陕西省汉中市龙岗学校2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

陕西省汉中市龙岗学校2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（）A．3 B．2 C． D．参考答案：D【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC的距离，即可求出点Q到平面ABC的距离的最大值．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，∵该三棱锥外接球的半径为，∴正方体的体对角线长为2，∴球心到平面ABC的距离为×=∴点Q到平面ABC的距离的最大值为+=．故选：D．【点评】本题考查点Q到平面ABC的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC的距离是关键．2.函数的一个单调减区间是（

）

A、 B、 C、 D、参考答案：C3.圆与直线相切于点，则直线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知复数z满足，则z=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知等比数列{am}的前m项和为Sm，若S=4（a1+a3+a5+…+a2m-1）,a1a2a3=27,则a6=（

）A.27

B.81

C.243

D.729参考答案：C略6.对于任意实数，下列五个命题中:①若，则；②若，则；③若，则；

④若则；

⑤若，则.其中真命题的个数是（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A略7.在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子经》、《张邱建算经》等，对等差级数（数列）和等比级数（数列），都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若，则这9个数和的最小值为（

）A.64 B. C.36 D.16参考答案：C【分析】简单的合情推理、等比数列、等差数列及重要不等式得：这9个数的和为，得解．【详解】由数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，设，，的公比为，因为，所以，，所以这9个数的和为，即这9个数和的最小值为36，故选：C．【点睛】本题考查等差数列和等比数列中项的性质、基本不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三个数成等比数列的设法.8.某班有50名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（

）A．10

B．9

C．8

D．7参考答案：B9.如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：C【分析】由题意得，，从而，，取中点，连结，，从而平面，延长至点，使，连结，，，则四边形为正方形，即有，从而（或其补角）即为异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的大小．【详解】由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD＝，∴∠BAD＝90°，取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．10.已知向量，则向量a,b夹角为

参考答案：B【知识点】平面向量的数量积及应用F3由已知得+2=0，则4-222cos=0,所以cos=-,=【思路点拨】根据向量的数量积，求出角。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若，则的最小值等于.参考答案：因为，所以，即当且仅当时去等号。所以，所以的最小值等于.12.在等差数列中，，，则

，设，则数列的前项的和

.参考答案：

13.设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a,b,c，若△ABC的面积为S=a2－(b－c)2，则=

.参考答案：414.不等式的解集是

.参考答案：

不等式等价于15.设变量x，y满足约束条件：，则的最小值为

．参考答案：-10

16.已知a＞0，展开式的常数项为15，则=．参考答案：【考点】67：定积分；DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式定理计算a，再根据定积分的几何意义和性质计算即可．【解答】解：∵展开式的常数项为15，∴C（）4x2=15，∴a4=1，又a＞0，∴a=1．∵y=表示半径为1的上半圆，y=sin2x是奇函数，∴=，=0，∴==．故答案为：．17.用数学归纳法证明时，当时，其形式是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知二次函数的图像过点，且，,数列满足，且，（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）记，求数列的前n项和。参考答案：(Ⅱ)

……………11分 ……………14分

略19.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）∵，∴且．

又∵，∴．

∴在点处的切线方程为：，即．………4分（Ⅱ）（i）当，即时，由在上是增函数，在上是减函数，∴当时，取得最大值，即．又当时，，当时，，当时，，所以，的图像与的图像在上有公共点，等价于，解得，又因为，所以．

………………8分（ii）当，即时，在上是增函数，∴在上的最大值为，∴原问题等价于，解得，又∵

∴无解综上，的取值范围是．

………………12分20.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。参考答案：解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）（Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.

（“当天商品销售量为1件”）

（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”）

故的分布列为23

的数学期望为21.（本题满分12分）已知，函数．（Ⅰ）若，求函数的极值点；（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围．（为自然对数的底数）参考答案：（Ⅰ）若，则，．当时，，单调递增；当时，，单调递减． …2分又因为，，所以当时，；当时，；当时，；当时，． …3分故的极小值点为1和，极大值点为． …4分（Ⅱ）不等式，整理为．…（*）设，则（）． …6分①当时，，又，所以，当时，，递增；当时，，递减．从而．故，恒成立． …9分②当时，．令，解得，则当时，；再令，解得，则当时，．取，则当时，．所以，当时，，即．这与“恒成立”矛盾．综上所述，．22.已知函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0.（1）若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立.参考答案：解：（1）f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna.当x＜lna时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞lna时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.故当x＝lna时，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna.于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－alna≥1.①令g(t)＝t－tlnt，则g′(t)＝－lnt.当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减.故当t＝1时，g(t)取最大值g（1）＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立.综上所述，a的取值集合为{1}.（2）由题意知，k＝＝－a.令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，则φ(x1)＝－

[－(x2－x1)－1]，φ(x2)＝

[－(x1－x2)－1].令F(t)＝et