高中数学人教A版第一章集合与函数概念 学业分层测评

学业分层测评(一)集合的含义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列对象能构成集合的是()①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员，②所有的钝角三角形，③2023年诺贝尔经济学奖得主，④大于等于0的整数，⑤莘县第一中学所有聪明的学生．A．①②④ B．②⑤C．③④⑤ D．②③④【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．【答案】D2．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边，则△ABC一定不是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.【答案】D3．下面有三个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a∉N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是()A．0个 B．1个C．2个 D．3个【解析】因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以①错；对于②，取a＝eq\r(2)，则－eq\r(2)∉N，eq\r(2)∉N，所以②错；对于③，a＝0，b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错．【答案】A4．下列正确的命题的个数有()①1∈N；②eq\r(2)∈N*；③eq\f(1,2)∈Q；④2＋eq\r(2)∉R；⑤eq\f(4,2)∉Z.A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】∵1是自然数，∴1∈N，故①正确；∵eq\r(2)不是正整数，∴eq\r(2)∉N*，故②不正确；∵eq\f(1,2)是有理数，∴eq\f(1,2)∈Q，故③正确；∵2＋eq\r(2)是实数，∴2＋eq\r(2)∈R，所以④不正确；∵eq\f(4,2)＝2是整数，∴eq\f(4,2)∈Z，故⑤不正确．【答案】B5．给出下列说法，其中正确的个数为()(1)由1，eq\f(3,2)，eq\f(6,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，eq\f(1,2)这些数组成的集合有5个元素；(2)方程(x－3)(x－2)2＝0的解组成的集合有3个元素；(3)由一条边为2，一个内角为30°的等腰三角形组成的集合中含有4个元素．A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任意两个元素都是不同的，而eq\f(3,2)与eq\f(6,4)相同，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))与eq\f(1,2)相同，故这些数组成的集合只有3个元素．(2)不正确．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此写入集合时只有3和2两个元素．(3)正确．若2为底边长，则30°角可以是顶角或底角；若2为腰长，则30°角也可以是顶角或底角，故集合中有4个元素．【答案】B二、填空题6．由m－1,3m，m2－1组成的三元素集合中含有－1，则m的值是________.【导学号：97030003【解析】当m＝0时，三个数分别为－1,0，－1，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当m＝－eq\f(1,3)时，三个数分别为－eq\f(4,3)，－1，－eq\f(8,9)，符合题意，即m只能取－eq\f(1,3).【答案】－eq\f(1,3)7．设集合A是由1，k2为元素组成的集合，则实数k的取值范围是________．【解析】∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的性质可知k2≠1，解得k≠±1.【答案】k≠±18．由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中最多含有________个元素．【解析】由于|t|至少与t和－t中的一个相等，故集合M中至多有4个元素．当t＝－2时，t，－t，t2，t3互不相同，此时集合M中元素最多，为4个．【答案】4三、解答题9．设非空数集A满足以下条件：若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A，且1∉A.(1)若2∈A，你还能求出A中哪些元素？(2)“3∈A”和“4∈A”能否同时成立？【解】(1)若2∈A，则eq\f(1,1－2)＝－1∈A，于是eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)∈A，而eq\f(1,1－\f(1,2))＝2.所以集合A中还有－1，eq\f(1,2)这两个元素．(2)若“3∈A”和“4∈A”能同时成立，则eq\f(1,1－a)＝3且eq\f(1,1－a)＝4，由eq\f(1,1－a)＝3解得a＝eq\f(2,3)，由eq\f(1,1－a)＝4解得a＝eq\f(3,4)，矛盾，所以“3∈A”和“4∈A”不能同时成立．10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【导学号：97030004】【解】∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．[能力提升]1．集合A含有两个元素a－3和2a－1，则实数a【解析】由集合中元素的互异性，可得a－3≠2a－1，所以a≠－2.即实数a的取值范围为a≠【答案】a≠－22．设P、Q是两个数集，P中含有0,2两个元素，Q中含有1,2两个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．【解析】由于a∈P，a＝0或2，b∈Q，b＝1或2，因此a＋b的值为1,2,3,4，共4个．【答案】43．集合A中的元素y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．【解析】依题意A＝{y∈N|y＝－x2＋1}＝{y∈N|y≤1}＝{0,1}．又t∈A，∴t＝0或1.【答案】0或14．若所有形如3a＋eq\r(