第3章随机过程

通信原理PrinciplesofCommunications课件整理：王怀兴QQ：76944908Email：

76944908@TEL3章随机过程通信过程中的信号与噪声都有一定的随机性，需要用随机过程(rondomprocess)来描述。本章主要学习随机过程的分布及数字特征，随机过程的统计特性，随机过程通过线性系统。本章内容随机过程的分布与数字特征平稳、高斯、窄带随机过程的统计特性随机过程通过线性系统正弦波加窄带高斯噪声的统计特性高斯白噪声和带限白噪声3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程1随机过程的定义(Definition)例：n台示波器同时观测并记录噪声源的输出噪声波形，每一台输出记为i(t)。(t)={1(t),2(t),…,n(t)}称为随机过程。1

(t)

2

(t)

3

(t)

4

(t)

5

(t)

6

(t)

随机过程是所有样本函数i(t)的集合；i(t)是随机过程的一次实现，是确定的时间函数;随机过程任意时刻的值是一个是随机变量；是时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程2随机过程的分布函数(Distributionfunction)一维分布函数：一维概率密度函数：二维分布函数：二维概率密度函数：n维分布函数：n维概率密度函数：3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程3随机过程的数字特征(Numeralcharacteristic)※均值(Average)或者数学期望(Mathematicexpectation)

(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。上式中，由于t1是任取的，所以可以把t1

直接写为t，x1改为x。a(t)3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程3随机过程的数字特征(Numeralcharacteristic)※方差(Variance)常记为2(t)，此处把任意时刻t1直接写成了t。

所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均方值均值平方3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程3随机过程的数字特征(Numeralcharacteristic)※相关函数(correlationfunction)

(t1)和

(t2)分别是t1和t2时刻观测到的随机变量。可见，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。※协方差函数(covariancefunction)a(t1)和a(t2)分别是在t1和t2时刻得到的

(t)的均值

f2(x1,x2;t1,t2)为

(t)的二维概率密度函数。3.1随机过程的基本概念(Thebasicconceptsoftherandomprocess)第3章随机过程3随机过程的数字特征(Numeralcharacteristic)※相关函数与协方差函数的关系※互相关函数(t)和(t)为两个随机过程，R(t1,t2)也称自相关函数。3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程1平稳随机过程的定义若随机过程(t)的统计特性与时间起点无关，则称该随机过程是严平稳随机过程。若(t)平稳则有：一维分布函数与时间t无关二维分布函数只与时间间隔=t2–t1有关(1)其均值与t无关，为常数a(2)自相关函数只与有关满足(1)和(2)为广义平稳在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程2各态历经性(Ergodicity)随机过程(t)的数字特征(均值与相关函数)是对(t)所有样本函数的统计平均，但实际很难获得。各态历经含义：各态历经性随机过程任一实现都经历了随机过程所有可能状态，其数字特征完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。各态历经随机过程一定是平稳过程，反之不一定。平稳过程的统计平均等于它任一次实现的时间平均，则为随机过程具有各态历经性。通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程2各态历经性(Ergodicity)【例3-1】随机相位正弦波，A和c为常数，在(0,2π)均匀分布，(t)具有各态历经性？解：(1)先求(t)的统计平均值：※数学期望※自相关函数3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程2各态历经性(Ergodicity)【例3-1】随机相位正弦波，A和c为常数，在(0,2π)均匀分布，(t)具有各态历经性？可见，(t)的数学期望为常数，自相关函数只与时间差有关，所以为广义平稳随机过程。(2)求(t)的时间平均值因此，随机相位余弦波是各态历经的。3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程3平稳过程的自相关函数(self-correlationfunction)平稳过程自相关函数的性质—(t)的平均功率—的偶函数—R()的上界是R(0)—(t)的直流功率2是方差，表示平稳过程(t)的交流功率。--当均值为0时，有R(0)=2

3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程3平稳过程的功率谱密度(

power

spectral

density)对任意确定功率信号f(t)的功率谱密度定义为FT(f)是f(t)的截短函数fT

(t)的频谱函数，如图：把f(t)当作是(t)的一个样本，过程的功率谱密度应看作是对所有样本的功率谱的统计平均，即：3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程3平稳过程的功率谱密度(

power

spectral

density)※功率谱密度的计算平稳随机过程自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换，称为维纳-辛钦关系(Wiener-Khinchine)。(1)过程平均功率(2)各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。(3)功率谱密度P(f)具有非负性和实偶性，即3.2平稳随机过程(stationaryrandomprocess)第3章随机过程3平稳过程的功率谱密度(

power

spectral

density)※功率谱密度的计算[例3-2]

求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。解：[例3-1]已求出(t)为平稳过程，相关函数为相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有3.3高斯随机过程(Gaussianrandomprocess)第3章随机过程1定义如果随机过程(t)的任意n维（n=1,2,...）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式为：|B|jk

：行列式|B|中元素bjk的代数余因子

bjk：为归一化协方差函数3.3高斯随机过程(Gaussianrandomprocess)第3章随机过程2重要性质(

crucialproperties)高斯过程n维分布只依赖各随机变量的均值、方差和归一化协方差，只需研究它的数字特征；广义平稳高斯过程的均值与时间无关，协方差只与时间间隔有关，其n维分布与时间起点无关，故它也是严平稳的。如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。3.3高斯随机过程(Gaussianrandomprocess)第3章随机过程3高斯随机变量(Gaussianrandomvariable)高斯过程在任一时刻的取值是一个正态分布的随机变量(高斯随机变量)，其一维概率密度函数为a－均值，2－方差f(x+a)=f(x-a)关于直线x=a对称a:分布中心，:标准偏差，随减小而变高和变窄。当a=0和

=1时为标准化正态分布

3.3高斯随机过程(Gaussianrandomprocess)第3章随机过程3高斯随机变量(Gaussianrandomvariable)正态分布函数此积分无法用闭合形式计算，通常用查表法求式中称为误差函数，可查表求3.3高斯随机过程(Gaussianrandomprocess)第3章随机过程3高斯随机变量(Gaussianrandomvariable)用Q函数表示正态分布函数：Q函数和erfc函数的关系Q函数和分布函数F(x)的关系3.4平稳随机过程通过线性系统(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章随机过程设线性时不变系统单位冲激响应为h(t)，输入为vi(t)，输出为vo(t)，则设输入i(t)是平稳的随机过程，a为均值，Ri()为自相关函数，Pi()为功率谱密度。1输出o(t)的均值H(0)是线性系统在f=0处的频率响应。3.4平稳随机过程通过线性系统(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章随机过程2输出o(t)的自相关函数输出的自相关函数仅是时间间隔的函数。若线性系统的输入平稳，则输出也平稳。3.4平稳随机过程通过线性系统(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章随机过程3输出o(t)的功率谱密度令

=+-，代入上式，得到※结论：输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方。3.4平稳随机过程通过线性系统(Stationaryrandomprocessthroughthelinearsystem)第3章随机过程4输出o(t)的概率分布如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。设i(t)是高斯型，上式右端每一项都是一个高斯随机变量，则输出o(t)在任一时刻上得到的随机变量是无限个高斯变量之和，则输出为高斯过程。与输入过程相比，输出的数字特征已经改变。3.5窄带随机过程(narrowbandrandomprocess)第3章随机过程若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率fc附近相对窄的频带范围f内，即满足f<<fc的条件，且fc远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。窄带随机过程的谱密度窄带随机过程的样本函数可以看作是包络线缓慢变化的正弦波3.5窄带随机过程(narrowbandrandomprocess)第3章随机过程窄带随机过程的表示式a(t)－随机包络，

(t)－随机相位，c－中心频率a(t)和

(t)相对于载波cosct的变化要缓慢得多。(t)的统计特性由a(t)和

(t)或c(t)和s(t)确定。若(t)统计特性已知，则a(t)和

(t)或c(t)和s(t)的统计特性也随之确定。3.5窄带随机过程(narrowbandrandomprocess)第3章随机过程1c(t)和s(t)的统计特性通常设(t)平稳且均值为零，故E[(t)]=0

，所以※(t)的数学期望※(t)的自相关函数3.5窄带随机过程(narrowbandrandomprocess)第3章随机过程1c(t)和s(t)的统计特性因为(t)是平稳的，故有Rξ(t,t+τ)=Rξ(τ)，这就要求上式的右端与时间t无关，而仅与有关。因此，若令t=0，上式仍应成立，它变为因与时间t无关，以下二式自然成立3.5窄带随机过程(narrowbandrandomprocess)第3章随机过程1c(t)和s(t)的统计特性即令t=0时同理再令t=π/2c时※

E[c(t)]=E[s(t)]=0，Rc(τ)与Rs(τ)只和τ有关。即若窄带过程(t)平稳，则c(t)和s(t)也必然平稳。根据互相关函数的性质，应有与上式相比较有即(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。3.5窄带随机过程(narrowbandrandomprocess)第3章随机过程1c(t)和s(t)的统计特性根据平稳性，过程的特性与变量t无关，故由式因为(t)是高斯过程，则c(t1)，s(t2)一定是高斯随机变量，从而c(t)

、s(t)也是高斯过程。即一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，其c(t)、s(t)也是高斯过程，且均值为零，方差相同；同一个时刻上得到的c(t)和s(t)是统计独立的。3.5窄带随机过程(narrowbandrandomprocess)第3章随机过程2a(t)和(t)的统计特性※联合概率密度函数f(a,)3.5窄带随机过程(narrowbandrandomprocess)第3章随机过程2a(t)和(t)的统计特性※联合概率密度函数f(a,)式中：a0,=(0~2π)※a的一维概率密度函数可见，a服从瑞利(Rayleigh)分布。可见，服从均匀分布。a

与统计独立。3.6正弦波加窄带高斯噪声(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章随机过程1正弦波加窄带高斯噪声的表示n(t)－窄带高斯噪声；－正弦波的随机相位，均匀分布在0～2间；A和c－确知振幅和角频率3.6正弦波加窄带高斯噪声(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章随机过程2正弦波加窄带高斯噪声包络的统计特性利用上一节的结果，如果值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有※zc和zs的联合概率密度函数(相位一定)3.6正弦波加窄带高斯噪声(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章随机过程2正弦波加窄带高斯噪声包络的统计特性※包络的概率密度函数f(z)3.6正弦波加窄带高斯噪声(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章随机过程2正弦波加窄带高斯噪声包络的统计特性可见，f(,z)与无关称为广义瑞利分布，又称莱斯(Rice)分布。式中I0(x)－第一类零阶修正贝塞尔函数。x≥0时，I0(x)是单调上升函数，且I0(0)=03.6正弦波加窄带高斯噪声(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章随机过程2正弦波加窄带高斯噪声包络的统计特性当信号很小(A0)时，Az/n2→0，I0(Az/n2)1，上式的莱斯分布退化为瑞利分布。当(Az/n2)很大时，有上式近似为高斯分布包络的概率密度函数曲线f(z)3.6正弦波加窄带高斯噪声(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章随机过程2正弦波加窄带高斯噪声包络的统计特性3.6正弦波加窄带高斯噪声(Sinewaveplusnarrowbandgaussiannoise)第3章随机过程2正弦波加窄带高斯噪声包络的统计特性相位的概率密度函数曲线f()3.7高斯白噪声和带限白噪声(Gaussianwhitenoiseandband-limitedwhitenoise)第3章随机过程1白噪声n(t)(whitenoise)噪声功率谱密度在所有频率上均为一常数，即双边功率谱密度单边功率谱密度※白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：τ=0时才相关3.7高斯白噪声和带限白噪声(Gaussianwhitenoiseandband-limitedwhitenoise)第3章随机过程由于白噪声带宽无限，其平均功率为无穷大，即因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。实际中，只要噪声功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可视为白噪声。如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，