第17讲 平面电磁波(I)

电磁场与电磁波Field

and

Wave

Electromagnetics主讲：史琰Review2023/2/3shiyan@2时变电磁场，法拉第电磁感应定律及其推广形式；位移电流；Maxwell方程组；时变电磁场的边界条件；坡印廷定理、坡印廷矢量、电磁场的能量密度和能量；正弦电磁场及其复数表示；电磁场的波动方程；时变场的位函数、达朗贝尔方程、亥姆霍兹方程。基本要求时变电磁场这一章是后续电磁波内容的基础，应熟练掌握教学内容。重点、难点重点：本章教学内容难点：坡印廷定理、坡印廷矢量、电磁场的能量密度和能量第17讲平面电磁波(I)2023/2/3shiyan@3平面电磁波无耗无源介质中的均匀平面波均匀平面波的传播特性均匀平面波的基本参数均匀平面电磁波的能量传播向任意方向传播的均匀平面波导电介质中的平面电磁波平面电磁波2023/2/3shiyan@4电磁波是自然界波动现象的一种，具有波动的一般规律，更具有其特殊的性质；电磁波根据其空间等相位面的形状分三类：平面电磁波柱面电磁波球面电磁波平面电磁波是指电磁波场矢量的等相位面是与电磁波传播方向垂直的无限大平面。矢量波动方程的一个特解；理想平面电磁波只有无限大波源才能激励，严格的讲，这样的电磁波是不存在的。平面波是所有电磁波的远场特性，即它是柱面波和球面波的极限。平面电磁波2023/2/3shiyan@5物理背景远离波源的场点，空间曲面很小的一部分就十分接近平面，这样的范围内，波的传播特性近似为平面波。均匀平面电磁波等相位面无限大平面，且其上各点的场强大小相等、方向相同；即沿某一方向传播的平面电磁波的场量除随时间变化外只与波传播方向的坐标有关，而与其它坐标无关。平面电磁波的一种，最简单的电磁波。数学背景电磁波均可分解成许多均匀平面电磁波；均匀平面电磁波是麦克斯韦方程组最简单的解；均匀平面电磁波是许多实际波动方程的近似解。无耗无源介质中的均匀平面波2023/2/3shiyan@6考虑媒质均匀、线性、各向同性的无源区域(J=0,ρ=0)且σ=0的情况，这时麦克斯韦方程变为无耗无源介质中的均匀平面波2023/2/3shiyan@7无源无界空间充满无耗的简单介质，其场满足：无耗无源介质中的均匀平面波2023/2/3shiyan@8直角坐标系中，假设均匀平面电磁波沿z轴方向传播由均匀平面电磁波定义知，场矢量在XOY面是常数不变化：即电场强度E和磁场强度H只是直角坐标z和时间t的函数空间无外加场源，所以无耗无源介质中的均匀平面波2023/2/3shiyan@9若t=0时，电磁场为零，那么c(t)=0，从而Ez(z,t)=0,Hz(z,t)=0。因此均匀平面电磁波的电、磁场强度矢量为：根据波动方程的推导可知，只要用波动方程求出了电场强度就可以利用麦克斯韦方程组直接得出磁场强度。矢量波动方程对应三个形式完全一样的标量波动方程；由叠加原理知可以分别对三个分量进行讨论。无耗无源介质中的均匀平面波2023/2/3shiyan@10以Ex(z,t)为例讨论波动方程：此方程的通解为f1，f2是任意二次连续可微函数f1,f2是该波动方程的两个特解，它们构成了方程的通解定解条件下方程的解具有确定形式，称之为达朗贝尔公式无耗无源介质中的均匀平面波f1(z-vt)是以速度v向+z方向传播的波f2(z+vt)是以速度v向-z方向传播的波2023/2/3shiyan@11特解f1的物理意义对于特定的时刻t1，f1是z的函数对于特定的时刻t2，f1仍是z的函数无耗无源介质中的均匀平面波+z方向传播2023/2/3shiyan@12无界媒质中，一般没有反射波，只有单一行进方向的波。假设均匀平面电磁波沿+z方向传播，且电场强度只有Ex(z,t)分量波动方程式的解为由麦克斯韦方程组：无耗无源介质中的均匀平面波2023/2/3shiyan@13沿+z方向传播的均匀平面电磁波的电场强度和磁场强度：均匀平面电磁波的电场强度矢量和磁场强度矢量均与传播方向垂直，没有传播方向的分量；对于传播方向而言，电磁波只有横向分量，没有纵向分量；称为横电磁波简称TEM波(TransverseElectro-MagneticWave)TEM波的电场强度、磁场强度和能量传播方向构成右手螺旋正交关系。无耗无源介质中的均匀平面波2023/2/3shiyan@14正弦电磁场的均匀平面波在无源、无界且无耗的简单介质中传播，假设沿z方向传播，电场强度只有x方向的坐标分量Ex(z)，则波动方程为：其解由麦克斯韦方程求解磁场强度无耗无源介质中的均匀平面波2023/2/3shiyan@15磁场强度η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)η与媒质参数有关，称为媒质的波阻抗(或本征阻抗)

真空中的波阻抗为均匀平面波的传播特性2023/2/3shiyan@16沿+z方向传播的均匀平面电磁波，电场强度只有x分量，正弦均匀平面电磁波的复场量可以表示为：由于媒质无耗，波阻抗η为实数瞬时值表达式：均匀平面波的传播特性2023/2/3shiyan@17Eo=Eomejφo是z=0处的复振幅Eom表示电场强度的振幅值，是实常数ωt称为时间相位

kz为空间相位正弦均匀平面电磁波的电场和磁场在空间上互相垂直由于媒质无耗，因此电场和磁场在时间上同相电场和磁场振幅之比取决于介质的介电常数和磁导率，也即波阻抗均匀平面波的传播特性2023/2/3shiyan@18均匀平面波的基本参数2023/2/3shiyan@19正弦均匀平面电磁波的等相位面方程等相位面行进的速度称为相速：在空间相位kz变化2π所经过的距离称为波长，以λ表示在自由空间中均匀平面波的基本参数2023/2/3shiyan@20在相位2π中所包含的波长λ的个数称为波数：空间相位kz变化2π相当于一个全波k也称为电磁波的相位常数，它表示传播方向上波行进单位距离时相位变化的大小。时间相位变化2π所经历的时间称为周期，以T表示:一秒内相位变化2π的次数称为频率，以f

表示；电磁波的频率描述的是相位随时间变化的特性电磁波的波长描述的是相位随空间变化的特性均匀平面电磁波的能量传播2023/2/3shiyan@21均匀平面电磁波的复坡印亭矢量坡印亭矢量的时间平均值平均功率密度为常数，表明与传播方向垂直的所有平面上，每单位面积通过的平均功率都相同，电磁波在传播过程中没有能量损失(沿传播方向电磁波无衰减)。理想媒质中的均匀平面电磁波是等振幅波。均匀平面电磁波的能量传播2023/2/3shiyan@22电场能量密度和磁场能量密度的瞬时值为任一时刻电场能量密度和磁场能量密度相等，各为总电磁能量的一半。均匀平面电磁波的能量传播2023/2/3shiyan@23电磁能量的时间平均值为有电磁波的传播，就有电磁能流，电磁波的能量传播的速度简称能速：均匀平面电磁波的能量传播速度等于其相速在自由空间中向任意方向传播的均匀平面波2023/2/3shiyan@24对于直角坐标系中的无界介质，均匀平面波沿+z方向传播，电场强度只有x方向的坐标分量Ex(z)，正弦均匀平面电磁波的复场量可以表示为：利用矢量恒等式▽×(ΨA)=Ψ▽×A+▽Ψ×A▽·(ΨA)=Ψ▽·A+▽Ψ·A由麦克斯韦方程，可以得到向任意方向传播的均匀平面波2023/2/3shiyan@25由麦克斯韦方程，可以得到因此，沿+z方向传播的平面波复场量表示满足：同理，沿+z’传播的平面波复场量可以表示为：向任意方向传播的均匀平面波2023/2/3shiyan@26全局坐标系为O-XYZ以传播方向z’建立局部坐标系 O-X’Y’Z’直角坐标系中，上式即为沿任 意方向传播的均匀平面波全局坐标系中：向任意方向传播的均匀平面波2023/2/3shiyan@27cosα、cosβ、cosγ是传播方向单位方向矢量在坐标系O－XYZ中的方向余弦任意方向z’传播的平面波相位因子可以改写为：矢量称之为传播矢量(波矢量)波矢量的方向是波传播的方向，大小是波数在不同的坐标系下，相同的矢量会有不同的表示形式向任意方向传播的均匀平面波2023/2/3shiyan@28在全局坐标系下，电磁场矢量可以写成：同理，无耗介质中均匀平面电磁波也可用磁场强度来表示平面电磁波电场、磁场和传播方向矢量相互垂直，满足右手螺旋关系，即大拇指指向波矢量方向，四指从电场旋转到磁场对于，该结论也成立向任意方向传播的均匀平面波例1已知无界理想媒质(ε=9ε0,μ=μ0，σ=0)中正弦匀 平面电磁波的频率f=108Hz，电场强度

试求：(1)均匀平面电磁波的相速度vp、波长λ、相 移常数k和波阻抗η；

(2)电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；

(3)与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过 的平均功率。

[解]（1）相速2023/2/3shiyan@29向任意方向传播的均匀平面波(2)波长波数波阻抗2023/2/3shiyan@30向任意方向传播的均匀平面波（3）复坡印廷矢量：坡印延矢量的时间平均值：与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率：2023/2/3shiyan@31导电介质中的平面电磁波等效复介电常数的引入使得导电介质(有耗介质)中的Maxwell方程组和无耗介质中的Maxwell方程组具有完全相同的形式2023/2/3shiyan@32无源区域导电介质中的麦克斯韦方程组导电介质中的平面电磁波2023/2/3shiyan@33因此，电磁波在导电介质中的传播而言，可以把导电介质等效地看作一种理想介质，其等效介电常数为复数。无源、无界、有耗介质中的波动方程：其中γ2=ω2μεc直角坐标系中，对于沿+z方向传播的均匀平面电磁波，如果假定电场强度只有x分量Ex，那么上式的一个解为导电介质中的平面电磁波2023/2/3shiyan@34令，则电场强度的复振幅以因子e-αz随z的增大而减小α说明每单位距离衰减程度的常数，称为电磁波衰减常数β表示每单位距离落后的相位，称为相位常数称为传播常数。电场强度的瞬时值可以表示为Em、φ0分别表示电场强度的振幅值和初相角，即导电介质中的平面电磁波2023/2/3shiyan@35衰减常数及相位常数导电介质中的平面电磁波2023/2/3shiyan@36由电场强度以及麦克斯韦方程组可知：导电介质中的平面电磁波2023/2/3shiyan@37ηc称为导电媒质的波阻抗导电媒质的本征阻抗是一个复数模小于理想介质的本征阻抗，幅角在0~π/4之间变化，具有感性相角。因此，电场强度和磁场强度在空间上虽然仍互相垂直，但在时间上有相位差，二者不再同相电场强度相位超前磁场强度相位导电介质中的平面电磁波2023/2/3shiyan@38磁场强度可以重写为其瞬时值为显然，磁场强度的相位比电场强度滞后，电导率越大滞后越多，其振幅也随z的增加按指数衰减导电介质中的能量传播2023/2/3shiyan@39导电介质中的电磁场瞬时值导电介质中均匀平面电磁波的相速为导电介质中的能量传播2023/2/3shiyan@40均匀平面电磁波在导电介质中传播时的相速比介电常数和磁导率相同的理想介质中波的相速慢导电介质中均匀平面电磁波的波长比同样介电常数和磁导率介质中波的波长短电导率越大，相速越慢，波长越短频率越低，相速越慢携带信号的电磁波不同频率分量将以不同相速传播，它们的相位关系将在传播过程中发生变化，导致信号失真，这种现象称之为色散导电介质