第9章-模型阶次的确定

1第9章模型阶次的确定29.1引言多种参数辩识方法需要假定模型的结构已知实际，模型的结构多数情况下不可能预先知道模型结构辩识没有模型结构的先验知识时利用输入-输出关系确定模型的结构3模型结构的辩识包括模型验前结构的假定模型结构参数的确定线性系统模型验前结构–

直接采用差分方程或状态方程的表达形式模型结构辩识–

确定模型阶次（单变量过程）或Kronecker不变量（多变量过程）4非线性系统模型验前结构–

需要采用非线性差分方程、Volterra级数、Hammerstein模型或Winner模型等表达形式模型结构辩识–

比较复杂5单输入-单输出（SISO)过程的阶次辩识包括Hankel矩阵判秩法、行列式比法、F检验法、AIC法、最终预报误差准则法这些方法不是通用的方法，不可能适用于任何情况各种方法试试，选择最合理的需要的阶次作为模型的阶次6模型阶次和参数估计互相依赖，不能分离进行参数估计时，需要已知阶次辩识阶次时，利用参数估计值同时辩识阶次和参数估计目前研究的课题79.2根据Hankel矩阵的秩估计模型的阶次对一个可观可控SISO过程利用相关分析法或最小二乘类方法，可获得相应的脉冲响应的序列。进一步把脉冲响应序列转变成参数模型，需要确定模型的阶次8设过程的脉冲响应序列记作构造Hankel矩阵

-决定Hankel矩阵的维数可在1至之间选择，它决定用那些脉冲响应序列组成Hankel矩阵9如果（过程的真实阶次）Hankel矩阵的秩等于即10

式意味着当大于过程的真实阶次时Hankel矩阵的秩仍然等于利用这一事实可通过对不同的值判断Hankel矩阵的奇异性来确定过程的阶次11（1）无噪声情况设脉冲响应序列不含噪声，则判定过程模型阶次的步骤是：①按（1）式构造Hankel矩阵H(l,k),对给定的l值，计算k取1至L-2l+2时Hankel矩阵的行列式。②若l从1逐渐增加到，对所有的k，都有；而l增加至后，对所有的k，都有，这说明Hankel矩阵在处由非奇异变成奇异阵，由此可判定过程模型的阶次为12（2）弱噪声情况设脉冲响应序列含有噪声，这时即使l已增加至，但对所有的k，Hankel矩阵的行列式都不会绝对为零。这样就难于按无噪声的情况来确定模型的阶次。若果脉冲响应所含的噪声较小，则可引进Hankel矩阵工行列式的平均比值（3）13

来观察Hankel矩阵是否已由非奇异变成奇异。当l从1开始逐一增加时，不断计算值，可取到达最大值的l作为模型的阶次。这时因为当时，（3）式分母项虽不为零，也较分子急剧下降，从而使在处取得最大值。当时，取最大值14（3）强噪声情况如果脉冲响应序列所含的噪声比较大，未来还能可靠地确定过程模型的阶次，构造Hankel矩阵时，不能直接采用脉冲响应序列，可用脉冲响应序列的自相关系数构成如下的Hankel矩阵（4）（5）159.3利用行列式比估计模型的阶次利用行列式比估计模型的阶次的方法称作行列式比定阶法行列式比定阶法基本思想类似于Hankel矩阵判秩定阶法但行列式比定阶法利用的是输入输出数据16（1）无噪声情况如果过程能用如下模型描述其中u(k)和y(k)表示过程的输入输出变量，设（6）其中L为数据长度。17如果输入是充分激励的信号，它保证始终是满秩的，意味着。但对不同n，不一定满秩，但其秩不会大于过程的真实阶次。为此有：其中为模型阶次的估计值。当时，，一定是满秩的；当时，，即的秩小于的列数，故是奇异阵。（7）18有如下结论当时，乘积矩阵是正定的；当时，乘积矩阵是奇异的，即有根据这一结论，当从1开始逐一增加，若有，则应取作为过程的模型阶次。不过由于计算误差的影响，真正让是比较困难的，为了提高判断精度，采用如下行列式比来确定模型的阶次。当从1开始逐一增加时，若较有显著增加，则这时的可认为比较接近真实阶次，应取。

（8）（9）19（2）白噪声情况如果过程能用如下模型描述其中u(k)和z(k)表示过程的输入输出变量，v(k)是均值为零，方差为的不相关的随机噪声，设模型阶次的估计值为，构造数据如下矩阵（10）其中L为数据长度。（11）20定义如下行列比式同理，当从1逐一增加时，若较有显著增加，则这时的认为比较接近过程的真实阶次，应取。（12）（13）21例考虑如下对象其中v(k)是均值为零，方差为的不相关随机噪声；输入信号u(k)采用M序列，循环周期，幅度为1；数据长度取L=1100。按（11）构造数据阵，其中分别计算对应的行列式比，如下图所示。当时，行列式比显著增加，故模型的阶次可以定为2阶。12345229.4利用残差的方差估计模型的阶次Hankel矩阵判秩定阶法或行列式比定阶法在获得模型参数估计值之前就可预先确定模型的阶次基本上与参数辩识方法无关23残差的方差定阶法需要在获得模型参数估计值之后求得模型残差序列并借以统计假设检验方法对残差的方差进行显著性检验来确定模型的阶次它和参数辩识方法是密切相关的24考虑如下模型描述的SISO过程其中u(k)和z(k)表示过程的输入输出变量；v(k)是均值为零，方差为，服从正态分布的不相关随机噪声。且（14）（15）将（14）式写成（16）25令（17）26其中，L为数据长度，则（16）式可以写成在最小二乘意义下，参数的估计值为其中表示模型的阶次估计值，为过程的真实阶次。于是模型的输出残差可写成（18）（19）（20）27

表示过程模型的真实参数，残差的方差为：以概率收敛情况，即：（21）（22）28由于是白噪声，故最后一项为零，而且：所以（23）（24）29故此当时，输出残差的方差趋于固定值利用残差方差的这一性质，从1开始逐一增加，观察方差的变化情况，若L充分大，则将随递减，减至某一固定值时，对应的可认为是过程模型的阶次。在实际中的变化趋势不可能有曲线①这样的情况，而是像曲线②那样缓慢下降。因此必须根据统计假设检验方法对进行显著性检验，即是当出现明显下降时，对应的可认为是过程模型的阶次。如右图所示（25）309.5利用Akaike准则估计模型的阶次Akaike提出（1974年）一种具有客观水准的判定方法采用一种称作赤池信息准则（AIC）作为标准，从而能比较客观地确定过程的模型阶次31考虑如下的数学模型

-输出量

-个独立的输入变量

-模型的参数

-模型的噪声（26）32为了确定模型（26）式的阶次（或独立的参数个数）Akaike引进如下准则AIC–AkaikeInformationCriterion的缩写

-参数的极大似然估计值

-在条件下的似然函数

-模型阶次或独立参数个数的估计值（27）33Akaike证明了使为最小的是模型相对合理的阶次。34白噪声情况设SISO过程可用如下模型描述其中u(k)和z(k)表示过程的输入输出变量；v(k)是均值为零，方差为，服从正态分布的不相关随机噪声。若按（17）式定义，可将上述模型写成输出变量在条件下的似然函数为（28）（29）（30）35对应的对数似然函数为其中L为数据长度，根据极大值原理,（29）式模型参数及噪声v(k)方差的极大似然估计为将和回代到（31）式，可得（31）（32）（33）36由上式，可得AIC准则为其中表示模型阶次的估计值；噪声方差估计值按（32）式计算。（34）式是模型（28）式的AIC定阶公式，对不同阶次，分别计算，找到使的作为模型的阶次。一般来说，这样得到的模型阶次都能比较接近实际过程的真实阶次。37利用最终预报误差准则估计模型的阶次利用最终预报误差准则估计模型的阶次一种依靠极小化一个准则函数的判阶方法简称FPE定阶法Akaike指出“最好”的估计模型应该能给出“最好”的输出一步预报值也就是最终预报误差准则要达到最小38根据Akaike指出的道理当估计模型的阶次从小开始逐一增加时分别求得最终预报误差准则（FPE）找到使FPE为最小的阶次把它作为模型阶次的估计值39闭环系统辩识40引言许多实际问题辩识不一定都能在开环情况下进行如：运行着的工业过程利用辩识方法研究动态特性时，不能切断反馈回路否则会造成过程失控，影响生产辩识必须在闭环状态下进行41研究参数自适应控制时辩识和控制有机结合辩识一定在闭环状态下进行，以便实时控制有些系统本身存在内在的、固有的反馈（如：经济系统或生物系统）反馈是客观的、无法解除的辩识只能在有反馈作用的状态下进行42闭环系统辩识应注意（1）系统的反馈作用不明显时必须判明系统到底存在不存在反馈作用然后决定采用什么样的辩识方法（2）必须弄清楚该如何把开环辩识方法用于闭环辩识或者开环辩识方法附加什么条件后才能用于闭环辩识43主要内容判明系统是否存在反馈作用的方法闭环辩识条件闭环辩识方法开环辩识方法在闭环系统中的应用44判明系统是否存在反馈作用的方法如果一个系统的反馈是隐含的难以直截了当地作出判断不要主观认为系统是开环的或者就是闭环的必须经过计算才能对系统内部到底存在不存在反馈作用作出明确的判断45最简单的判断方法检验系统的输入信号与输出测量噪声相关性如果输入信号与输出测量噪声不相关则系统内部没有反馈存在否则系统内部存在着反馈46但是由于系统的输出测量噪声是不可测的，或者是确定性的系统输出测量噪声为零因此想通过检验系统的输入信号与输出测量噪声的相关性判断系统是否存在反馈实际上是不现实的47闭环系统的可辩识性概念辩识结果的好坏与以下几个方面的考虑有关（1）具体的辩识对象（2）所用的模型结构（3）所采用的辩识方法（4）所考虑的实验条件48对闭环辩识有一个可辩识性问题在不同的辩识对象、模型结构、辩识方法、实验条件下闭环系统不一定是可以辩识的49闭环辩识方法及可辩识性条件闭环辩识要求在不打开控制环的情况下进行在这之前必须对系统是否可辩识作出明确的答复间接辩识法必须先获得闭环系统模型在此基础上利用反馈通道上的控制器模型从中导出前向通道的模型50直接辩识法利用前向通道的输入输出数据直接建立前向通道的数学模型反馈通道的控制器模型可以未知51两种方法的区别间接法要求反馈通道的控制器模型已知直接法要求前向通道的输入输出变量是可测的辩识性观点只要在反馈通道上加上一个均值为零与输出测量噪声无关的持续激励摄动信号两种闭环辩识方法可以是等效的52闭环系统的阶次辩识闭环辩识方法一般必须事先假定模型的阶次已知53最小二乘法在闭环辩识中的应用SISO离散闭环系统54前向通道的模型写成反馈通道的模型为55其中和是互不相关分别服从高斯和的白噪声和表示前向通道和反馈通道的纯迟延56对模型式可利用最小二乘法，直接获得模型参数的最小二乘估计值其中57辅助变量法在闭环辩识中的应用辩识对象（闭环系统）58设前向通道模型为反馈通道模型为

-均值为零的有色噪声59用最小二乘法获得参数的无偏一致估计这种情况不仅与的现在值有关而且与的过去值相关获得好的参数估计值设法解除与的相关性60若在给定端加入激励信号（加M序列）系统的输入输出变量分解成脚标“

”和“

”表示相应变量是由或激励生成的和与是不相关的61若用和代替和构成一个辅助矩阵其中62利用辅助变量法可得参数估计值由于与不相关故可以是无偏估计值辅助矩阵中的元素和是不可测的只能用迭代的方法计算6364多变量线性过程辩识65引言MIMO过程辩识问题可看作SISO过程的扩展包含一个以上的输入量和输出量SISO过程一样，也是利用输入输出数据准则意义上，寻找与过程特性等价的数学模型66MIMO过程示意图67输入输出变量–

向量的形式表现68含有噪声的MIMO过程示意图69输出向量含有测量噪声输出向量应表示成其中70研究MIMO线性过程辩识时首先选择描述多变量过程的模型类型一般有四种描述形式（模型之间互相等价，可以互相转换）状态空间模型输入输出差分方程传递函数矩阵脉冲响应矩阵或称Markov参数矩阵71当过程的输入输出变量可测时使用输入输出差分方程、传递函数矩阵、Markov参数矩阵的模型比较方便它们可以直接利用输入输出数据获得72SISO过程模型结构的辩识–

确定模型的阶次MIMO过程模型结构的辩识–

确定一组Kronecker不变量确定了模型的结构参数单变量的许多参数估计算法都可以推广到多变量过程73多变量过程的描述多变量过程的参数估计方法多变量过程的结构辩识主要内容74多变量过程的描述多变量过程的描述和单变量过程类似可以用状态方程、差分方程、传递函数和脉冲响应等形式来描述这些模型的形式是可以互相转化的75状态空间描述及规范型线性多变量过程可以表示成状态方程的形式

-维的状态变量

-分别是维（和）的常数矩阵

-噪声向量76MIMO过程的状态方程描述不是唯一的状态变量经过任意的非奇异线性变换就转化成另一种新的状态方程矩阵分别用代替

-非奇异线性变换矩阵77MIMO过程的状态方程非唯一性需要研究MIMO过程的规范型表达形式可分成矩阵规范后出现若干行单位向量矩阵规范后出现若干列单位向量78常见的六种规范表达形式行同伴型列