第1章经典控制理论回顾1

控制工程基础1.1控制系统的工作原理及其组成工作原理

实现恒温控制有人工控制和自动控制两种办法。

图1.1人工控制的恒温箱控制工程基础图1.2恒温箱的自动控制系统

自动控制系统的三个基本功能：1．测量检测输出量的实际值。2．比较将实际值与给定值（输入量）进行比较得出偏差值。3．执行用偏差值产生控制调节作用去消除偏差。这种基于反馈原理、通过“检测偏差再纠正偏差”的系统称为反馈控制系统。反馈：将输出量以某周方式返回到输入端，并与输入量进行比较共同作用于系统的过程。可分为外反馈和内反馈，正反馈和负反馈。控制工程基础控制工程基础

图１.3恒温箱温度自动控制系统职能框图控制工程基础1.2自动控制系统的分类1.2.1按控制系统有无反馈来分（1）开环控制系统（2）闭环控制系统

控制工程基础（3）闭环控制系统的组成及名词术语图1.5闭环控制系统的组成

控制工程基础（4）开环控制及闭环控制系统的优缺点抗干扰能力、自动纠偏能力控制精度结构、造价设计时要着重考虑稳定性问题控制工程基础1.2.2按控制作用的特点来分（1）恒值控制系统（2）程序控制系统（3）随动系统

控制工程基础1.3控制系统的基本要求稳定性

稳定性就是指系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力。精确性

控制系统的精确性即控制精度，一般以稳态误差来衡量。快速性

快速性是指当系统的输出量与输入量之间产生偏差时，消除这种偏差的快慢程度。1.4控制系统的研究对象和方法控制工程基础2.物理系统的数学模型及传递函数2.1系统的数学模型2.2传递函数2.3典型环节的传递函数2.4系统的方框图及其化简*2.5物理系统传递函数的推导控制工程基础2.1系统的数学模型2.1.1数学模型工程上常用的数学模型微分方程传递函数状态方程微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础2.1.2建立数学模型的方法

理论分析（解析法）试验的方法获取控制工程基础2.1.3线性系统与非线性系统的线性化（1）线性系统及其性质齐次性和叠加性（式中，n≥m；an，bm均为系统结构参数所决定的定常数）（2）了解非线性系统及其线性化（3）系统运动微分方程的建立

1．机械系统

任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。都可以使用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。

1）机械平移系统

f∶外力；x∶位移；m∶质量；c∶粘性阻力系数；k∶弹簧刚度

2）机械旋转系统

T∶扭转力；θ∶转角；J∶转动惯量；BJ∶回转粘性阻力系数；

kJ∶扭转弹簧刚度

2．电气系统

电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。基尔霍夫电流定律：基尔霍夫电压定律： 欧姆定律：

电感定律：

电容定律：

控制工程基础2.1.4拉普拉斯(Laplace)变换（1）拉普拉斯变换的定义s：拉普拉斯算子，复变量，f(t)：原函数（实域、时间域）F(s)：象函数（s域、复数域）控制工程基础控制工程基础

（2）拉普拉斯变换的主要性质1）线性性质设L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s)，k1，k2为常数，则2）微分性质若L[f(t)]=F(s)，且f(0)=0，（初始条件为零）则控制工程基础

（2）拉普拉斯变换的主要性质3）积分定理若L[f(t)]=F(s)，且初始条件为零，则4）平移定理若L[f(t)]=F(s)，则有控制工程基础

（2）拉普拉斯变换的主要性质5）初值定理

若L[f(t)]=F(s)，则6）终值定理若L[f(t)]=F(s)，则有控制工程基础

（2）拉普拉斯变换的主要性质7）时域位移定理（延迟定理）

若L[f(t)]=F(s)，对任一正实数a有则控制工程基础2.1.5拉普拉斯(Laplace)反变换（1）拉普拉斯反变换的定义（2）拉普拉斯反变换的应用求解微分方程求原函数1、放大环节（或比例环节）2、理想微分环节3、一阶微分环节4、二阶微分环节5、积分环节6、惯性环节7、振荡环节8、延迟环节2.2典型环节的传递函数环节与典型环节控制工程基础控制工程基础2.4系统的方框图及其化简2.4.1环节的基本连接方式

（1）串联（2）并联（3）反馈联接控制工程基础开环传递函数

G(s)H(s)称为系统的开环传递函数，可表示为通道。注意：开环传递函数和开环系统传递函数是不一样的。闭环传递函数当H(s)=1时，我们将系统称为单位反馈系统或全反馈系统。控制工程基础干扰作用下的闭环系统控制工程基础2.4.2系统的方框图的绘制列出描述系统各个环节的运动方程式求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来将这些方块单元结合在一起，以组成系统完整的框图2.4.3系统的方框图的化简简化原则控制工程基础3.时间响应分析3.1时间响应的概念3.2一阶系统的时间响应3.3二阶系统的时间响应3.4瞬态响应的性能指标3.5稳态误差分析与计算控制工程基础3.1时间响应的概念时间响应可分为瞬态响应与稳态响应。3.1.2典型输入信号

常用的输入信号:单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数(单位加速度函数)、正弦函数和某些随机函数。1.单位脉冲函数(δ函数)（1）定义：（2）L变换：

2.单位阶跃函数

（1）定义：

（2）L变换：3.单位斜坡函数（1）定义：

（2）L变换：

4.单位加速度函数（1）定义：

（2）L变换：

5.正弦函数（1）定义：

（2）L变换：

t0

3.2一阶系统的时间响应1.一阶系统的数学模型

一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其典型环节是惯性环节。传递函数：

T：一阶系统的时间常数

2.一阶系统的单位阶跃响应输出信号拉氏变换为：时间响应为：T单位阶跃响应曲线：

特点：(1)瞬态响应为，稳态值为1；(2)单调上升的指数曲线；(3)T表示系统输出以最大初速达到稳态值所需的时间xo(T)=0.632(4)当T↓，过渡过程持续时间变短，表明系统惯性越小，系统的快速性能越好。输出信号拉氏变换为：时间响应为：单位脉冲响应曲线：

特点：当T↓，过渡过程持续时间变短，表明系统惯性越小，系统的快速性能越好。3.一阶系统的单位脉冲响应4.一阶系统的单位斜坡响应输出信号拉氏变换为：时间响应为：单位斜坡响应曲线：

闭环传递函数输入信号时域输出响应ess01(t)0tT无穷大等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。3.3二阶系统的时间响应3.3.1二阶系统的数学模型

二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型环节是振荡环节。1.传递函数：为无阻尼固有频率，为阻尼比。

2.特征方程特征根

：s[]jwss1s2-+wnjwnj阻尼比与极点的关系阻尼比极点极点特征两个不同的实数极点两个相同的实数极点

两个共轭的复数极点位于虚轴上的共轭极点两个共轭的复数极点3.3.2二阶系统的单位阶跃响应

1、当ξ=1时（临界阻尼）单调上升,没有超调。051015nw=1

x=1.02、当ξ>1时（过阻尼）曲线上升缓慢，没有超调。

0510151x=1.2nw=1

3、当0<ξ<1时(欠阻尼）4、当ξ=0时05101510.1x=nw=1

无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，振荡频率为n指数衰减的振荡，振荡频率为d(5)负阻尼情况（）

二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随着阻尼的减小，其振荡特性表现得愈加强烈，但仍为衰减振荡，当＝0时达到等幅振荡.在=1和>1时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性.从过渡过程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以=1时的过渡过程时间最短。工程上通常使=0.4～0.8之间，其超调不大，过渡过程较短。05101500.20.40.60.811.21.41.61.80.30.50.70.91.01.20.1x=nw=1

表3-3极点与阶跃响应的关系阻尼比极

点

极点在s平面的位置

阶跃响应形式

>1=10<<1=0<0从表3-2与3-3中，我们可以发现若系统的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有负实部，即Re[si]<0,则其系统会趋于稳定，这种系统称为稳定系统。相反的，若系统存在具有正实部的特征根si，即Re[si]>0,则其系统会产生振荡，这种系统为称为不稳定系统。若系统有一个特征根的实部为0，而其余特征根的实部均为负数，系统最终会变成一等幅振荡，这种系统称为临界稳定系统。往往也将临界稳定系统看成不稳定系统。3.3.5二阶系统阶跃响应与极点的关系

控制工程基础3.4瞬态响应的性能指标

控制工程基础1、上升时间tr：响应曲线从初态开始，第一次达到输出稳态值所需的时间。

当ωn一定，ξ↑→tr↑；当ξ一定，ωn↑→tr↓

3.4二阶系统时间响应的性能指标5101500.20.40.60.811.21.41.6tr2、峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需的时间。当ωn一定,ξ↑→tp↑；当ξ一定，ωn

↑→tp

↓

5101500.20.40.60.811.21.41.6Mptp3、最大超调量Mp：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量。Mp只与ξ有关

5101500.20.40.60.811.21.41.6Mptp4、调整时间ts

:

响应曲线稳态值附近取稳态值的±5%或±2%作为误差带，响应曲线达到并不再超出误差带范围，所需要的最小时间。5101500.20.40.60.811.21.41.6ts3)工程上：一般取ξ=0.707为最佳阻尼比。

ts、Mp均不大，由Mp确定ξ，再由ts确定ωn。

1)nw↑→rt↓，pt↓，st↓—→改善快速性

5、兼顾各项性能指标

减弱振荡性，改善准确性，但影响快速性2)x↑→pM↓，ts↑—→

欠阻尼的单位阶跃响应3.5.1偏差、误差、稳态误差的定义偏差信号E(s)是指参考输入信号X(s)和反馈信号之差，即（3-51）控制工程基础3.5稳态误差分析与计算误差信号(s)是指被控量的期望值Yd(s)和被控量的实际值Y(s)之差，即（3-52）控制工程基础3.5.1偏差、误差、稳态误差的定义即式（3-55）表明，对于单位反馈系统，误差和偏差是相等的。对于非单位反馈系统，误差不等于偏差。但由于偏差和误差之间具有确定性的关系，故往往也把偏差作为误差的度量。稳态误差控制工程基础（3-56）3.5.1偏差、误差、稳态误差的定义（1）系统的开环传递函数的类型系统的开环传递函数，可写成下面形式：（2）输入函数的型式输入函数X(s)的类型,常常采用下面几种输入函数，即阶跃函数：斜坡函数：加速度函数：按（3-57）式，代入不同的开环传递函数G(s)H(s)与不同的输入函数X(s)，就可以求得系统的稳态误差。控制工程基础（1）静态误差系数3.5.2稳态误差分析与计算控制工程基础（3-56）（3-57）1）静态位置误差系数Kp系统对阶跃输入X(s)=R/s的稳态误差称为位置误差，即静态位置误差系数Kp定义为（3-59）控制工程基础（1）静