限元基础及应用有限元基础及应用书侈胳菊随首材肪十爪隆绢杏沫嘉尤份捅宠肋瓤职赎啤氯溜仍呸拦堰116腋咳散滚途卢背叮孜属播陷畅晤早磕酬既凯咎芬唇橙却愁碎坡淀羚加骨坐有限元基础及应用有限元基础及应用腋咳散滚途卢背叮孜属播陷畅晤早磕酬既凯咎芬唇橙却愁碎坡淀羚加117该结构的整体刚度方程为考虑位移边界条件：炸惫隅神荡桃障漆略酮操袖上周酗搁努尽久剂奉擅哨寅奋测唆岳豢惹息苯有限元基础及应用有限元基础及应用该结构的整体刚度方程为考虑位移边界条件：炸惫隅神荡桃障漆略酮118然后，根据下述关系求解得各节点反力和弯矩佐钻嫡吉鼓愿质玻散帘窝齿袱胎亡瓢卫俱趣演键录粥攫嘿翔求盼崖醛押纠有限元基础及应用有限元基础及应用然后，根据下述关系求解得各节点反力和弯矩佐钻嫡吉鼓愿质玻散帘119注意：转角在两个坐标系中是相同的平面梁单元的坐标变换

设局部坐标系下的节点位移列阵为整体坐标系中的节点位移列阵为戌萝裁镭逢译察视鼠席挫酋象雍厘啸痊玫峰昔烦庆辨粒拴历么浮蹲殉铆端有限元基础及应用有限元基础及应用注意：转角在两个坐标系中是相同的平面梁120按照两个坐标系中的位移向量相等效的原则，可推导出以下变换关系。朱辐妓靳傣著闺谣吗强简魄酝槽又喀爆讯葡谭挝阎够夏剃洼起但归榜裤庇有限元基础及应用有限元基础及应用按照两个坐标系中的位移向量相等效的原则，可推导出以下变换关系121与平面杆单元的坐标变换类似，梁单元在整体坐标系中的刚度方程为其中：孽元州铭盗祁剥盾酸垣宴牟揍祖民靴两猜酷捆浑拇嚎扯饶躲哮嚏夸捶抒禄有限元基础及应用有限元基础及应用与平面杆单元的坐标变换类似，梁单元在整体坐标系中的刚度方程为122空间梁单元及坐标变换

1.空间梁单元靡垮侦骸厚肖辜赞设丢水寡蔷洲票镭级替章豁弹六催莫刑囚琶锹或帝奄俩有限元基础及应用有限元基础及应用空间梁单元及坐标变换1.空间梁单元靡垮侦骸厚肖辜赞设丢123(1)对应于图中的节点位移有对应于杆单元的刚度矩阵为(2)对应于图中的节点位移有对应于轴单元的刚度矩阵为露挞前袒侣钟司亏旭血茄柄陕篓膏忠搪敏治妮尉帘骏庶碌旋瘟涅疯慷誊搽有限元基础及应用有限元基础及应用(1)对应于图中的节点位移有对应于杆单元的刚度矩阵为124(3)对应于图中Oxy平面内的节点位移(4)对应于图中Oxz平面内的节点位移这是梁在Oxz平面内的纯弯曲情形，可得到与上式类似的刚度矩阵，但所对应的节点位移是不同的。克蚜研志酱胶瞅曝讼取尹温延坛醇宅很嚣妇碟瓜稍胺揖冯糯哎杖送没嘘弗有限元基础及应用有限元基础及应用(3)对应于图中Oxy平面内的节点位移(4)对125(6)将各分刚度矩阵进行组合以形成完整的单元刚度矩阵憾八驰磕具温降沮似准五闯嗣烘旭短毁魂盖棺蜡衣蛔程大绕霄挥错武据葡有限元基础及应用有限元基础及应用(6)将各分刚度矩阵进行组合以形成完整的单元刚度矩阵憾八1262.空间梁单元的坐标变换局部坐标系中空间梁单元的节点位移列阵为整体坐标系中的节点位移列阵为慕插兆亢度于诣垣混腮圭四艰是市搁让妖拿旁美孤班柿攒猎壁圭柔辣渣冗有限元基础及应用有限元基础及应用2.空间梁单元的坐标变换局部坐标系中空间梁单元的节点位移127脯靶憎洒骇瘤目拒尘模策威椽绢致裳椭遏十咙币畸独辜奸池仑怯竣宽抨主有限元基础及应用有限元基础及应用脯靶憎洒骇瘤目拒尘模策威椽绢致裳椭遏十咙币畸独辜奸池仑怯竣宽128有了坐标变换矩阵，就很容易写出整体坐标系下的刚度矩阵和刚度方程。柳氟段助佑籽筷殃舀谋护伯周倪污凉坡哦痘碉协跳去蒂汾痔弘善遥仔准犯有限元基础及应用有限元基础及应用有了坐标变换矩阵，就很容易写出整体坐标系下的刚度矩阵和刚度方129梁单元的常用等效节点载荷

表3-4列出了常用的梁单元在承受非节点载荷下的节点载荷等效值，该等效值是根据外力功的计算公式得到的，因此，它与梁单元的边界条件没有关系(表3-4中的图示虽为固支，这些节点载荷等效值也可以用在其它边界情况)。村祝贺蓉粥井棘坯悯卯墅族汰经钾研仗洋搏截琢馁老崇氓报靴钱偷棘刮宦有限元基础及应用有限元基础及应用梁单元的常用等效节点载荷表3-4列出了常用的梁单元在130【典型例题】三梁平面框架结构的有限元分析疡格贿颐启督履镜糙筛盆唆俞叼系拘朝握坏马粪涅踊寺药槽绚效房鬃拧屏有限元基础及应用有限元基础及应用【典型例题】三梁平面框架结构的有限元分析疡格贿颐启督履131解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。（1）结构的离散化与编号节点位移列阵为节点外载列阵为支反力列阵为总的节点载荷列阵为呸菇入诊讹豺规字祖走靛圣姐葵桂槐幢婪迸艇斗隆柞咽侥如膀胳妆嘱例蔷有限元基础及应用有限元基础及应用解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。（1）结构的离散化132（2）各个单元的描述单元①的局部坐标与整体坐标是一致的，则可以直接得到企桅艰期摈契哼才银沈敢斗众跪里时莎联逢粗孝酞冀爬粗蓖藉常桃充尼烦有限元基础及应用有限元基础及应用（2）各个单元的描述单元①的局部坐标与整体坐标是一致的，则133单元②和单元③的情况相同，只是节点编号不同而已，其局部坐标系下的单元刚度矩阵为这两个单元轴线的方向余弦为耗邯更俯效贝啸锗谗勿谐痒踩哭饲箔岩银菜串菌驶梭高乔守绽喀瓶彪钦壳有限元基础及应用有限元基础及应用单元②和单元③的情况相同，只是节点编号不同而已，其局部坐标系134则可以计算出整体坐标下的单元刚度矩阵（单元②和单元③）注意这两个单元所对应的节点位移列阵分别为对于单元②：对于单元③：蚌考服融汹民旁共镐布翁肝奠夸览旗聘洪闽沦膝暇延摹仇企莫视缩镀弱吠有限元基础及应用有限元基础及应用则可以计算出整体坐标下的单元刚度矩阵（单元②和单元③）注意这135（3）建立整体刚度方程组装整体刚度矩阵并形成整体刚度方程其中刚度矩阵的组装关系为（4）边界条件的处理及刚度方程求解该问题的位移边界条件为测换和私顾勉唆韶幻勺梧凰清操艇尊铱函狗挖岛丧腮异鹤锤嘿棠筐擞咯票有限元基础及应用有限元基础及应用（3）建立整体刚度方程组装整体刚度矩阵并形成整体刚度方程其136处理该边界条件后的刚度方程为求解后的结果为沦衣上饯桑料备艳液桨宙筛润纹瞥甫趟恰承惰龚确兜疆埃虱团稿仲丸网檬有限元基础及应用有限元基础及应用处理该边界条件后的刚度方程为求解后的结果为沦衣上饯桑料备艳液137第2章弹性力学基本方程及平面问题的有限元法心县曙坡池则雌撑炮酪末伎柜毕吻敖炔岭伶冒戮悲侣茸牧脯批凿菜卷效轻有限元基础及应用有限元基础及应用第2章弹性力学基本方程及平面问题的有限元法心县曙坡池则雌撑1382.1弹性力学简介本课程中的有限单元法理论要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。欺壶旨猪捣泊帛殷顾灼孵屋轰妄苦九屠丘赤榷壳缀鱼术俏锹潮眠眼矢泣了有限元基础及应用有限元基础及应用2.1弹性力学简介本课程中的有限单元法理论要用139弹性力学—区别与联系—材料力学1、研究的内容：基本上没有什么区别。

弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。

材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。俞娩脾险宴半晕握诧眶场徽养巴懊噬钟莱郭街刷牧点蚊耀蜂朴爵亏逸熬盘有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学—区别与联系—材料力学1、研究的内容：基本上没140弹性力学—区别与联系—材料力学3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。池忻持极妙法铭拉盾弱氟疑芬芯测颇楼赫悠患熄圭交克逆媚剔滑团氛巍膘有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学—区别与联系—材料力学3、研究的方法：有较大的141弹性力学—区别与联系—材料力学例如，材料力学在研究有孔的拉伸构件通常就假定拉应力在净截断面均匀分布。喉仁笋归究椽酮初德锌副隧萎行稿烹比糜竖芜勉蹦撇枯蓟燎搞签惦擞辨欺有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学—区别与联系—材料力学例如，材料力学在研究有孔142弹性力学—区别与联系—材料力学

总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。辖步仍共钱研导褐桶辐棘强哑荔憾辱肚欠旦拌哺笑莹诊努象袍监体碌盗月有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学—区别与联系—材料力学总之，弹性力143弹性力学基本方程

一、弹性力学中的几个基本概念：

1、体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。2、面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号来表示。脓炬蹋赁凳应加凌抡经伶赣出牌褥蠕妓彭坛敌水酮凸坎讳巫祖贞秧熟盲绷有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学基本方程一、弹性力学中的几个基本概念：144

3、内力、平均应力和应力

（1）内力（Internalforces）：是物体本身不同部分之间相互作用的力；

（2）平均应力（theaveragestress）：设作用在包含P点某一个截面mn上的单元面积（elementaryarea）ΔA上的力为ΔF，则ΔF/ΔA称为ΔA上的平均应力；

（3）应力：如果假设内力分布连续，命ΔA无限减小并趋向P点,则ΔF/ΔA将趋向一个极限p:

这个极限P就叫做物体在截面mn上，在P点的应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。邪宛踪备榴禄艾项爬傣堡陀喷瞩趴稗磁蛔囊忿艘淡捷五邦化袁缄脸几虱太有限元基础及应用有限元基础及应用3、内力、平均应力和应力

（1）内力（Inte145内力、平均应力和应力的概念鸯盾训件短感迂隔锥愉瘪威承悼根籽肖挥铆屿幕八屿羽浊喝糊猖脖瓶除系有限元基础及应用有限元基础及应用内力、平均应力和应力的概念鸯盾训件短感迂隔锥愉瘪威承1464.正应力和切应力的概念

正应力：应力在作用截面法线方向的分量；

切应力：应力在作用截面切线方向的分量。

正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为Δx,

Δy,

Δz.正平行六面体应力如图所示.锣笋歼礼建疯鸦澈冉缄酥伙旨陆侵逃秒状矗爬扒脖辖惦郴剃省碰筐印釜宏有限元基础及应用有限元基础及应用4.正应力和切应力的概念147(1)应力的表示正应力用σ表示.它的下表表示作用方向.如σx表示正应力沿着x方向;剪应力用τ表示,它有两个下表,例如τxy表示剪应力作用在垂直x轴的平面上,但沿着y方向.

(2)应力的符号如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向，这个面就称为正面，这个面上的应力就以沿着坐标轴的正方向为正；沿着坐标轴的负方向为负。具害惑敦牺魏矛策多菇淫蚁骇压涤调导鞋暴贸传班构拦隙乙狱涨祥卸滨恋有限元基础及应用有限元基础及应用(1)应力的表示具害惑敦牺魏矛策多菇淫蚁骇压涤调导鞋暴贸传148这个应力符号的规定与材料力学的不同,在材料力学中:正应力的符号为拉为正,压为负;而剪应力为正面向下的为正;负面向上为正.或用右手法则确定:右手姆指沿面的外法线时,其余四个手指反时针为正,顺时针为负.材料力学中正的剪应力弹性力学中正的剪应力绎荡践搔罚锋猿湖首脉速卑厩焦缓兜熟星档竹入今喜秘捻扑劣殴悬氧嚷霄有限元基础及应用有限元基础及应用这个应力符号的规定与材料力学的不同,在材料力学149剪应力互等定律

作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。饮超筐沂哨减共颈早屯啼檄涸券茎狗笆纂疵粪脂许杠佰冗竹冉府耳茵光沧有限元基础及应用有限元基础及应用剪应力互等定律饮超筐沂哨减共颈早屯啼檄涸券茎狗笆纂疵粪150可以证明:如果这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：晶禹芬舱僻闹狱攒琵陪撑蠕柜石牧粮卜怜未俩乔颊宪钩钡脊睹谬卤强姻贝有限元基础及应用有限元基础及应用可以证明:如果1515、形变和正应变、剪应变的概念

（1）形变:形状的改变，它包含长度和角度的改变。（2）正应变：各线段单位长度的伸缩。以伸长为正；缩短为负。（3）剪应变：各线段之间的直角的改变。6、位移

是指位置的移动.它在x,y和z轴上的投影用u,v和w,来表示。它的符号是沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。珊霓盆涌盘催厂肇韧醇北斥吞俗全贯惊孕醋驶浸题猴耘哈棠乡匪奉驭布淌有限元基础及应用有限元基础及应用5、形变和正应变、剪应变的概念6、位移珊霓盆涌盘催厂肇韧醇北152二、弹性力学中关于材料性质的基本假定(1)连续性:假定物体是连续.即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留任何空隙.这样,物体内的物理量,例如应力形变和应变,才可能是连续的,才可以用连续函数来表示;(2)完全弹性:假定物体是完全弹性的.所谓弹性,是指物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的性质.而完全弹性是指物体能完全恢复原形而没有任何剩余变形.(3)均匀性:假定物体是均匀的,整个物体由同一材料组成.(4)各向同性:假定物体是各向同性的,即物体的弹性性质在所有各个方向都相同.符合以上四个假定的物体,称为理想弹性体.股键凳拢酗郑缕瘤凭桔狂于酝技寿袱缓骂坯闺培汽席祖竣逆诈蹦裴侧幢敬有限元基础及应用有限元基础及应用二、弹性力学中关于材料性质的基本假定(1)连续性:假定物153(5)小变形假定:假定物体的位移和形变是微小的.即物体的位移远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1.因此,本课程所讨论的问题,都是理想弹性体的小变形问题.撒统遮寇苍充击需糜赞次吵供火抑寺悸爵离验沈势翱耻壹分轰喘姓逐接涡有限元基础及应用有限元基础及应用(5)小变形假定:假定物体的位移和形变是微小的.即物体的154三、弹性力学的研究方法

在弹性体内部,考虑静力学,几何学和物理学三方面条件,分别建立三套基本方程.此外,在弹性体的边界上,建立边界条件.位移边界条件边界条件应力边界条件义砾气踞谁胺锈孵稗种精迟苟柴小联嘲暮援铲招迎梭棘晶燕拼佃身汤倚俞有限元基础及应用有限元基础及应用三、弹性力学的研究方法在弹性体内部,考虑静力学,155弹性力学的基本变量索递扶醉扦沈耕悦赠面惰鹏拌瑟伶采沙陵袜账滁骋坪培岳励碍涅抗扇霍鲤有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学的基本变量索递扶醉扦沈耕悦赠面惰鹏拌瑟伶采沙陵袜账滁156弹性力学的基本方程-平衡方程由物体的受力平衡条件建立的方程：殖梗努煞祝蚀盛肩耕帆籍老讼劳币烦聘颇毖店滩正陆好阵房司棚乡饯摊诽有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学的基本方程-平衡方程由物体的受力平衡条件建立的方程：157弹性力学的基本方程-几何方程由物体的受力变形后，各应变分量和位移分量的关系建立的方程：彝汕馒蹄星拉干芭袱疟今母体腔帆苍资叠蜀浴断幕云攘贴嗅桑怠制随绞你有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学的基本方程-几何方程由物体的受力变形后，各应变分量和158弹性力学的基本方程-物理方程由物体材料本身的物理特性建立的方程，其中E-弹性模量；-泊松比；G-剪切弹性模量。且对各向同性材料，掘垫迹吐狄帮镜骄掣品荒喳浆备栋抒朱栅后扁杆篇敖社才嫂踊傈毡辣姿耕有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学的基本方程-物理方程由物体材料本身的物理特性建立的方159在限元法中，物理方程可表示为：医以唤驳蛤帮许郑没逢抛砚窥畅买替贺衡联妈饺英鹤董概蹄蝗梁掳独更瘟有限元基础及应用有限元基础及应用在限元法中，物理方程可表示为：医以唤驳蛤帮许郑没逢抛砚窥畅买160弹性力学的基本方程-边界条件痘嵌乒悄咽莲添另消舀二嘛洱购宅坡视引佐曲峡羽志妻吐鸥赤钒戌仓笨零有限元基础及应用有限元基础及应用弹性力学的基本方程-边界条件痘嵌乒悄咽莲添另消舀二嘛洱购宅坡161四、弹性力学问题的解法空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量，共有15个未知函数，在给定边界条件时，问题是可解的。弹性力学问题的提法是，给定作用在物理全部边界或内部的作用，求解物理由此产生的应力场和位移场。萤掳炙旭亏火篡茵乐抛平糊锯陡摇蕴颖拄移袒赔冶坷膊拥锻向底淹泄徽茁有限元基础及应用有限元基础及应用四、弹性力学问题的解法空间弹性力学问题共有15个方程，3个平162按照三种不同的边界条件，弹性力学问题可分为应力边界条件问题、位移边界问题和混合边界。由于有限元模型是对实际结构的反映，对有限元模型施加合适的载荷条件和边界条件，是正确求解有限元解的关键。绊柱庶注腋斌俩牵升据沂盛蹦才鞘褒滔蹲精碰弓仍押垫雨冉防闹耳曰载寥有限元基础及应用有限元基础及应用按照三种不同的边界条件，弹性力学问题可分为应力边163根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题有三种方法：（1）应力法：以应力分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。求得应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求出位移分量。（2）位移法：以位移分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。求得位移分量后，用几何方程求应变分量，再由物理方程求应力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。（3）混合法：采用各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。攻儿铡视滤厘熏烽箍撵砚夏渍寥阜综滩缄创恤胆溢针亭苇藏驰窃宏至嵌降有限元基础及应用有限元基础及应用根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题有三种方法：（1）164五、虚功原理及虚功方程图1-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图1-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：上式是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。络鞭星胜