第十三章 电流与磁场

第13章电流和磁场

在静止电荷周围空间存在静电场；在运动电荷周围，不但存在电场，而且还存在磁场。稳恒电流产生的磁场是不随时间变化的，称为稳恒磁场。磁场和电流之间有什么关系，相互作用如何呢？数理系黄海波编

主要内容13.1电流和电流密度13.2电流的微观模型欧姆定律13.3磁场及起源13.4毕奥－萨伐尔定律13.5磁场的高斯定律13.6安培环路定理及应用§13.1电流和电流密度一、电流current数值：单位时间通过单位垂直面积的电量。方向：正电荷运动的方向单位：1安培=1C/s电流—带电粒子的定向运动。载流子—电子、质子、正负离子、空穴。二、电流强度Uv三、电流密度currentdensity1.电流密度大小：导体中某点的电流密度，数值上等于和该点正电荷定性移动方向垂直的单位面积上的电流强度。方向：该点正电荷定向移动的方向。单位：电流密度的单位是Am-2。电流的空间分布电流密度vDt

=nqDS1）、单一载流子2）、多种载流子3）、金属—自由电子导电漂移速度：热运动的漂移速度为零。的电子数密度：速度dSJS四.电流的连续性方程dSJ由电荷守恒2.电流密度和电流强度的关系§13.2电流的微观模型欧姆定律一、欧姆定律(Ohm’slaw)二、电阻和电导在温度一定的情况下,流过导体的电流I与导体两端的电压U成正比，即:G称为电导，R称为电阻。在国际单位制中,电导的单位：西门子(S),电阻的单位：欧姆()。1S=1-1电阻率电导率四、电流的经典微观模型三、欧姆定律(Ohm’slaw)的微分形式

取长l截面积S的细电流管，根据欧姆定律I=U/R，其中I=jS，U=El，R=l/S，五、稳恒电流和稳恒电场稳恒电流：电流密度仅是空间位置的函数,而与时间t无关。稳恒电场：有电流而保持不随时间改变的电场。稳恒电场和静电场的区别及联系六、电源和电动势——稳恒电流的产生

电源：能提供非静电力的装置。能不断地把其它形式的能转变为电能的一种装置。如：电池、发电机等。电动势ε：定量地描述电源转换能量本领大小的物理量。定义：将单位正电荷绕闭合回路一周，非静电力所作的功。电动势是标量，单位、量纲与电势一样，为方便，规定：自负极经过电源内部到正极的方向为电动势的方向。一、基本的磁现象

从铁屑堆中提出后的棍形永磁体的照片，铁屑主要密集在棍的端部。§13.3磁场及磁场的起源两块磁铁同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引。1820年,丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应INSNSNS问题：磁铁和电流是否在本源上是一致的?十九世纪杰出的法国科学家安培提出了这样一种假说，组成磁铁的最小单元即磁分子就是环形电流。若这样的一些分子环流定向地排列起来，在宏观上就显示出N、S极来。这就是安培分子环流假说。SN1、磁场的起源—分子电流假说INS二、磁场及起源螺线管和磁铁的相似性至今没发现磁单极子静止电荷静止电荷静止电荷之间的作用力——电力运动电荷之间的作用力——电力+磁力运动电荷运动电荷说明1、磁场由运动电荷(或电流)产生;3、磁场有能量、…

电场磁场传递磁相互作用2、磁场对运动电荷(或电流)有力的作用;2、概念在运动电荷（或电流）周围空间存在的一种特殊形式的物质。三、磁感应强度1、引入需要一个既具有大小又有方向的物理量来定量描述磁场。2、洛仑兹力电场力磁场力带电粒子在电场和磁场中所受的力洛仑兹力的方向垂直于运动电荷的速度和磁感应强度所组成的平面，且符合右手螺旋定则。3、磁感应强度的定义为了描述磁场的性质，可据此定义一个矢量函数B，规定它的大小为4、单位特斯拉T;1T=1N/(A.m)=104Gs磁场服从叠加原理*的方向——利用小磁针探测磁场的方向。*的大小——研究运动电荷在磁场中受力。思路:仿照电场的计算1、内容电流元Idl在空间P点产生的磁场B为：§13.4毕奥－萨伐尔定律真空磁导率叠加原理P*运动电荷的磁场2、说明该定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实验直接加以证明。电流元Idl

的方向即为电流的方向。dB的方向由Idl

确定，即用右手螺旋法则确定。3、毕奥－萨伐尔定律应用举例：解题步骤1.根据已知电流的分布选取合适的电流元；2.根据电流的分布与磁场分布的的特点来选取坐标系，其目的是要使数学运算简单；3.按照毕奥－萨伐尔定律写出电流元产生的磁感应强度；4.由叠加原理求磁感应强度的分布，将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，选取合适的积分变量，统一积分变量。例1:长度为L的载流直导线在距离它为a的P点的磁场解：在距点O为l处取电流元Idl，Idl在点P产生B，方向垂直于纸面向里ldlI0arPAB12l=acot()=-acot

，r=acsc

，dl=acsc2

d无限长载流直导线，θ1=0，θ

2=，距离导线a处的磁感应强度为a<<lIBIBX半无限长载流长直导线的磁场解：其磁场方向只有沿x轴的分量而垂直于x轴的分量求和为零。例2：求载流圆线圈在其轴上的磁场。IdlIRO×PB的方向沿着轴线，与分量dBx

的方向一致。

圆电流环，在其轴上一点的磁场，磁场方向与电流满足右手螺旋法则。*两种特殊的情况：轴上无穷远的磁感强度x=0时圆电流环中心磁感强度PIS磁偶极矩IS说明：当载流线圈极小时,就称磁偶极子,故磁矩也称磁偶极矩.与电偶极子的电矩对应.例2中圆电流磁感强度公式也可写成圆形电流磁场与条形磁铁或磁针的行为相似。引入磁矩描述圆形电流或载流平面线圈磁行为。S是圆形电流包围平面面积，指向与电流的方向满足右螺旋关系。I1例3载流直螺线管内部的磁场绕在圆柱面上的螺线形线圈叫做螺线管，下面我们计算它的轴线上的磁场分布。设螺线管半径为R，电流强度为I，每单位长度上有线圈n匝，放在真空中。1

在螺线管上任取一小段dl，这小段上有线圈ndl匝。因为螺线管是密绕的，我们可以把它近似地看成是一系列圆线圈并排起来组成的，每一匝在P点产生的磁感应强度都沿轴线方向向右，长度dl内各匝的总效果就是一匝的ndl倍。应用前面得到的圆线圈轴线上任一点的磁感应强度的结果dBIdl⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙dlldB12PR⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙dlldB12P为了便于积分引入角变量，由图中可看出所以有右手螺旋法则讨论几种特殊情况1.若l>>R，在无限长的螺线管中心处2.在管端口处：–l/2

l/2O

从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在管端口处，磁场等于中心处的一半。一、磁感应线1．磁感应线：用来描述磁场分布的一系列曲线。磁感应线上任一点切线的方向即为磁感应强度的方向；磁感应强度的大小可用磁感应线的疏密程度表示。磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过的磁感应线的数目。§13.5磁场的高斯定律2、几种典型的磁感应线IB载流长直导线圆电流载流长螺线管3、磁感应线特性磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点；磁感应线不相交。二、磁通量2、计算通过任意S面的磁通量Ф，其数学表达式：1、磁通量定义：通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目，定义为磁通量，用Ф表示。3、说明规定单位法线矢量n的方向垂直于曲面向外磁感应线从曲面内穿出时，磁通量为正(θ<π/2,cosθ>0)

磁感应线从曲面出穿入时，磁通量为负(θ>π/2,cosθ<0)穿过曲面通量可直观地理解为穿过该面的磁感应线条数单位：韦伯(wb)1Wb=1T·m2

三、高斯定律1、内容

通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。2、解释由于磁感应线是闭合的，因此对任意一闭合曲面来说，有多少条磁感应线进入闭合曲面，就一定有多少条磁感应线穿出该曲面。磁场是有旋/无散场(非保守场)；电场是有源场，保守场磁极相对出现，不存在磁单极；单独存在正负电荷3、说明S安培(Ampere,1775-1836)法国物理学家，电动力学的创始人。1805年担任法兰西学院的物理教授，1814年参加了法国科学会，1818年担任巴黎大学总督学，1827年被选为英国皇家学会会员。他还是柏林科学院和斯德哥尔摩科学院院士。安培在电磁学方面的贡献卓著，发现了一系列的重要定律、定理，推动了电磁学的迅速发展。1827年他首先推导出了电动力学的基本公式，建立了电动力学的基本理论，成为电动力学的创始人。13-6安培环路定理一、安培环路定理在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B沿任何闭合回路L的线积分，等于穿过这回路的所有电流强度代数和的μ0倍，数学表达式：符号规定：穿过回路L的电流方向与L的环绕方向服从右手关系的I为正，否则为负。安培环路定律对于稳恒电流的任一形状的闭合回路均成立。B的环流与电流分布有关，但路径上磁感应强度B仍是闭合路径内外电流的合贡献。安培环路定理的物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。L1、内容(2)在围绕单根载流导线的垂直平面内的任一回路。(1)在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路。2、证明(3)不围绕单根载流导线，在垂直平面内的任一回路(4)围绕多根载流导线的任一回路设有Ii，i=1,2,…,n，穿过回路L，Ii，I=n+1,n+2,…,n+k不穿过回路L令分别为单根导线产生的磁场所有电流的总场穿过回路的电流任意回路L应用安培环路定律可以求出某些有规则分布的电流的磁感应强度分布。解题步骤如下：1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来确定磁场的分布是否具有对称性；如磁场具有对称性，则可以用安培环路定理来求解；如果不具有对称性，则不能用安培环路定理求解；2.过场点选取合适的闭合积分路径，在此闭合路径的各段上，磁感应强度或者与之垂直，或者与之平行，或者成一定的角度，总之使得磁感应强度的环流容易计算；3.选好积分回路的取向，并根据取向来确定回路内电流的正负值。4.最后由安培环路定理求出磁感应强度。二、安培环路定理的应用RrP例1长直圆柱形载流导线内外的磁场

设导线为圆柱形，截面的半径为R。电流I沿轴线方向流动。在截面上电流是均匀分布的。对于所考察的P点来说，当P点离导线的距离比P点离两端的距离小得多时，可以把导线看成是无限长的。在这区域内，磁场对轴线具有对称性。磁力线是在垂直轴线的平面内以轴线为中心的圆上。取过P点的磁力线为积分回路，线上任一点的B的数值相等，方向与该点的dl方向一致。RrP由安培环路定理，可得到式中r是P点离轴线的距离。所以导线外P点的磁感应强度为由此可见，长直圆柱形载流导体外的磁场与长直载流导线产生的磁场相同。rQR

在导线内部，磁场同样是轴对称的。取过Q点的磁力线为积分回路，因单位截面的电流是I/R2，所以包围在这一回路内的电流为应用安培环路定理得到由此知Q点B的大小为可见在圆柱形导体内部，磁感应强度和离开轴线的距离r成正比。rQRB0RrB随r变化的曲线如图所示。⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙例2长直螺线管内的磁场设有一均匀密绕长直螺线管，通有电流I。由于螺线管很长，所以管内中间部分的磁场是均匀的，方向与管的轴线平行。在管的外侧磁场很弱，可忽略不计。

处于真空中的载流长直螺线管内外的磁场分布情况与管上的各匝线圈的疏密程度及管的尺寸有关。对于线圈较稀疏的载流螺线管，它的磁感线分布如图（a）所示，由图可以看出在螺线管内中间部分靠近管轴出的磁感应线区域与管轴平行；而导线附近的磁感应几乎是一些以导线为轴的同心圆，这样，管外中间部分贴近外管壁的区域内，存在着磁场，磁感应强度不为零。

然而对于绕的非常密集的的直螺线管，它的磁感应线分布如图（b）所示，由图可以看出，在螺线管内中部，从管壁到管轴的区域内，磁感线可看成是趋于与管轴平行；而管外中部贴近外管壁附近的磁场很弱，，磁感应强度为趋于零。当螺线管绕的很密，而且管的长度l比管的直径d大的很多时，可将此螺线管当成无限长的螺线管。⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙abcd•p

为了计算管内中间部分某一点P的磁感应强度，可以通过P点作一矩形的闭合回路abcd，在线段cd以及在线段bc和ad的位于管外部分，由于在螺线管外，B=0。在bc和da的位于管内部分，虽然B≠0，但dl与B相垂直，即cos=0，=/2。线段ab上各点磁感应强度大小相等，方向都和积分路径一致，即从a到b，所以B矢量沿闭合路径abcda的线积分为⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙abcd•p