数值分析线性方程组迭代法

4.1Jacobi迭代法

4.2Gauss-Seidel迭代法

4.3SOR（逐次超松弛迭代法）

4.4迭代法的收敛性Ch4解线性方程组的迭代法

直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适，但是对很多实际问题，往往要我们求解很大型的矩阵，而且这些矩阵含有大量的0元素。对于这类大型稀疏矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此，我们有必要引入一类新的方法：迭代法.

对方程组做等价变换如：令，则我们可以构造序列若同时：所以，序列收敛与初值的选取无关定义（收敛矩阵）称B为收敛矩阵.定理：即：矩阵B为收敛矩阵当且仅当B的谱半径<1由知，若有某种范数则迭代收敛.4.1Jacobi迭代法格式很简单：4.2Gauss－Seidel

迭代法在Jacobi迭代中，使用最新计算出的分量值,即

迭代矩阵记A=-L-UD易知，Jacobi迭代有

迭代矩阵JacobiiterationGauss-Seideliteration计算x(k+1)时需要x(k)的所有分量，因此需开两组存储单元分别存放x(k)和x(k+1)计算xi(k+1)时只需要x(k)的i+1~n个分量，因此x(k+1)的前i个分量可存贮在x(k)的前i个分量所占的存储单元，无需开两组存储单元.迭代公式:例用Gauss-seidel迭代法解方程组Ax=b计算结果:4.3逐次超松弛迭代法(SOR)记则可以看作在前一步上加一个修正量。若在修正量前乘以一个因子，有对Gauss－Seidel迭代格式整理得引入松弛因子写成分量形式，有迭代矩阵

SOR方法收敛的快慢与松弛因子的选择有密切关系.但是如何选取最佳松弛因子,即选取=*,使(B)达到最小,是一个尚未很好解决的问题.实际上可采用试算的方法来确定较好的松弛因子.经验上可取1.4<<1.6.4.4迭代法的收敛性定义

设有矩阵序列及，如果则称收敛于，记为一些关于收敛的定义及定理定理定理设，则其中为的谱半径。定理(迭代法基本定理）设有方程组对于任意初始向量及任意，解此方程组的迭代法收敛的充要条件是定义称为迭代法的收敛速度.定理(迭代法收敛的充分条件)如果方程组的迭代公式为，且迭代矩阵的某一种范数，则

1）迭代法收敛，即对任取，有

2）

3）实际计算中,通常利用作为控制迭代的终止条件.不过要注意,当时,较大,尽管已非常小,但误差向量的模可能很大,迭代法收敛将是缓慢的.特别的,Jacobi迭代法收敛G-S迭代法收敛SOR迭代法收敛

定理

若SOR方法收敛,则0<<2.

证设SOR方法收敛,则(B)<1,所以

|det(B)|=|12…n|<1而

det(B)=det[(D-L)-1((1-)D+U)]

=det[(E-D-1L)-1]det[(1-)E+D-1U)]

=(1-)n于是

|1-|<1,或0<<2

定理

设A是对称正定矩阵,0<<2时,则解方程组

Ax=b的SOR方法收敛.

注意的问题（2）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性没有必然的联系：即当Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。（1）Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵不同：BJ=D-1(L+U),BG-S=(D-L)-1U用Jacobi迭代法求解不收敛，但用G-S法收敛。用Jacobi迭代法求解收敛，但用G-S法不收敛。BJ的特征值为0，0，0，而BG－S的特征值为

0，2，2系数矩阵A是正定矩阵，因此用Gauss-Seidel法收敛不是正定矩阵，因此用

Jacobi迭代法不收敛A是有正对角元的n阶对称矩阵本章小结1.掌握基本的迭代法:Jacobi