常用的参数曲线

常用的参数曲线第一页，共四十页，2022年，8月28日1、1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。2、1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，斯恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。 如何表示象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。第二页，共四十页，2022年，8月28日4、1972年，德布尔（deBoor）给出了B样条的标准计算方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。3、1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。同期法国雪铁龙Citroen汽车公司的德卡斯特里奥（deCastelijau）也独立地研究出与Bezier类似的方法。第三页，共四十页，2022年，8月28日

一、Bezier曲线

Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。在这组顶点中：

(1)只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上；

(2)其余的顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状；

(3)第一条边和最后一条边则表示了曲线在两端点处的切线方向。第四页，共四十页，2022年，8月28日第五页，共四十页，2022年，8月28日

１.Bezier曲线的数学表达式Bezier曲线是由多项式混合函数推导出来的，通常n+1个顶点定义一个n次多项式。其数学表达式为：(0≤t≤1)式中：Ｐi：为各顶点的位置向量Ｂi,n(t)：为伯恩斯坦基函数第六页，共四十页，2022年，8月28日

伯恩斯坦基函数的表达式为：

假如规定：０＝１，０！＝１，则

t=0:

i=0,Bi,n(t)=1

i0,Bi,n(t)=0

P(0)=P0

第七页，共四十页，2022年，8月28日

t=1:i=n,Bi,n(t)=1in,Bi,n(t)=0

P(1)=Pn所以说，“只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上”。即Bezier曲线只通过多边折线的起点和终点。第八页，共四十页，2022年，8月28日

下面我们通过对伯恩斯坦基函数求导，来分析两端切矢的情况。

得：

第九页，共四十页，2022年，8月28日

讨论：

t=0:i=0:Bi-1,n-1(t)=0；Bi,n-1(t)=1。i=1:Bi-1,n-1(t)=1；Bi,n-1(t)=0。·（均出现0的非0次幂）第十页，共四十页，2022年，8月28日

t=0

同理可得，当t=1时

这两个式子说明：Bezier曲线在两端点处的切矢方向与特征多边形的第一条边和最后一条边相一致。且末端切矢的模长分别等于首末边长的n倍，n为贝塞尔曲线的阶次第十一页，共四十页，2022年，8月28日Bezier曲线的性质：（1）端点位置：

（2）端点的切线：曲线与P0P1，Pn-1Pn相切，

（3）端点的曲率：第十二页，共四十页，2022年，8月28日（4）对称性：若保持控制点的位置不变，但次序颠倒，即Pi变为Pn-i，则Bezier曲线形状不变。（5）仿射不变性： 即Bezier曲线的形状、重心及相对位置（与控制多边形）与选择的坐标无关。方便图形变换第十三页，共四十页，2022年，8月28日（6）凸包性：

对于某个t值P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子是 。在几何图形上，P(t)是各控制点的凸线性组合，并且曲线各点均落在Bezier特征多边形构成的凸包之中。第十四页，共四十页，2022年，8月28日（7）直线再生性：

若控制顶点P0,P1,···,Pn在同一直线上，该Bezier曲线必为一条直线段（8）平面Bezier曲线的保凸性：如控制顶点为凸，则相应的Bezier曲线也为凸第十五页，共四十页，2022年，8月28日（9）变差缩减性：平面内任一条直线与Bezier曲线的交点数，不多于此直线与控制多边形的交点个数该性质说明：Bezier曲线比控制多边形波动得少，比控制多边形光顺。第十六页，共四十页，2022年，8月28日（10）拟局部性（见程序）当移动控制顶点Pi时，对应参数t=i/n的曲线上的点变动最大，远离

i/n的曲线上的点变动越来越小Bezier曲线的形状由其控制多边形的形状作较好的刻划，在设计时，一般以控制多边形的设计与修改为基本手段第十七页，共四十页，2022年，8月28日

２.二次和三次Bezier曲线

(1)三个顶点：P0,P1,P2可定义一条二次(n=2)Bezier曲线：其相应的混合函数为：

第十八页，共四十页，2022年，8月28日

所以，根据式：

二次

Bezier曲线的表达形式为：P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2

P2

（０≤t≤1)第十九页，共四十页，2022年，8月28日二次贝塞尔曲线的图形P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2

P2P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)]P(0)=2(P1-P0)P(1)=2(P2-P1)P(1/2)=P2-P0第二十页，共四十页，2022年，8月28日

(2)四个顶点P0、P1、P2、P3可定义一条三次Bezier曲线：

***第二十一页，共四十页，2022年，8月28日贝塞尔曲线在运用中的不足之处

缺乏灵活性一旦确定了特征多边形的顶点数(m个)，也就决定了曲

线的阶次(m-1次)，无法更改；

控制性差当顶点数较多时，曲线的阶次将较高，此时，特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱；第二十二页，共四十页，2022年，8月28日不易修改由曲线的混合函数可以看出，其值在开区间(0,1)内均不为零。因此，所定义之曲线在(0<t<1)的区间内的任何一点均要受到全部顶点的影响，这使得对曲线进行局部修改成为不可能。（而在外形设计中，局部修改是随时要进行的）第二十三页，共四十页，2022年，8月28日

二、B样条曲线为了克服Bezier曲线存在的问题，

Gordon等人拓展了Bezier曲线，就外形设计的需求出发，希望新的曲线要：易于进行局部修改；更逼近特征多边形；是低阶次曲线。于是，用n次Ｂ样条基函数替换了伯恩斯坦基函数，构造了称之为Ｂ样条曲线的新型曲线。第二十四页，共四十页，2022年，8月28日Ｂ样条基函数

Bi，k（t）的双下标中第二个下标k表示次数，第一个下标i表示序号。欲确定第i个k次样条Bi，k（t），需要用到ti、ti+1、，---，ti+k+1共k+2个点B样条曲线的方程可表示为第二十五页，共四十页，2022年，8月28日B样条曲线的性质(1)局部性由定义可知,样条基函数Bi,k只在[ti,ti+1]区间不为0，该段曲线只与控制顶点Pi-K+1,pi-k+2,……Pi有关(2)递推性可根据递推公式由低次的B样条得出高次的B样条。第二十六页，共四十页，2022年，8月28日（3）凸包性B样条曲线的凸包由每一曲线段对应的控制顶点的凸包的并集构成。（4）直线再生性若控制顶点落在一条直线上，则该段曲线为直线（5）连续性（6）几何不变性。曲线形状由控制点决定，与坐标系的选取无关（7）磨光性由同一组控制点定义的B样条曲线，随着k的增加，越来越光滑。第二十七页，共四十页，2022年，8月28日

2.Ｂ样条曲线的数学表达式Ｂ样条曲线的数学表达式为：

在上式中，0≤

t≤1；i=0,1,2,…,m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。如果给定

m+n+1个顶点Pi(i=0,1,2,…,m+n)，则可定义m+1段n次的参数曲线。第二十八页，共四十页，2022年，8月28日

在以上表达式中：Fk,n(t)为n次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。其表达式为：

式中：0≤t≤1k=0,1,2,…,n第二十九页，共四十页，2022年，8月28日

连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次Ｂ样条曲线。依次用线段连接点Pi+k(k=0,1,…,n)所组成的多边折线称为Ｂ样条曲线在第i段的Ｂ特征多边形。

第三十页，共四十页，2022年，8月28日

３.二次Ｂ样条曲线在二次Ｂ样条曲线中，n=2,k=0,1,2故其基函数形式为：

第三十一页，共四十页，2022年，8月28日

有了基函数，因此可写出二次Ｂ样条曲线的分段表达式为：

(i=0,1,2,…,m)m+1段第三十二页，共四十页，2022年，8月28日

写成一般的矩阵形式为：式中，Ｂk为分段曲线的Ｂ特征多边形的顶点：P0,P1,P2。对于第i段曲线的Bk即为：Pi,Pi+1,Pi+2连续的三个顶点。（见下图）

第三十三页，共四十页，2022年，8月28日n=2,二次B样条曲线m+n+1个顶点，三点一段，共m+1段。i=0P0,2(t)i=1P1,2(t)第三十四页，共四十页，2022年，8月28日

二次Ｂ样条曲线的性质先对

P(t)求导得：

然后分别将t=0,t=0.5,t=1

代入

P(t)和P’(t)，可得：P(0)=1/2(B0+B1),P(1)=1/2(B1+B2);P’(0)=B1-B0,P’(1)=B2-B1;P(1/2)=1/2{1/2[P(0)+P(1)]+B1}P’(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)-P(0)第三十五页，共四十页，2022年，8月28日

与以上这些式子所表达的性质相符的曲线是何种形状：（见下图）

第三十六页，共四十页，2022年，8月28日

结论：分段二次B样条曲线是一条抛物线；有n个顶点定义的二次B样条曲线，其实质上是n-2段抛物线（相邻三点定义）的连接，并在接点处达到一阶连续。（见下图）第三十七页，共四十页，2022年，8月28日

４.三次Ｂ样条曲线分段三次Ｂ样条曲线由相邻四个顶点定义，其表达式为：P(t)=F0,3(t)•B0+F1,3(t)•B1+F2,3(t)•B2

+F3,3(t)•B3(0t1)可见，由n个顶点定义的完整的三次Ｂ样条曲线是由n-3段分段曲线连接而成的