高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何单元测试 市赛获奖

第三章第3课时一、选择题1．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)、(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为eq\x(导学号33780881)()\f(\r(15),6) B．－eq\f(\r(15),6)\f(\r(15),3) D．以上都不对[答案]D[解析]∵eq\f(0，－1，3·2，2，4,\r(1＋9)\r(4＋4＋16))＝eq\f(\r(15),6)，∴这个二面角的余弦值为eq\f(\r(15),6)或－eq\f(\r(15),6).2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为eq\x(导学号33780882)()A．－eq\f(\r(10),5) B．eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(15),5) D．eq\f(\r(15),5)[答案]B[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)、B(2,2,0)、B1(2,2,2)、E(0,2,1)．∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)、eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(0,0,2)、eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－2,0,1)．设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．∵n⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，n⊥eq\o(BB1,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2y＝0,2z＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－y,z＝0)).令y＝1，则n＝(－1,1,0)．∴cos〈n，eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(BE,\s\up6(→)),|n||\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(10),5)，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(BE,\s\up6(→))〉|＝eq\f(\r(10),5).3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为eq\x(导学号33780883)()\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(10),10)\f(3,5) D．eq\f(2,5)[答案]D[解析]解法一：∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1M,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1M,\s\up6(→)))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2).而|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AA1,\s\up6(→))＋\o(A1M,\s\up6(→))·\o(AA1,\s\up6(→))＋\o(A1M,\s\up6(→))))＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AA1,\s\up6(→))|2＋|\o(A1M,\s\up6(→))|2))＝eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(5),2).同理，|eq\o(CN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2).如令α为所求角，则cosα＝eq\f(\o(AM,\s\up6(→))·\o(CN,\s\up6(→)),|\o(AM,\s\up6(→))||\o(CN,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\f(5,4))＝eq\f(2,5).应选D.解法二：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)、M(1，eq\f(1,2)，1)、C(0,1,0)、N(1,1，eq\f(1,2))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，1))－(1,0,0)＝(0，eq\f(1,2)，1)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝(1,1，eq\f(1,2))－(0,1,0)＝(1,0，eq\f(1,2))．故eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(CN,\s\up6(→))＝0×1＋eq\f(1,2)×0＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋12)＝eq\f(\r(5),2)，|eq\o(CN,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2).∴cosα＝eq\f(\o(AM,\s\up6(→))·\o(CN,\s\up6(→)),|\o(AM,\s\up6(→))||\o(CN,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(5),2)·\f(\r(5),2))＝eq\f(2,5).4．(2023·河南洛阳市高二期末测试)正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为eq\x(导学号33780884)()\f(\r(3),6) B．eq\f(\r(6),6)\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),3)[答案]C[解析]建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.由题意得A(1，－1,0)、C(－1,1,0)、B(1,1,0)、S(0,0，eq\r(2))．∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(2，－2,0)，eq\o(BS,\s\up6(→))＝(－1，－1，eq\r(2))，eq\o(CS,\s\up6(→))＝(1，－1，eq\r(2))．设平面SBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BS,\s\up6(→))＝0,n·\o(CS,\s\up6(→))＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＋\r(2)z＝0,x－y＋\r(2)z＝0))，令z＝eq\r(2)，得x＝0，y＝2，∴n＝(0,2，eq\r(2))．设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(AC,\s\up6(→))〉|＝eq\f(4,2\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),3).5．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则P(1,2,2)到α的距离为eq\x(导学号33780885)()\f(\r(5),5) B．eq\r(5)C．2eq\r(5) \f(\r(5),10)[答案]A[解析]∵eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2,0,3)，∴点P到平面α的距离为d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－4＋3|,\r(5))＝eq\f(\r(5),5).6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且eq\f(AM,MC1)＝eq\f(1,2)，N为BB1的中点，则|MN|的长为eq\x(导学号33780886)()\f(\r(21),6)a B．eq\f(\r(6),6)a\f(\r(15),6)a D．eq\f(\r(15),3)a[答案]A[解析]设eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a＝0，由条件知，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB1,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))－eq\f(1,3)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2a－c)－eq\f(1,3)(－c＋a＋b)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b－eq\f(1,6)c，|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,3)b－\f(1,6)c))2＝eq\f(1,9)(2a－b－eq\f(1,2)c)2＝eq\f(1,9)(4|a|2＋|b|2＋eq\f(1,4)|c|2－4a·b－2a·c＋b·c)＝eq\f(21a2,36)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(21),6)a.二、填空题7．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2eq\r(17)cm，则这个二面角的度数为\x(导学号33780887)[答案]60°[解析]设〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝θ，∵CA⊥AB，AB⊥BD，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝180°－θ，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos(180°－θ)．∴(2eq\r(17))2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cosθ)，∴cosθ＝eq\f(1,2)，∴θ＝60°.因此，所求二面角的度数为60°.8．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为\x(导学号33780888[答案]eq\f(\r(6),4)[解析]解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM.过D作DN∥BM，则容易证明DN⊥平面AA1C1C.连接AN，则∠DAN就是AD与平面在Rt△DAN中，sin∠DAN＝eq\f(ND,AD)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(2))＝eq\f(\r(6),4).解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z在正三角形ABC中，BM＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),2)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，1))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，1))，又平面AA1C1C的法向量为e＝(0,1,设直线AD与平面AA1C1Csinθ＝|cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，e〉|＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·e|,|\o(AD,\s\up6(→))|·|e|)＝eq\f(\r(6),4).解法三：设eq\o(BA,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，由条件知a·b＝eq\f(1,2)，a·c＝0，b·c＝0，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝c－b，平面AA1C1C的法向量eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)．设直线AD与平面AA1C1Csinθ＝|cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·\o(BM,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|·|\o(BM,\s\up6(→))|)，∵eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝(c－b)·eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)a·c－eq\f(1,2)a·b＋eq\f(1,2)b·c－eq\f(1,2)|b|2＝－eq\f(3,4).|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝(c－b)2＝|c|2＋|b|2－2b·c＝2，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(BM,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(a＋b)2＝eq\f(1,4)(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\f(3,4)，∴|eq\o(BM,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，∴sinθ＝eq\f(\r(6),4).三、解答题9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点.eq\x(导学号33780889)(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．[解析](1)以A为原点，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)、D(0,1,0)、D1(0,1,1)、E(eq\f(a,2)，1,0)、B1(a,0,1)，故eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(－eq\f(a,2)，1，－1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(a,0,1)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\f(a,2)，1,0)．∵eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝－eq\f(a,2)×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE.此时eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥eq\o(AB1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋z＝0,\f(ax,2)＋y＝0))，取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝(1，－eq\f(a,2)，－a)．要使DP∥平面B1AE，只要n⊥eq\o(DP,\s\up6(→))，有eq\f(a,2)－az0＝0，解得z0＝eq\f(1,2).又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝eq\f(1,2).(3)连接A1D、B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝∴AD1⊥平面DCB1A1，∴eq\o(AD1,\s\up6(→))是平面A1B1E的一个法向量，此时eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0,1,1)．设eq\o(AD1,\s\up6(→))与n所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(n·\o(AD1,\s\up6(→)),|n|·|\o(AD1,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\f(a,2)－a,\r(2)\r(1＋\f(a2,4)＋a2)).∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，∴|cosθ|＝cos30°，即eq\f(\f(3a,2),\r(2)\r(1＋\f(5a2,4)))＝eq\f(\r(3),2).解得a＝2，即AB的长为2.10．(2023·福建理，17)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G、F分别是线段BE、DC的中点.eq\x(导学号33780890)(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．[解析]解法一：(1)如图，取AE的中点H，连接HG、HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝eq\f(1,2)AB.又F是CD中点，所以DF＝eq\f(1,2)CD，由四边形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF.从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE,所以GF∥平面ADE.(2)如图，在平面BEC内，过点B作BQ∥EC，因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.以B为原点，分别以BE→、BQ→、BA→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)、B(0,0,0)、E(2,0,0)、F(2,2，1)．因为AB⊥平面BEC，所以BA→＝(0,0,2)为平面BEC的法向量．设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量．又AE→＝(2,0，－2)、AF→＝(2,2，－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·AE→＝0,n·AF→＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2z＝0,2x＋2y－z＝0))，取z＝2，得n＝(2，－1,2)．从而cos〈n，BA→〉＝eq\f(n·BA→,|n|·|BA→|)＝eq\f(4,3×2)＝eq\f(2,3)，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为eq\f(2,3).解法二：(1)如图，取AB中点M，连接MG、MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，又AE⊂平面ADE,GM⊄平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M、F分别是AB、CD的中点得MF∥AD.又AD⊂平面ADE,MF⊄平面ADE，所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE，因为GF⊂平面GMF，所以GF∥平面ADE.(2)同解法一.一、选择题1．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于eq\x(导学号33780891)()\f(2,3) B．eq\f(\r(3),3)\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)[答案]A[解析]如图，连接C1O，过C作CM⊥C1O.∵BD⊥平面C1CO，∴BD⊥CM，∵C1O∩BD＝O，∴CM⊥平面BC1D，∴∠CDM即为CD与平面BDC1所成的角，令AB＝1，∴AA1＝2，CO＝eq\f(\r(2),2)，C1O＝eq\r(22＋\f(\r(2),2)2)＝eq\r(\f(9,2))＝eq\f(3,2)eq\r(2)，由CM·C1O＝CC1·CO得，CM＝eq\f(2,3)，∴sin∠CDM＝eq\f(CM,CD)＝eq\f(2,3).2．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为eq\x(导学号33780892)()A．(0°，90°) B．90°C．120° D．(60°，120°)[答案]C[解析]eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)|eq\o(OA,\s\up6(→))|2.又|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝|eq\o(OF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(2),2)|eq\o(OA,\s\up6(→))|，∴cos〈eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))〉＝eq\f(－\f(1,4)|\o(OA,\s\up6(→))|2,\f(1,2)|\o(OA,\s\up6(→))|2)＝－eq\f(1,2).∴∠EOF＝120°，故选C.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为eq\x(导学号33780893)()A．30° B．60°C．120° D．150°[答案]C[解析]如图，以C为原点建立空间直角坐标系C－xyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，a,0)，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－a，a，a)，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(0,0，a)，设平面ABD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·eq\o(BA,\s\up6(→))＝(x，y，z)·(0，a,0)＝ay＝0，n·eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(x，y，z)·(－a，a，a)＝－ax＋ay＋az＝0，∵a≠0，∴y＝0，x＝z，令z＝1，则n＝(1,0,1)，同理平面B1BD1的法向量m＝(－1，－1,0)，cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n|·|m|)＝－eq\f(1,2)，而二面角A－BD1－B1为钝角，故为120°.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于eq\x(导学号33780894)()\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(5),4)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),6)[答案]D[解析]解法一：如图，过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为所求．设正方体棱长为1，MF＝eq\f(\r(2),4)，GF＝eq\f(\r(6),2)，∴sin∠MGF＝eq\f(\r(3),6).解法二：如图，分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝(－1,1,0)∵F(eq\f(1,2)，0,0)、G(1,1，eq\f(1,2))，∴eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))，设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(FG,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(FG,\s\up6(→))|,|n|·|\o(FG,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2)·\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(3),6).二、填空题5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为\x(导学号33780895)[答案]30°[解析]解法一：连接BC1，设与B1C交于O点，连接A1O∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，设正方体的棱长为1.在Rt△A1OB中，A1B＝eq\r(2)，BO＝eq\f(\r(2),2)，∴sin∠OA1B＝eq\f(BO,A1B)＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(2))＝eq\f(1,2).∴∠OA1B＝30°.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.解法二：以D为原点，DA、DC、DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0,1)、C(0,1,0)．∴eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(1,0,1)、eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)．设平面A1B1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up6(→))＝0,n·\o(DC,\s\up6(→))＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋z＝0,y＝0))，令z＝－1得x＝1.∴n＝(1,0，－1)，又B(1,1,0)，∴eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，cos〈n，eq\o(A1B,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1B,\s\up6(→))·n,|\o(A1B,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(1,\r(2)·\r(2))＝eq\f(1,2).∴〈n，eq\o(A1B,\s\up6(→))〉＝60°，∴A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.6．(2023·浙江理，13)如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M、N分别为AD、BC的中点，则异面直线AN、CM所成的角的余弦值是\x(导学号33780896)[答案]eq\f(7,8)[解析]如图，连接DN，取DN中点P，连接PM、PC，则可知∠PMC即为异面直线AN、CM所成角(或其补角)易得PM＝eq\f(1,2)AN＝eq\r(2)，PC＝eq\r(PN2＋CN2)＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，CM＝eq\r(AC2－AM2)＝2eq\r(2)，∴cos∠PMC＝eq\f(8＋2－3,2×2\r(2)×\r(2))＝eq\f(7,8)，即异面直线AN、CM所成角的余弦值为eq\f(7,8).三、解答题7．(2023·北京理，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝eq\r(5).eq\x(导学号33780897)(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求eq\f(AM,AP)的值；若不存在，说明理由．[解析](1)因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系O－xyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y－z＝0，,2x－z＝0))，令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)．又eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,1