湖南省郴州市麻田中学2022年度高三数学文下学期期末试卷含解析

湖南省郴州市麻田中学2022年度高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心仍在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：C由题意，得该运动员总能将铁饼圆心仍在矩形区域内，即铁饼圆心所在区域为矩形ABCD，要使该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域，则铁饼圆心所在区域为矩形EFGH，由几何概型的概率公式，得该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为；故选C.

2.与直线垂直的抛物线的切线方程是 A．

B．C．

D．参考答案：答案：B解析：易知与直线垂直的直线方程的斜率是，设切点为，则在此处的切线斜率是，故，∴

∴所求切线方程是．3.（5分）已知曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）（w＞0）的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x0∈[0，]，则x0=（）A．B．C．D．参考答案：C【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，]内的x0的值．【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）=2sin（wx+）的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴=π，∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，∴2x0+=kπ，∴x0=，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0=．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，是基础题．4.若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是(

) A．10 B．11 C．13 D．14参考答案：D考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答： 解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，z=|x|+2y化为y=﹣x+z，表示的是斜率为﹣，截距为的平行直线系，当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=1+2×5=11；当x＜0时，z=|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系，当直线过点（﹣4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，zmax=4+2×5=14．∴z=|x|+2y的最大值是14．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.已知，，则（

）A.

B.或

C.

D.参考答案：C【知识点】三角函数的求值解析：因为，所以或，得，则，所以选C.【思路点拨】抓住所给的三角函数值是特殊角的三角函数值是本题的关键.6.在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中所有正确说法的个数为(

)A． B． C． D．参考答案：C略7.，函数的图象关于直线对称，则的值可以是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D8.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），过点F作圆x2+y2=的一条切线交圆于点E，交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】判断出E为PF的中点，据双曲线的特点知原点O为两焦点的中点；利用中位线的性质，求出PF′的长度及判断出PF′垂直于PF；通过勾股定理得到a，c的关系，求出双曲线的离心率．【解答】解：∵，则，∴E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，则PF′=2OE=a，∵E为切点，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∵PF﹣PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a，在Rt△PFF′中，PF2+PF′2=FF′2，即9a2+a2=4c2．所以离心率e=．故选：A．【点评】本小题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数a，b，c的关系，属于中档题9.一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（

）A.

B.1

C.

D.参考答案：D10.设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f(x)=(2x2-a2x-a)lgx的值域为,则a=_________参考答案：略12.定积分的值为＿＿＿＿参考答案：013.在极坐标系中，点到直线的距离为

．参考答案：【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3

解析：点P化为直角坐标P（0，1）．直线化为2x﹣y+2=0．∴点P到直线的距离d==．故答案为：．【思路点拨】点P化为直角坐标P（0，1）．直线化为2x﹣y+2=0．再利用点到直线的距离公式即可得出．14.已知e为自然对数的底数，函数f（x）=ex﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=

．参考答案：2【考点】导数的运算．【分析】由已知函数解析式，令函数g（x）=f（x）﹣1，可知函数g（x）为奇函数，求导后判断g′（x）=f′（x）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f（e）+f（﹣e）=2，f′（e）﹣f′（﹣e）=0，由此求得f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2．【解答】解：f（x）=ex﹣e﹣x+ln（+x）+1，令g（x）=f（x）﹣1=ex﹣e﹣x+ln（+x），则g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=，g（x）+g（﹣x）=0，故g（x）为奇函数，g′（x）=f′（x）==，由g′（x）﹣g′（﹣x）=﹣，可知g′（x）=f′（x）为偶函数，g（e）+g（﹣e）=f（e）﹣1+f（﹣e）﹣1=0，∴f（e）+f（﹣e）=2．又f′（e）=f′（﹣e），∴f′（e）﹣f′（﹣e）=0，∴f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2．故答案为：2．15.设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）＜﹣5的解为

．参考答案：（﹣∞，﹣3）【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x﹣3=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）＜﹣5等价为2x﹣3＜﹣5即2x＜﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x）＜﹣5等价为﹣2﹣x+3＜﹣5即2﹣x＞8，得﹣x＞3，即x＜﹣3；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）＜﹣5不成立，综上，不等式的解为x＜﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）．故答案为（﹣∞，﹣3）．【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．16.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有________种.参考答案：11217.若曲线在与处的切线互相垂直，则正数的值为

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知幂函数在上单调递增，函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，记，的值域分别为集合，若，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）依题意得：或当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．

……………5分（Ⅱ）当时，，单调递增，，，，．

……………12分19.(本小题满分14分)设函数.（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得成立，试问：正整数是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.参考答案：(I)函数的定义域为.

…………１分当时，，∴.…２分由得.，随变化如下表:0极小值由上表可知，，没有极大值.

…………４分（II）由题意，.令得，.………６分若，由得；由得.…………７分若，①

当时，，或，；，.②当时，.③当时，，或，；，.综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；当时，函数的单调减区间是,当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.…………１０分(Ⅲ)当时，，.∵，∴.∴，.…………１２分由题意，恒成立.令，且在上单调递增，，因此，而是正整数，故，所以，时，存在，时，对所有满足题意.∴.…………………１４分20.（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征．【分析】（1）利用四棱锥的体积计算公式即可；（2）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明．【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA为此四棱锥底面上的高．∴V四棱锥P﹣ABCD==．（2）连接AC交BD于O，连接OE．∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，又∵AE=EP，∴OE∥PC．又∵PC?平面BDE，OE?平面BDE．∴PC∥平面BDE．（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵CE?平面PAC．∴BD⊥CE．【点评】熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键．21.已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．参考答案：设a的终点坐标为(m，n)，则a＝(m－3，n＋1)，∵a⊥b，∴由题意由①得：n＝(3m－13)代入②得25m2－150m＋209＝0，解得或∴a的终点坐标是(，－)或(，－)．

22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：DN⊥平面PCB．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形的中位线性质证明MN∥AB，再由已知条件和公理4证明MN∥CD，再利用直线和平面平行的判定定理证得MN∥平面PCD．（2）由（1）可得MN∥CD．先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，从而证得CD⊥MD，从而得到四边形MNCD是直角梯形．（3）由条件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=，N是PB的中点，证得DN⊥PB，再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB．【解答】证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…因为CD∥AB，所以MN∥CD．又CD?平面PCD，而MN?平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（2）由（1）可得MN∥CD．因为AD⊥AB，CD∥AB，