第2章2.1,2.2地图的数学基础1

第二章地图的数学基础本章教学基本内容地图的控制网、坐标系地图投影的定义、分类地图常见的投影及应用地图投影的判别、选择、变换地图比例尺、、定向、分幅与编码1、地球的自然表面

为了了解地球的形状，让我们由远及近，地观察一下地球的自然表面。§2.1地球椭球体与大地控制2.1.1地球椭球体浩瀚宇宙之中:

地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。事实是：

地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。2、大地水准面与大地体

当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。

在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。

大地水准面的意义：1）地球形体的一级逼近 对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。2）起伏波动在制图学中可忽略：

对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。3）重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。3、椭球体、正球体、参考椭球体在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。

它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。

椭球体

三要素:

长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和椭球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f对

a，b，f

的具体测定就是近代大地测量的一项重要工作。

对地球形状a，b，f

测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。

通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三

级逼近。

由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。

地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。2.1.2大地控制

一、地理坐标与大地坐标系1、地理坐标系

——用经纬度表示地面点位的球面坐标。①天文经纬度②大地经纬度③地心经纬度①

天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。天文经度λ：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度φ：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。②

大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l

、大地纬度

和大地高h

表示。大地经度

B：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度L：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。③

地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l

，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y

。

在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。地心坐标系与参心坐标系的区别原点定义以地球质心（总地球椭球体中心）为原点的坐标系以参考椭球体中心为原点的坐标系椭球定位总地球椭球体中心与地球质心重合总地球椭球面与全球大地水准面差距的平方和最小参考椭球体中心与地球质心不重合参考椭球面与区域大地水准面差距的平方和最小椭球定向椭球短轴与地球自转轴重合椭球短轴与地球自转轴平行适用范围全球测图区域（国家）测图实例WGS84坐标系、2000国家大地坐标系,天文地理坐标系1954年北京坐标系、1980西安坐标系2、中国的大地坐标系统1）80西安坐标系

80西安坐标系选用1975年国际大地测量协会推荐的参考椭球：ICA-75椭球参数

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.2572）2000国家大地坐标系（地心）

2008年3月，由国土资源部正式上报国务院《关于中国采用2000国家大地坐标系的请示》，并于2008年4月获得国务院批准。自2008年7月1日起，中国将全面启用2000国家大地坐标系

采用的地球椭球参数如下：

长半轴a＝6378137m扁率f＝1/298.257222101地心引力常数GM＝3.986004418×1014m3s-2自转角速度ω＝7.292l15×10-5rads-1

二、高程系中国56年黄海高程系高程起算面是黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推

算，称为56年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》命名为85高程基准，高程原点也是青岛观象山设立的水准原点。

青岛观象山水准原点三、大地控制网平面控制网

:按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。

由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。等级边长分布密度分布方向一等三角锁20~25km锁与锁间距200km沿经纬线分布二等三角网13km150km2有一控制点（1：10万，1：5万》3点）在一等加密三等三角网8km50km2有一控制点（1：5万2~3点）在二等加密四等三角网4km20km2有一控制点（1：1万~2点）在三等加密

高程控制网

:

按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。2.1.3地球椭球体的基本公式一、子午面曲率半径，卯酉圈曲率半径，平均曲率半径和纬圈半径

过椭球表面上任一A点作法线AL通过法线的平面所截成的截面叫做法截面。

过A点的法线AL同时又通过椭球体旋转轴PP的法截面称子午圈截面。

子午圈曲率半径M（所有截面曲率半径最小值） M=a（1-e2）/（1-e2

sin2φ）3/2

垂直于子午面胡截面称卯酉面，卯酉圈曲率半径N（所有截面曲率半径最大值）N=a/（1-e2

sin2φ）1/2

纬度圈半径rr=Ncosφ=acosφ/（1-e2

sin2φ）1/2二、地球的球体半径

等面积球体半径R=6371116m

等体积球体半径R=6371110m三、子午线弧长和纬线弧长

纬线弧长：令φA=0，φB=φ则可得到赤道到纬度为φ的纬线间子午线弧长S：其中:如图有无穷小梯形ABCD，其边长是子午圈和平行圈的弧长：AB=CD=M

dφBC≈AD=rdλ四、地球椭球体表面上的梯形面积计算§2.2地图投影的概述2.2.1、地图投影的科学概念

1、地图投影的基本概念指使地图上各种地理要素与相应的地面景物之间保持一定对应关系的数学基础。包括：经纬网、坐标网、大地控制点、比例尺等。解决两个矛盾：

球面与平面之间的矛盾

大与小的矛盾

沿经线直接展开?沿纬线直接展开?沿经线直接展开?

可见,地球椭球面是不可展开的面.无论如何展开都会产生褶皱,拉伸或断裂等无规律变形,无法绘制科学,准确的地图.因此解决球面与平面之间的矛盾——

将地球椭球面上的点转换成平面上的点。大与小的矛盾——地图投影比例尺地图投影定义：研究解决把地球椭球面上的经纬网按照一定的数学法则转绘到平面上的方法及其变形的科学问题。2、投影方式

1）平行投影平行投影

2）透视投影

透视投影3）广义投影广义投影3、地图投影实质

建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表示）之间的函数关系，用数学式表达这种关系，就是：

2.2.2变形椭圆

一、投影变形的概念

1、投影变形产生原因——地球的形状图4-82、投影变形的概念

地图投影不能保持平面与球面之间在长度（距离）、角度（形状）、面积等方面完全不变。地球仪上经纬线网格和地图上比较:

几种不同投影的经纬线形状球面经纬网经过投影之后，其几何特征受到扭曲——地图投影变形：长度（距离）、角度（形状）、面积。二、变形椭圆

取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。为经线长度比为纬线长度比代入：X2+Y2=1，得微小圆→变形椭圆

该方程证明:地球面上的微小圆，投影后通常会变为椭圆，即

以O'为原点，以相交成q角的两共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的坐标

长轴方向（极大值）a

短轴方向（极小值）b经线方向m

；纬线方向n据阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b主方向特殊方向通过变形椭圆形状显示变形特征结论：微分椭圆长、短半轴的大小，等于该点主方向的长度比。也就是说，如果一点上主方向的长度比（极值长度比）已经确定，则微分椭圆的大小和形状即可确定。通过变形椭圆显示变形特征2.2.3投影变形的性质和大小

1、长度比和长度变形：

投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。

m表示长度比，Vm表示长度变形

长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。=0不变>0变大<0变小2、面积比和面积变形

投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。

P

表示面积比

Vp

表示面积变形

P=a·b=m

·

n(=90)（主方向和经向纬向一致）

P=m

·

n

·sin(

≠90)（阿波隆尼定理）

面积比是变量，随位置的不同而变化。=0不变>0变大<0变小

3、角度变形

投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。

最大角度变形可用极值长度比a,b表示长度变形是各种变形的基础！2.2.3投影的分类

一、按地图投影的变形性质分类

1、等角投影:

投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或a=b，m=n）。

微分圆——正圆a=b不同点上长度比大小不同a=b=m=nP=ab=mn等角投影面积变形大，角度不变。适用于交通图，洋流图，风向图等

2.2.3投影的分类

2、等积投影:

投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即面积变形为零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。面状地物轮廓投影后面积不变。

ab=1长轴越长——短轴越短

在等积投影上以破坏图形的相似性来保持面积上的相等。因此，角度变形最大。

适用于面积精度较高的自然地图和社会经济地图。Aitoffequalareamapprojection爱托夫等积投影Equal-AreaCylindricalProjection等积圆柱投影

3、任意投影:

投影图上，长度、面积和角度都有变形，它既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任意投影（m=1）。

适用于对面积精度和角度精度没有什么特殊要求的，或对面积变形和角度变形都不希望太大的用户，一般用于参考图和中小学教学用图。EquidistantAzimuthalProjection等距方位投影

二、

按地图投影的构成方法分类

1、几何投影

源于透视几何学原理，以几何特征为依据，将椭球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面。1)方位投影:

以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

根据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴投影，横轴投影，斜轴投影:

正轴方位投影，投影面与地轴相垂直；横轴方位投影，投影面与地轴相平行；斜轴方位投影，投影面与地轴斜交。正轴方位投影正轴方位投影变形特点：①等变形线与纬圈一致；②在切方位投影中，切点上无变形，随着远离切点，变形增大；③在割方位投影中，在所割小圆上，角度变形与“切”的情况一样，其他变形（长度变形与面积变形）则自所割小圆向内与向外增大。

2）圆柱投影:

以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。

正轴：圆柱轴与地轴重合；横轴：圆柱轴与地轴垂直；斜轴：圆柱轴与地轴斜交；

正轴圆柱投影TransverseMercatorProjection通用墨卡托横轴圆柱投影正轴圆柱投影变形特点：

①变形随纬度变化，与经差无关；

②在切圆柱投影中，赤道无变形，变形自赤道向两侧随纬度的增加而增大；

③在割圆柱投影中，在两条标准纬线上无变形，变形自标准纬线向内和向外增大。

适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。

3）圆锥投影:

以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

正轴：圆锥轴与地轴重合；横轴：圆锥轴与地轴垂直；斜轴：圆锥轴与地轴斜交；圆锥投影正轴圆锥投影变形特点: