第5讲曲线曲面造型基础-1

5.1．曲线曲面造型概述

5.1.1曲线曲面造型研究内容

5.1.2曲线曲面造型发展历程5.2．曲线曲面表示方法5.2.1曲线曲面的基本概念5.2.2曲线曲面的解析表达5.2.3曲线曲面的参数化表达5.3．Bezier曲线5.3.1Bezier曲线表示方法5.3.2三次Bezier曲线计算与绘制5.3.3Bezier曲线基本性质5.3.4Bezier曲线拼接5.3.5任意阶次Bezier曲线（选学）第5讲曲线曲面造型基础——

曲线曲面概述及Bezier曲线1．掌握曲线曲面基本概念2．熟练掌握CAD系统中Bezier曲线表示方法本章目的5.1.1．曲线曲面研究内容工业产品的表面形状大致可分为两类：第一类：仅由初等解析曲面(例如平面、柱面、锥面、球面、环面等)组成，大多数机械零件属于此类，可用机械制图的方法完全清楚表达和传递所包含的全部形状信息。5.1．曲线曲面造型概述第二类：是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，例如飞机、汽车、船舶的外形零件。这一类形状单纯用画法几何与机械制图是不能表达清楚的，成为工程师们首要解决的问题。人们一直在寻求用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状。曲面造型(SurfaceModeling)是计算机辅助几何设计(ComputerAidedGeometricDesign,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究：曲线曲面的数学表示工程中曲线曲面的设计方法曲线曲面的显示技术曲线曲面的品质分析代数解析曲面适合构造简单曲面，但曲面方程表达受坐标变换影响，不适合构造自由曲面；不同类型曲面拼接光滑连续难以保证；不同曲面求交公式不一，程序实现量大；工程设计交互性差，不能满足复杂曲面工程设计的要求。CAD系统中除简单代数曲面外，必须具有强大的自由曲线和曲面造型能力。自由曲线和曲面因不能由画法几何与机械制图方法表达清楚，成为工程师们首要解决的问题。人们寻求用数学方法唯一定义自由曲线和曲面的形状。5.1.2．曲线曲面造型发展历程曲面造型起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过四十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(RationalB-splineSurface)为基础的参数化特征设计和隐式代数曲面(ImplicitAlgebraicSurface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。

早期数学上曲线常以代数多项式表达为主（Polynomialequations），如：为多项式系数，没有明显的几何意义。因此传统的数学表示方法控制几何形状不直观，不易用于工程设计。早在1963年，美国波音飞机公司的佛格森（Ferguson）引入参数三次曲线，将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片。1964年，MIT孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一张曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。

Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）Ni+3，3（u）Ni，3（u）u10101010101010titi＋3ti＋1ti＋2ti＋4ti＋5ti＋6ti＋71975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。80年代后期，皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法，并已成为当前曲线和曲面造型的主流行技术。非均匀有理B样条（NURBS）成为当前大多数商用CAD软件系统的内部表达技术。SolidEdge

CATIAUGNXPro/EInventor插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等(Interpolation)。逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线(Approximation)。拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting）。InterpolationApproximation插值(interpolation)逼近(Approximation)5.2.1、曲线曲面基本概念5.2曲线曲面的表示方法曲线：活动标架、弧长、位置矢、切矢、主法矢、副法矢、曲率、挠率、法平面、密切面、从切面。曲面：法矢、切平面、法曲率高斯曲率、主曲率平均曲率等。5.2.2．曲线曲面的解析表达在高等数学中，解析曲面表示有显式和隐式之分：显式表示：如曲面方程z=f(x，y)，式中每个z值对应唯一的x、y值，如图所示。该表示计算非常方便，但无法描述多值或封闭面（如椭球）。隐式表示：如曲面f(x,y，z)=0，该表示不便于由已知参量x，y计算z值，但能表达多值于封闭曲面。如图所示。

曲线参数表达：空间曲线上一点p的坐标被表示成参数u的函数：

x=x(u),y=y(u),z=z(u)

合起来，曲线被表示为参数u的矢函数：

P(u)=[xyz]=[x(u)y(u)z(u)]

例如：由端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：

P(t)=P1+(P2-P1)uu∈[0,1]5.2.3．曲线曲面的参数表达三维空间曲面通常表示成双参数u和v的矢函数：

P(u,v)=[XYZ]=[x(u,v)y(u,v)z(u,v)]参数区间u1≤u≤u2、v1≤v≤v2所表示的参数平面上为一个矩形基本概念：切矢、法矢、切平面、法曲率、主方向、高斯曲率、平均曲率曲面参数表示XYZ曲面参数空间曲面三维欧氏空间曲面切矢及法矢切平面及法曲率参数表达形式的优点：易满足几何不变性要求，可对参数方程直接进行几何变换，计算效率高几何不变性：曲线曲面表示的几何不变性是指它们不依赖于坐标系的选 择或者说在旋转和平移等图形变换下不变的性质。有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。一条二维三次曲线的显式表示为：（4个系数控制曲线形状）而二维三次曲线的参数表达式为：（8个系数控制曲线形状）易于规定曲线、曲面的范围。易于处理多值问题和斜率无穷大的情形。易于计算曲线、曲面上的点。而隐式方程需求解非线性或超越方程，另外，求导、等距的计算也被简化；参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。定义：给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则定义的n次Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：

其中:1）参数取值范围【0，1】，或称参数区间；

2）Pi构成该Bezier曲线的特征多边形（控制多边形）；

3）Bi,n(u)是n次Bernstein基函数，也称调和函数。5.3.1．Bezier曲线表示方法5.3．Bezier曲线5.3.2、三次Bezier曲线计算与绘制由P0、P1、P2、P3四个控制点定义的3次Bezier曲线，其基函数为：上式分别展开为：三次Bezier基函数曲线图示由此，所定义的3次Bezier曲线则进一步表示为：P0P1P2P3P(0.5)uu＝0u＝1u＝0.5Bezier曲线参数空间到欧式空间的映射关系三次Bezier曲线计算及绘图方法在参数空间t∈[0,1]进行均匀插值，计算对应的坐标点，然后连接成线，这条线就是折线逼近的Bezier曲线。P0P1P2P3P(0.5)想一想：根据第2讲的内容，怎样绘制复杂曲线？？三次Bezier曲线计算及绘图方法编程实现也可写成矩阵表达式，表达更通用，更易编程。式中若求PX（t）的值，则取Pi的x坐标进行计算，同理求Py（t）、Pz（t）的值，具体如下：Px（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0xP1xP2xP3x]TPy（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0yP1yP2yP3y]TPz（t）＝[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0zP1zP2zP3z]T

注意：上式基函数的计算仅需一次，不必三次。P0P1P2P3P(0.5)例：利用上面的计算方法可分别求出t＝0.0,0.1,0.2,……,0.9,1.0时曲线上的点，依次连接相邻两点为直线段，即可绘出近似的曲线图形。特征控制点对Bezier曲线的影响A）改变控制点的影响B）多重控制点的影响C）构造封闭曲线D）构造光滑封闭曲线三次Bezier曲线演示演示软件：VCAD1）几何变换不变性

即对其曲线进行平移、旋转等图形变换不改变曲线形状5.3.3、Bezier曲线性质（以三次Bezier曲线为例）2）端点插值性质

曲线过控制顶点的首末顶点。将u＝0和1分别代入表达式P(u)中可知P(0)=P0,P(1)=P3。3）端点切矢性质曲线在首末两点相切于多边形的起、止边。对三次Bezier曲线求一阶导数:

5.凸包性：即曲线不会越出特征多边形的顶点所围成的凸包

4）对称性：将控制顶点反序仍可得到同样形状的曲线。Q0Q1Q2Q3Q0Q1Q2Q36.定比分割特性：后面详细介绍

6）Bezier曲线的分割特性与几何作图方法Bezier曲线具有可分割特性。例如，给定三次Bezier曲线（参数域t[0,1]）上t＝1/3的点，把定义域分成长度为1/3:(1-1/3)的两段：Bezier曲线分割特性1）依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分割点就是第一级递推生成的中间顶点P01、P11、P21；2）对这些中间顶点构成的多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点P02、P12

；3）重复进行下去，直到第3级递推得到一个中间顶点P03，即为所求曲线上的点P（t＝1/3）。其过程如下图所示。

Bezier曲线分割特性图示上述分割特性隐含说明：任一三次Bezier曲线均可被分割为两段三次Bezier曲线。第一段由P0、P01、P02、P03确定，参数空间为[0,1/3];第二段由P03、P12、P21、P3确定，参数空间为[1/3,1],分割后曲线形状不变。

上述Bezier曲线分割特性可用如下Bezier曲线的递推公式进行计算：Bezier曲线的递推计算上述公式表明Bezier曲线的计算可由线性递推计算得出，即高次计算可转化为线性计算，有利于提高计算速度。三次Bezier曲线分割特性的动画演示：

5.3.4、Bezier曲线拼接工程实际中不可能用一条Bezier曲线拟合出复杂的曲线，但可采用分段Bezier曲线拼接成复杂曲线。工程应用中，希望各段曲线在连接处光滑。函数连续性：利用函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，这类光滑度称之为Cn

或n阶参数连续性（也称函数连续性）。思考提问：1）参数化表达曲线，一阶函数连续曲线一定光滑吗??2）参数化表达曲线，光滑一定要至少满足一阶函数连续吗??几何连续性组合曲线在连接处满足不同于Cn的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为Gn。G0几何连续性，与C0参数连续性的定义相同

G1几何连续性，一阶导数在邻接点处成比例

G2几何连续性，相邻曲线段在邻接点处一阶导数成比例，且曲率相等曲线p(t)和q(t)端点相同，在端点处切矢量的方向也相同，但切矢量的模长不同则形状不同。下图所示，二条曲线p(t)和q(t)，参数t[0,1]。若要求结合处达到G0

连续（或C0连续），则两曲线在结合处位置连续，即：

p(1)=q(0)p(1)q(0)参数曲线G0

连续几何意义：理论上G0

连续与C0连续是等价的，上图中也可清楚说明。图（a）图（b）可见，当＝1时，G1连续与C1连续完全一致。若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢，如下图所示：Q'

(0)P'

(1)P'(1)Q'(0)参数曲线G1

连续几何意义：G1连续条件可用下式表达：图（a）图（b）若要求在结合处达到G2连续，则两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下，需有公共的曲率矢，于是：由公共曲率矢得Q”(0)、P”(1)和P’(1)

必须共面，即：即Q”(0)在P”(1)和P’(1)确定的平面内，为任意常数。当＝1，＝0，G2时连续就成为C2连续。以弧长作参数，C1连续保证G2连续，但反过来不行。也就是说Cn连续条件比Gn连续条件更苛刻。参数曲线G2

连续几何意义（选学）将代入左式得：两段三次Bezier曲线一阶几何连续拼接条件：下图为两段三次Bezier曲线一阶几何连续拼接：Q1’由图中可看出，Q1’的移动只要满足共线要求即可满足二曲线的切矢光滑拼接（即一阶几何连续），而不需满足P’（1）＝Q’（0）（即一阶导数连续）。也就是说一阶几何连续比一阶导数连续限制更宽松，也能满足光滑连续的工程要求，这是参数表达的优势之一。回答前面第2问：参数化表达曲线，光滑一定要至少满足一阶函数连续吗??5.3.5任意阶次Bezier曲线（选学）定义：给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则定义的n次Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：

t

[0,1]N次Bernstein基函数图示，即(（1-t）+t）)n的展开曲线如下：0次基函数曲线1次基函数曲线2次基函数曲线3次基函数曲线Bernstein基函数的性质：1）正性:2）端点性质:3）权性:本质上n次伯恩斯坦（Bernstein）基函数就是二项式[t+(1-t)]n的展开式。4）对称性5）递推特性：即高次基函数是两个低1次调和函数的线性组合，其计算过程表示为：n次Bezier曲线（右图为7次）具有和三次Bezier曲线相同的几何特性。端点性质：曲线过控制顶点的首末顶点，分别令t=0和1可得：切矢与端点切矢：首末两端切矢相切于控制多边形的起止边，即：N次Bezier曲线几何特性:对称性：曲线将控制顶点反序仍可得到同样形状的曲线凸包性质：曲线不会越出特征多边形顶点所围成的凸多边形（由正权性保证）分割特性：与三次Bezier曲线的分割特性类似，该特性本质上是由基函数的递推特性

所决定，利用该特性可进行n次Bezier曲线的几何作图。升阶与降阶：低次Bezier曲线可增加顶点升阶为高次Bezier曲线，曲线形状保持不变，可达到统一曲线阶次目的。设Bezier曲线原控制点为Pi（i=0,1,…,n），新控制点P*i（i=0,1,…,n+1），则升阶公式为：此外，Bezier曲线同样具有几何变换不变性、变差减小性等特性。而降阶是升阶的逆过程。1次Bezier曲线2次Bezier曲线3次Bezier曲线4次Bezier曲线5次Bezier曲线N次Bezier曲线示例：Bezier曲线计算绘图演示一次Bezier曲线二次Bezier曲线三次Bezier曲线任意次Bezier曲线演示（演示软件：VCAD）Bezier曲线不足：Bezier曲线有几点不足：

1）特征多边形顶点数决定了Bezie