勾股定理较难

如15-2016学年度???学校3月月考卷学校:姓名：班级：:一、选择题（题型注释）6.如图，一圆柱高8cm,底面半径为兀cm,一只蚂蚁从点月爬到点*处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm.根据下列条件，能判定一个三角形是直角三角形的是（）A.三条边的边长之比是1：2：3B.三个内角的度数之比是1：1：2C.三条边的边长分别是号，,看D.三条边的边长分别是12,15,203.（2015秋•新泰市期末）已知蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方形纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A.8 B.10 C.12 D.164.（2015秋•扬州校级月考）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号、3号两个正方形的面积和为4,则a,c这2个方形的面积和为（）A.10 B.15 C.22 D.12二、填空题（题型注释）5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5dm、3dm和1dm,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm.1/196.如图，一只蚂蚁从长和宽都是4cm,高是6cm的长方体纸盒的6.如图，一只蚂蚁从长和宽都是4cm,高是6cm的长方体纸盒的A点，沿纸盒爬到B点，它所走的最短路线长 cm.则最少要爬行7.如图，一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，cm.三、计算题（题型注释）.（2015秋•江阴市期中）如图，一个上方无盖的长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由盒外A处出发，沿着盒子面爬行到盒内的点B处，已知，AB=9,BC=9,BF=6,这只蚂蚁爬行的最短距离是.

四、解答题(题型注释).已知：如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(6,0)、B(6,4),D是BC的中点.动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度，沿着OA、AB、BD运动.设P点运动的时间为t秒(0<t<13).(1)写出APOD的面积S与t之间的函数关系式，并求出APOD的面积等于9时点P的坐标；(2)当点P在OA上运动时，连结CP.问：是否存在某一时刻t,当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点M处？若存在，请求出t的值并判断此时4CPM的形状；若不存在，请说明理由；(3)当点P在AB上运动时，试探索当PO+PD的长最短时的直线PD的表达式。.(12分)小明遇到这样一个问题：已知：在4ABC中，AB,BC,AC三边的长分别，求4ABC的面积.小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点4ABC小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点4ABC(即4ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，从而借助网格就能计算出^ABC的面积.他把这种解决问题的方法称为构图法.请回答：(1)求图1中4ABC的面积；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：(2)图2是一个6X6的正方形网格(每个小正方形的边长为1).①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为v13 2<5v29的格点△DEF；②计算4DEF的面积是(3)如图3,已知△PQR,以PQ,PR为边向外作正方形PQAF,PRDE,连接EF.若PQ=2V：2,3/19PR="3,QR=A：17,求六边形AQRDEF的面积..(12分)问题探究(1)如图1,在^ABC中，D是BC边上的中点，DE±DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.①求证：BE+CF>EF；②若NA=90°,探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明.问题解决(2)如图2,在四边形ABDC中，NB+NC=180°,DB=DC,NBDC=120°,以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.圉1 图2.如图①，四边形ABCD中，AD〃BC,DC±BC,AD=6cm,DC=8cm,BC=12cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒).(1)求线段AB的长.(2)当t为何值时，MN〃CD?(3)设三角形DMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式.(4)如图②，连接BD,是否存在某一时刻t,使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由..如图所示，在长方形ABCD中，AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠，使点D落在点D'处，求重叠部分4AFC的面积.

.（1）如图中图（1）,已知^八3。以AB、AC为边向^ABC外作等边^ABD和等边△ACE,连接BE,CD.请你完成图形，并证明：BE=CD.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）如图（2）,已知4八3。以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由.（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3）,要测量池塘两岸相对的两点B,E间的距离，已经测得NABC=45°,NCAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE,^BE的长..以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分（如图②），移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形（如图③）.小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为x（x>0）,可••••得x2=5,x>；5.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长.参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2.具体要求如下：（1）设拼接后的长方形的长为a,宽为b,则a的长度为；（2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；（3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）5/19

.《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h"，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s.曾用图曾用图(1)试求该车从A点到B点的平均速度；(2)试说明该车是否超过限速..(2015秋•太原期中)已知图1、图2、图3都是4X5的方格纸，其中每个小正方形的边长均为1cm,每个小正方形的顶点称为格点.(1)在图1的方格纸中画出一个三边均为无理数的直角三角形，使它的顶点都在格点上；(2)在图2的方格纸中画出一个面积为10cm2的正方形，使它的顶点都在格点上；(3)将图3的长方形方格纸剪拼成一个与它面积相等的正方形，在图3中画出裁剪线(线段)，在备用图中画出拼接好的正方形示意图及拼接线，并且使正方形的顶点都在格点上.说明：备用图是一张8X8的方格纸，其中小正方形的边长也为1cm,每个小正方形的顶点也称为格点.五、判断题(题型注释)参考答案1.C【解析】试题分析：此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答.1 6底面圆周长为2nr,底面半圆弧长为nr,即半圆弧长为2X2nX8=6（cm）,展开得:*/BC=8cm,AC=6cm,根据勾股定理得：AB=*82+62=10（cm）.故选C考点：平面展开-最短路径问题2.B【解析】试题分析：A、根据三角形三边关系即可判断；B、根据三角形的内角和为180度，即可计算出三角度数；C、D、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状.解：A、1+2=3,不满足三角形三边关系，不能组成三角形；B、三个角的比为1：1：2,设最小的角为x,则x+x+2x=180°,x=45°,2x=90°,故是直角三角形；C、（（2+（!）2£（看2,故不是直角三角形;D、122+152W202,故不是直角三角形.故选：B.考点：勾股定理的逆定理.3.B【解析】试题分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB.解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8,故矩形对角线长AB=，62+F=10,即蚂蚁所行的最短路线长是10.故选B.考点：平面展开-最短路径问题.4.D【解析】试题分析：由AAS证明△ABC04CDE,得出BC=DE,得出AC2=AB2+BC2,a的面积等于1的面1/19

积加上2的面积，即Sa=S/S2，同理可得出：S「S3+S4，即可得出结果.解：如下图所示： & °•.T,2,a三个四边形均为正方形，.\ZACB+ZBAC=90°,ZACB+ZDCE=90°,.\ZBAC=ZDCE,在^ABC和4CDE中，rZCBA=ZCDE，ZBAC=ZDCE,AC=CE.•.△ABCSCDE(AAS),；・BC=DE,.•・AC2=AB2+BC2,・♦・正方形a的面积等于正方形1的面积加上正方形2的面积，即Sa=S1+S2，同理可得出：Sc=S3+S4,.•・Sa+Sc=S]+S2+S3+S4=7+5=12.故选:D.3考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.13.【解析】试题分析：将台阶展开，如图，AC=3x3+1x3=12,BC=5,「.AB2=AC2+BC2=169,，AB=13,即蚂蚁爬行的最短线路为13dm.考点：平面展开：最短路径问题.10【解析】试题分析：根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB.解：将点A和点B所在的两个面展开，①矩形的长和宽分别为4cm和6cm,故矩形对角线长AB=+产10cm；

②矩形的长和宽分别为4cm和10,故矩形对角线长AB=，/+[o2=2vLcm.5【解析】试题分析:要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果.解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：•.,底面。O的周长为6cm,/.AC=3cm,•高BC=4cm,AAB=,-；AC2+BC2=5cm.【解析】试题分析：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形MCB与三角形ACN相似，由相似得比例得到MC=2NC,求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可.解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，•「△BCMMACN,即■|=:|=2,即MC=2NC,3/19在Rt^ACN中，根据勾股定理得：AC=;《卡+匚口/然，故答案为：当铲.考点：平面展开-最短路径问题.故答案为：当铲.考点：平面展开-最短路径问题.7【解析】试题分析：当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可.解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度二,；仁^”=4,•・•地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是3+4=7米.故答案为7.考点：勾股定理的应用；平移的性质.15【解析】试题分析：画出长方体的侧面展开图，利用勾股定理求解即可.解：如图所示，AB'—g'(6+6)区15.故答案为：15.E,故答案为：15.E,考点：平面展开-最短路径问题.、、一、 4 16(1)(4.5,0)(2,4)(2)存在(3)y=---x+-9 3【解析】试题分析：(1)根据矩形的性质得OA=BC=6,CD=BD=3,AB=4,然后分三种情况求解：当0<tW6,如图1,OP=t，根据三角形面积公式得S=2t,再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当6<tW10,如图2,则AP=t-6,BP=10-t,利用S=S矩形abcd-S狈cd-S^oap-S得到S=-3t+21,再求出S=9所对应的t的值，然后写出此时P点坐标；当10Vt<13,△BPD 2如图3,则PB=13-t,根据三角形的面积公式得S=-2t+26,由于S=9时，计算出t=7.5,而7.5不合题意故舍去；(2)如图4,E点为AB的中点，根据旋转的性质得PC二PE,在Rt^POC中，利用勾股定理得PC2=t2+42；在Rt^PAE中，利用勾股定理得到PE2=(6-t)2+22,则t2+42=(6-t)2+22,解方程得t=2.(3)根据对称性找到P点的对称点Q,找到D点，然后求出D点的坐标，再根据待定系数法求出解析式. 1试题解析：(1)二•矩形OABC的顶点A(6,0)、B(6,4),D是BC的中点，.\OA=BC=6,CD=BD=3,AB=4,当点P在OA上运动时，即0<tW6,如图1,OP=t,S=—・t-4=2t；VS=9,.•.2t=9,解得t=4.5,・•・此时P点坐标为(4.5,0)；当点P在AB上运动时，即6<tW10,如图2,AP=t-6,BP=10-t,S=S矩形此⑪与狈⑪与章”与拓印TOC\o"1-5"\h\z11 1=4X6—,4X3—・6・（t-6）—・3・（10-t）22 23=-2t+21；VS=9,\o"CurrentDocument"3 .,—=+21=9,解得t=8,2・•・此时P点坐标为（2,4）；5/19

_ E 1当点P在BD上运动时，即10Vt<13,如图3,PB=13-t,S=—・（13-t）・4=-2t+26；2VS=9,・・・-2t+26=9,解得t=7.5（不合题意舍去）；(2)存在.如图4,E点为AB的中点，:CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点，APC=PE,在Rt^POC中，OC=4,OP=t,.•・PC2=OP2+OC2=t2+42,在Rt^PAE中，AE=2,PA=6-t,.•・PE2=PA2+AE2=(6-t)2+22,/.t2+42=(6-t)2+22,解得t=2,即当t=2s时，当CP绕点P旋转时，点C能恰好落到AB的中点处./c、 4 16（3）y=--x+9 3

考点：1.矩形的性质，2.旋转的性质，3.对称性，4.一次函数的解析式12.（1）4ABC的面积7；（2）①见解析；②4DEF的面积为8；（3）31.2【解析】试题分析：（1）画出格子后可以根据格子的面积很容易的算出三角形的面积，大矩形的面积减去矩形内除去所求三角形的面积即可.（2）①根据题意作出图形；②用四边形面积减去三个三角形面积即可得.（3）.如图，将NQR绕点P逆时针旋转900,由于四边形PQAF,PRDE是正方形，故F,P,H共线，即4PEF和APOR是等底同高的三角形，面积相等.根据图形求得APOR的面积，再根据六边形AQRDEF的面积;正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+2APQR的面积即可求得六边形AQRDEF的面积., 1TC1 -1C- 7试题解析：解：（1）AABC的面积为：3X3-；y*1*3—$义2义】一］义3义2=3；乙 乙 乙 乙（3）六边形AQRDEF的面积;正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+2APQR的面积=(2^2)2+(43)2+2x5=31.7/19考点：设计和应用作图；勾股定理；三角形面积的计算；旋转的性质.（1）①证明见试题解析；②BE2+CF2=EF2；（2）EF=BE+CF.【解析】试题分析：（1）①如图（1）延长ED到G,使DG=ED,连接CG,FG,根据条件证明^DCG/△DBE,得DG=DE,CG=BE,易证FD垂直平分线段EG,则FG=FE,把问题转化到4CFG中，运用三边关系比较大小；②结论：BE2+CF2=EF2.若NA=90°,则NB+NC=90°,可证NFCG=NFCD+NDCG=NFCD+NB=90°,在Rt^CFG中，由勾股定理探索线段BE、CF、EF之间的数量关系；（2）如图（2）,结论：EF=EB+FC.延长AB到M,使BM=CF,根据条件证明△BDM04CDF,则DM二DF,再证明△DEM04DEF,从而得EF二EM=EB+BM=EB+CF.试题解析：（1）①如图（1）延长ED到G,使DG二ED,连接CG,FG,\•在^DCG与^DBE中，VCD=BD,ZCDG=ZBDE,DG=DE,A△DCG^^DBE（SAS）,・'.DG=DE,CG=BE,又•「DE^DF,.•.FD垂直平分线段EG,・'.FG=FE,在ACFG中，CG+CF>FG,即BE+CF>EF；②结论：BE2+CF2=EF2.理由：•.,NA=90°,...NB+NACD=90°,由①NFCG=NFCD+NDCG=NFCD+NB=90°,・•.在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2+CF2=FG2，即BE2+CF2=EF2；（2）如图（2）,结论：EF=EB+FC.理由：延长AB至UM,使BM=CF,「NABD+NC=180°,又NABD+NMBD=180°,.ZMBD=NC,WBD=CD,A△BDM^^CDF,ADM=DF,ZBDM=ZCDF,AZEDM=ZEDB+ZBDM=ZEDB+ZCDF=ZCDB-ZEDF=120°-60°=60°=ZEDF,A△DEM^^DEF,AEF=EM=EB+BM=EB+CF.

AA考点：1.旋转的性质；2.三角形三边关系；3.全等三角形的判定与性质；4.勾股定理. 60门.—4, 13、 71 180(1)AB-10.(2)t——秒.(3)S——(t_—)2+—(0WtW6秒).(4)存在t——,13 5 2 5 41使MNLBD.【解析】试题分析：(1)作AELBC于E,根据直角梯形的性质和勾股定理求出AB的长；(2)根据MN〃CD,则NMLBC,运用NB的余弦求出时间t；(3)根据^OMN的面积S-梯形ABCD的面积-4CDM的面积-4BMN的面积-4ADN的面积，代入数据整理即可；(4)假设存在，经过推理求出时间t.试题解析：(1)作AELBC于E,根据题意得，AE—DC—8,EC—AD—6,BE-BC-EC—6,在Rt^ABE中，由勾股定理，AB—10.(2)若MN〃CD,则NMLBC,BMBM口6_ TTTCOSB- BNBN1012-21t60解得：t—13秒.(3)ADMN的面积S-梯形ABCD的面积-4CDM的面积-4BMN的面积-4ADN的面积TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 4 1 4——X(6+12)X8--X2tX8- - X(12-2t)X —t - - X6X(8- -t)2 2 2 5 2 513(t-13(t-3)712+ 5又M从C点运动到B点的时间为6秒，N点从B点运动到A点所需的时间为10秒依题意，两者取小值6秒，TOC\o"1-5"\h\z4 13 71所以，S-(t--)2+—(0WtW6秒).5 2 5(4)假设存在，则有MNLBD,BC123显然有NBMN-NBDC,tanZBMN—tanZBDC———二一二一,CD8 2如图②，过点N作NFLBC于F,43依题意可求得NF-5t,MF—12-2t-5t9/19

所以，NF而4

所以，NF而4

t5312-2t--153=tan/BMN=&180解得：t二 <6秒，符合题意.41180所以存在t=，使MNLBD.41图①图②考点：四边形综合题.10【解析】在长方形ABCD中，•・・AB〃CD,・・・NBAC=NDCA.又由折叠的性质可得NDCA=NFCA..\ZBAC=ZFCA.AAF=CF.设AF=x，贝UBF=AB-AF=8-x.在RtABCF中，BC=4,BF=8—x,CF=x,.••42+(8—X)2=X2.解得x=5.1 1L,一・・.S=AFBC=—X5X4=10.△AFC 2 216.解：(1)如图(1).BE=CD.100<3米.【解析】（1）根据题目要求进行尺规作图，并证明所给结论；（2）用三角形全等分析BE与CD的相等关系；（3）构建几何模型（添加辅助线、运用勾股定理）解决实际问题.解：（1）如图（1）．

证明：•二△ABD和^ACE都是等边三角形，AAD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°.AZbad+nbac=zcae+zbac,即NCAD=NEAB,/.△CAD^^EAB,ABE=CD.(2)BE=CD.理由如下：•・•四边形ABFD和ACGE均为正方形，AAD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=90°,AZCA