第二章生物统计基础知识2正态与抽样分布

第二节正态分布与抽样分布1.频率

Frequency

定义

Definition：在大量重复试验中，事件A已发生的次数a占试验总次数的比率。

特点（Characteristics）：一个事件的频率不是常数，但随重复试验或观察次数

n

增加，频率的波动会不断减小，逐步趋于稳定，称为频率的稳定性。一、频率与概率

Frequencyandprobability2.概率

Probability性质

Property1）0≤P（A）≤12）P（A）=1，表明该事件为必然事件；

P（A）=0，表明该事件为不可能事件；

0<P（A）<1，表明该事件为随机事件。

定义

Definition：同一条件下，试验或观察次数n

无限增大，随机事件A

发生的频率a

/n

必然稳定接近某一常数P，P就称为随机事件A的概率。

取值

Evaluation：一般情况下P

的取值不可能准确获得，以n

充分大时事件A

发生的频率α/n

作为

P

的近似值。1）若事件A的概率为P(A)，那么其对立事件B

的概率为：

P（B）=1-P（A）运算法则

Calculationrule2）若事件A和

B

是互斥的，其概率各为P(A)

和P(B)，那么两事件的和事件的概率为：

P（A+B）=P（A）+P（B）3）若事件A

和B是独立的，其概率各为P（A）和P（B），那么两事件同时出现的概率为：

P（A·B）=P（A）·P（B）二、频数与频率分布

Numberandfrequencydistribution1.频数与频率分布在一定条件下，总体或样本中某观察值或某区间（Interval）的观察值所出现的次数。总体或样本中某观察值或某区间的观察值出现的次数在整个区间的分布情况。总体或样本中某观察值或某区间的观察值出现的频率整个区间的分布情况。频数Number

频数分布

Numberdistribution频率分布Frequencydistribution2.统计方法Presentationmethodofdata(1)求出极差（R）(2)确定组数（G）及组距（B）

组数：n≥100时，G：8～15n<100时，G：不少于6组；

n很大时，G：不大于30组。组距：B=R/G

对于连续变量，组距精度与观察值相同；对于非连续变量，组距取整数。(3)确定组限Grouplimit

组限就是每一组的上限（Upperlimit）和下限（Lowerlimit）

。(4)统计频数和频率

通常是采用制作频数（频率）分布表或频数（频率）分布图的方法。例1：有一小麦品种，随机采集100株，量其株高，试说明不同株高的理论分布规律。行号株高行号株高行号株高行号株高行号株高190218341986194811002104229942996210282963103231014393639583944102249344101649384945106259945946597859161062693469366888696783279047946791879681062895488968948885910529102499269104899610993095509870989093119931905110371979110112933291528672100928613102339653957392939714101349854857499949515943590559675889597169636955696769896991797379957957798979518105389358967895989619893995599779949910420964010660918010410096表1100株小麦株高（cm）(1)求出极差：R=106-83=23cm表2100株小麦株高频数与频率分布表(2)确定组数（G）及组距（B）

组数：G=9

组距：B=23/9=2.56cm(3)确定组限第1组：81.5～

84.49

第2组：84.5～

87.49

第3组：87.5～

90.49……(4)统计频数和频率组号组限中值数频数频率%181.5-84.498322284.5-87.498644387.5-90.498988490.5-93.49921414593.5-96.49953030696.5-99.49982020799.5-102.4910110108102.5-105.49104889105.5-108.4910744图1100株小麦的频数分布图2

100株小麦的频率分布三、正态分布Normaldistribution1.概念

Definition1）概念正态分布随机变量的概率密度函数为：式中：——正态分布中的随机变量；

——2.718，是自然对数的底数；

——正态分布总体的平均数，是曲线最高点的横坐标；

——正态分布总体的标准差，其大小表达曲线高低胖瘦程度。概率密度函数

Probabilitydensityfunction

定义：当试验次数无限增加，直方图趋近于光滑曲线，曲线下包围的面积表示概率。该曲线称为概率密度函数。分布函数Distributionfunction设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X≤x}

如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x

处的函数值就表示X落在区间(-∞,x]上的概率。正态分布的密度函数的图形是关于直线x=μ对称的；在x=μ处达到最大值重点了解（1）什么样？（2）两个参数（3）正态分布曲线的解释3）正态分布曲线的特点

Characteristicsofthecurveofnormaldistribution（1）图中μ为总体平均数，σ为总体标准差。当样品数越来越多，处于无穷多时，就构成了以总体平均数为轴的正态分布形式。变数的次数分布规律是以平均数为轴心形成对称的分布规律，变数值越靠近平均数，出现的次数越多，远离平均数值的变数次数越少。落入（）的概率：68.3%；落入（）的概率：95.4%；落入（）的概率：99.7%；落入（）的概率：95%；落入（）的概率：99%。（2）正态分布总体观察值落入以下特殊区间的概率（3）数学家根据有关公式，计算出了正态曲线下不同距离内的面积和概率积分表以备应用。

P336附表2正态分布表（4）t

检验、方差分析等，采用的0.05、0.01显著性判断，其原理就是来源于此。正态分布的应用例2测得一小麦品种的株高为120cm，试问这个小麦品种株高和例1所选样品小麦株高有无本质差异？例1小麦品种平均株高为95.9cm,标准差为5.2cm，用正态曲线概率分布判断：x±2*5.2cm,即株高在90.7-101.1cm范围内的概率占95.5%，x±3*5.2cm，即株高80.3-111.5cm范围内的概率占99.74%。而这一小麦品种株高为120cm，显然不在其范围内。说明二者有极显著的差异，这种判断有99.74%以上的把握性，判错的可能性只有0.26%。4）正态分布标准化为了便于计算概率和一般化应用，将正态分布标准化。令：且以为度量单位，则概率密度函数可被标准化为：

式中叫做标准正态离差、正态离差或概率度。任何正态分布都可以根据以上变换转化为标准正态分布。

u 0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08-3.0

0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010-2.5 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049-2.0 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188-1.9 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239-1.6 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465-1.0 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401-0.5 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810

0 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681标准正态分布曲线下面积(u)0u例：某正态总体的，求落入区间（1.08，1.21）的概率。查附表2：P336（二）小概率事件和小概率原理

在生物统计学中，把概率小于5%的事件，称为小概率事件（Smallprobabilityevent）。

小概率事件在一次试验中几乎是不可能事件，这一规律称为小概率原理（Thesmallprobabilityprinciple）。四、抽样分布Samplingdistribution1.概念

Definition1）抽样

Sampling从总体中抽取个体组成样本进行研究以了解总体特性的过程。抽样分布Samplingdistribution

从总体中独立抽取随机样本的统计数的概率分布，称为抽样分布。统计推断Statisticalpostulation从一个样本或一系列样本所得到的统计数，去推断原总体的参数，称为统计推断。（1）样本均值抽样分布的均值等于总体均值几个重要的结论：（2）样本均值抽样分布的方差等于原总体方差与样本容量之比样本的平均数所构成的新总体的标准差──均数标准差:五、置信限与置信区间1.概念置信区间

Confidenceinterval

在一定概率保证下，误差的合理存在范围或区间称为置信区间或置信距。区间的上下限称为置信限。置信概率

Confidencelevel

保证误差合理存在范围的概率，称为置信概率、置信度。用P表示。否定区间Negationinterval

不属于合理误差的范围或区间，称为否定区间。否定概率

Negationprobability

不合理误差存在范围或区间的概率，称为否定概率，或显著性水平。用α表示。2.置信限和