湖北省咸宁市蒲圻官塘驿镇中学2021-2022学年高三数学文联考试卷含解析

湖北省咸宁市蒲圻官塘驿镇中学2021-2022学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知O为坐标原点，F是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F做x轴的垂线交双曲线于点P，Q，连接PB交y轴于点E，连结AE交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C．3 D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出P的坐标，然后求解E的坐标，推出M的坐标，利用中点坐标公式得到双曲线的离心率即可．【解答】解：由题意可得P（﹣c，），B（a，0），可得BP的方程为：y=﹣（x﹣a），x=0时，y=，E（0，），A（﹣a，0），则AE的方程为：y=（x+a），则M（﹣c，﹣），M是线段QF的中点，可得：2=，即2c﹣2a=a+c，可得e=3．故选：C．2.设点是所在平面内一点，若满足，则点必为的(

)

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

参考答案：C3.已知对任意实数，有，且时，，则

时（

）A．

B．C．

D．参考答案：B4.已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}．那么集合A∩(?UB)等于 ()．A．{x|－2≤x＜4}

B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}

D．{x|－1≤x≤3}参考答案：D略5.已知直线a和平面?，，∩=l，a,a,a在，内的射影分别为直线b和c,则b和c的位置关系是(

)

A．相交或平行

B．相交或异面

C．平行或异面

D．相交﹑平行或异面参考答案：6.等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（）A．5 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10，解得a7=8，故选：C．7.已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，） B．[，） C．[，） D．[4π，6π）参考答案：C【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为（）A．3 B． C． D．2参考答案：A由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．∵，．∴．∵切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高．即的半径为．∵在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，．∵∴，．两式相加得：

(其中，)当且仅当，时，取得最大值3．

9.向量，若，则=(

)A.（3，-1）

B.（-3，1）

C.（-2，-1）

D.（2，1）参考答案：A略10.由直线所围成的封闭图形的面积为(

)

A．

B．1

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数为奇函数，则实数a=__________．参考答案：1【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解，再验证定义域是否关于原点对称即可．【详解】函数为奇函数

即则，即，则：

则：当时，，则定义域为：且此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意当时，，满足题意本题正确结果：【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求解函数解析式，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，易错点是忽略定义域关于原点对称的前提，造成求解错误．12.设函数,则方程有___________个实数根参考答案：

13.以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0圆心的抛物线方程是．参考答案：y2=9x或x2=y【分析】首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1，﹣3），当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程．【解答】解：圆方程x2+y2﹣2x+6y+9=0化为（x﹣1）2+（y+3）2=1，可得圆心坐标为（1，﹣3），（1）当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，p=﹣，∴x2=﹣y；（2）当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，p=，∴y2=9x．故答案为：y2=9x或x2=y．【点评】本题考查了抛物线和圆的标准方程，但要注意抛物线的位置有在x轴和y轴两种情况，属于基础题．14.函数在上的部分图象如图所示，则的值为

．参考答案：2

15.若直线的切线，则实数m的值为

.参考答案：-e16.已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最小值是．参考答案：﹣2考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=0且y=2时，z取得最小值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（0，2），C（0，﹣2）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（0，2）=﹣2故答案为：﹣2点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．17.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为(∈R)，它与曲线（为参数)相交于两点A和B，则|AB|=

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）过直线l上的一点向圆C引切线，求切线长的最小值.参考答案：（1）；（2）2.【分析】（1）将圆的极坐标方程利用两角和的正弦公式展开，并在等式两边同时乘以，再由可将圆的极坐标方程化为普通方程；（2）设直线上任意一点的坐标为，利用勾股定理以及两点间的距离公式得出切线长为，转化为关于的二次函数求出切线长的最小值.【详解】（1），，即，等式两边同时乘以得，所以，圆的普通方程为，即；（2）设上任意一点，，半径，切线长为，当且仅当时，切线长取最小值.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，同时也考查了圆的切线长的计算，计算时可以代数法求解，也可以利用几何法结合勾股定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知数列的前项和为，且。（1）求数列的通项公式；（2）数列中，令，，求；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数．参考答案：解：（1），∴………………1分又当时，………………3分所以……………………4分（2）∵，∴

，………5分………………6分，∴…9分（3）解法一：由题设……………………10分∵时，，∴时，数列递增…………12分∵，由，可知，即时，有且只有个变号数；又∵，即，∴此处变号数有个．……………13分综上，数列共有个变号数，即变号数为。…………14分解法二：由题设……………10分时，令；又∵，∴时也有．…………………13分综上得：数列共有个变号数，即变号数为。

…………………14分

略20.已知数列{an}满足（1）若，证明：数列{bn}是等比数列，求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项和Tn．参考答案：（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）由条件可得，即，运用等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得所求通项。（2）数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求的和。【详解】解：（1）证明：由，得，又，，又，所以是首相为1，公比为2的等比数列；，（2）前项和，，两式相减可得：化简可得【点睛】本题考查利用辅助数列求通项公式，以及错位相减求和，考查学生的计算能力，是一道基础题。21.（本小题满分12分）已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若coaBcosC－sinBsinC＝

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．参考答案：22.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）对函数定义域内每一个实数x，f（x）+≥恒成立．（1）求t的最小值；（2）证明不等式lnn＞+…+且n≥2）参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）利用导数的运算法则与几何意义可得切线的斜率f′（1），再利用点斜式即可得出．（II））（1）?x＞0，恒成立，即，即．令，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）由（1）知t=1时，恒成立，即，x=1取“=”．当n≥2时，令