第二章 随机过程的基本概念与分类

StochasticProcessesCollegeofScience,HohaiUniversity第二章随机过程的基本概念及分类引例例1用X(t)表示某手机在大年初一早上从8:00开始经过t时刻收到的短信数。例2顾客来到服务站要求服务，当服务站中的服务员都正在为别的顾客服务时，来到的顾客就要排队等待服务。由于顾客的来到时间一般是随机的，每个顾客所需要的服务时间一般也是随机的，令X(t)表示t时刻的队长(服务的顾客加等待的顾客)，Y(t)表示为t时刻来到的顾客所需要等待的时间。例3用X(t)表示南京下关某处t日早上8:00的水位高度。例4设质点Q在一直线上移动，每单位时间移动一次，且只能在整数点上移动。用X(t)表示t时刻该质点所处的位置。例5

VerticalDensityProfile(VDP)

Manufacturersofengineeredwoodboards,whichincludeparticleboardandmediumdensityfiberboard,areveryconcernedaboutthedensitypropertiesoftheboardbecausetheydetermineitsmachinability.Thedensityismeasuredusingaprofilometerthatusesalaserdevicetotakemeasurementsatfixeddepthsacrossthethicknessoftheboard.Themeasurementsonasampleformtheverticaldensityprofile(VDP)oftheboard.ThisVDPconsistsof314measurementstaken0.002inchesapart.24profilesareshowninFigure.24profilesinVerticalDensityProfile(VDP)随机过程的定义(,F,P)为一概率空间，T(,+)为参数集。若对任一tT，有一个定义在(,F,P)随机变量X(t,)(或Xt()),,与之对应,则称{X(t,),tT}为随机过程(StochasticProcesses)。简记{X(t),tT}(或{Xt,tT})(s.p.)。随机过程的值域E(状态空间)：随机过程{X(t),tT}的可能取值范围。随机过程的状态：E中的元素。或者

X(t,)是一个二元函数：固定t，X(t,)是一个随机变量；(随机过程在t时刻的状态)固定，X(t,)是一个实值函数；(随机过程的样本函数或样本曲线、现实或轨道)随机过程的有限维分布函数族{X(t),tT}是一个随机过程，t1T，X(t1)是r.v.，它的分布函数记作F(x1;t1)=P{X(t1)x1},称为随机过程的一维分布函数。若存在二元非负可积函数f(x1;t1)满足f(x1;t1)----s.p.X(t)的一维密度函数。t1,t2T，{X(t1),X(t2)}是二维r.v.若存在非负可积函数f(x1,x2;t1,t2)满足f(x1,x2;t1,t2)----s.p.X(t)的二维密度函数。F(x1,x2;t1,t2)=P{X(t1)x1,X(t2)x2},称为s.p.X(t)的二维分布函数。一般地,t1,t2,,tnT，若存在非负可积函数f(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)满足f(x1,,xn;t1,,

tn)----s.p.X(t)的n维密度函数。F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)=

P{X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn)xn},称为s.p.X(t)的n维分布函数。{F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn),t1,t2,,tnT,n1}称为s.p.X(t)的有限(穷)维分布函数族。{f(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn),t1,t2,,tnT,n1}称为s.p.X(t)的有限(穷)维密度函数族。例

s.p.X(t)=A+Bt,t

0,其中A和B是独立的r.v.,分别服从正态分布N(0,1)。求X(t)的一维和二维分布。有限维分布函数族的性质(1)对称性对(1,2,,n)的任意一种排列(j1,j2,,jn),有(2)相容性对m<n,有例

s.p.X(t)=Acost,<t<

,其中A为r.v.,具有分布律求(1)一维分布函数F(x;/4),F(x;/2)；(2)二维分布函数F(x1,x2;0,/3)。随机过程的数字特征1均值函数和方差{X(t),tT}是一个随机过程,tT,X(t)是r.v.E(X(t))=m(t)----s.p.X(t)的均值函数(期望函数)X(t)为离散型,且分布律为P{X(t)=xi},则X(t)为连续型,且密度为f(x;t),则D(X(t))=D(t)=E{[X(t)m(t)]2}----s.p.X(t)的方差函数X(t)为离散型,且分布律为P{X(t)=xi},则X(t)为连续型,且密度为f(x;t),则----s.p.X(t)的标准差函数=E{[X(t)]2}

m2(t)2(t)=E{[X(t)]2}----s.p.X(t)的均方值函数2协方差函数和相关函数{X(t),tT}是一个随机过程t1,t2T，X(t1),X(t2)是二个r.v.C(t1,t2)=Cov(X(t1),X(t2))----s.p.X(t)的自协方差函数(简称协方差函数)=E[X(t1)X(t2)]m(t1)m(t2)D(t)=C(t,t)=Cov(X(t),X(t))特别C(t1,t2)=E{[X(t1)m(t1)][X(t2)m(t2)]}R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]----s.p.X(t)的(自)相关函数C(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]E[X(t1)]E[X(t2)]=R(t1,t2)m(t1)m(t2)当m(t)=0时C(t1,t2)

=R(t1,t2)易有R(t2,t1)

=R(t1,t2)----对称性例随机相位正弦波

X(t)=acos(0t+)

,<t<+其中a和0是正常数,r.v.~U[0,2]。求X(t)的期望、方差和相关函数。例

s.p.X(t)总共只有两条样本曲线X(t,1)=acost，X(t,2)=acost

其中常数a>0,且P{1}=2/3,P{2}=1/3。求X(t)的均值函数和相关函数。两个随机过程的数字特征{X(t),tT},{Y(t),tT}是二个随机过程,称{(X(t),Y(t))T,tT}为二维随机过程。为m+n维随机变量，其联合分布函数为称为二维s.p.{(X(t),Y(t))T,tT}的m+n维联合分布函数。令yi+,i=1,,m,可得(X(t1),X(t2),,X(tn))T的n维分布函数。同理,令xi+,i=1,,n,可得(Y(t’1),Y(t’2),,Y(t’m))T的m维分布函数。记----X(t)与Y(t)相互独立{X(t),tT},{Y(t),tT}是二个随机过程E(X(t))=mX(t);E(Y(t))=mY(t)CXY(t1,t2)=Cov(X(t1),Y(t2))=E[X(t1)Y(t2)]mX(t1)mY(t2)CXY(t1,t2)=E{[X(t1)mX(t1)][Y(t2)mY(t2)]}----s.p.X(t)与Y(t)的互协方差函数RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]----s.p.X(t)与Y(t)的互相关函数=

RXY(t1,t2)mX(t1)mY(t2)CXY(t1,t2)=

E[X(t1)Y(t2)]mX(t1)mY(t2)若CXY(t1,t2)=0或RXY(t1,t2)=mX(t1)mY(t2)----s.p.X(t)与Y(t)的不相关结论若s.p.X(t)与Y(t)的相互独立,则X(t)与

Y(t)不相关。随机过程的分类1按参数集T和值域E离散与否分类(1)参数离散,状态离散;T、E皆离散(2)参数离散,状态非离散;T离散、E非离散特别：T离散、E连续(3)参数非离散,状态离散;T非离散、E离散特别：T连续、E离散(4)参数、状态皆非离散;T、E皆非离散特别：T、E皆连续2按s.p.的概率结构来分独立随机过程；独立增量随机过程；Markov过程；平稳随机过程。几种常用随机过程1独立随机过程{X(t),tT}是一个s.p.若对任意n个不同的t1,t2,,tnT,X(t1),X(t2),,X(tn)都相互独立,称{X(t),tT}是独立s.p.2独立增量随机过程{X(t),tT}是一个s.p.若对任意n个t1,t2,,tnT,且t1<t2<<tn,增量X(t2)X(t1),X(t3)X(t2),,X(tn)X(tn1)是相互独立的,称{X(t),tT}是独立增量s.p.其中T=[0,+),独立增量过程也叫可加过程。若X(t)还满足:对任意的t,t+T(>0),增量X(t+)X(t)的概率分布只依赖于而与t无关,则称s.p.X(t)为齐次增量过程(或具有平稳增量){X(t),t0

}是独立增量过程,令Y(t)=X(t)X(0),t0,Y(t)与X(t)有相同的增量，所以Y(t)亦为独立增量过程,且有P{Y(0)=0}=1,故对于一般的独立增量过程可以假设P{X(0)=0}=1。例设X(t),tT={t1,t2,}为独立的r.v.序列,证明为独立增量过程。3正态随机过程(Gauss过程)若s.p.{X(t),tT}的任一有限维分布都是正态分布,则称该过程为正态过程(Gauss过程)。即对n

1,t1,t2,,tnT,有式中正态过程的性质:(1)正态过程的有限维分布族可由其一、二阶矩完全确定;(2)正态过程的不相关性与相互独立性等价;(3)正态过程在线性变换下保持其正态性。

即正态过程的线性变换仍然是正态过程4马尔可夫过程(Markov过程){X(t),tT}是一个s.p.若对tT,给定X(t)的值后,对sT且s>t,X(s)的取值与那些uT且u<t的X(u)的取值无关。则称{X(t),tT}是一个Markov过程。简称马氏过程。即将来只与现在有关而与过去无关，又称为无后效性。5维纳过程(Wiener过程)(或Brown运动)s.p.{X(t),tT}若满足：(1)

X(0)=0;(2)

X(t)是齐次独立增量过程;(3)t>0,X(t)~N(0,2t)。称X(t)为Wiener过程或Brown运动。若=1,则称X(t)为标准Wiener过程。维纳过程的性质:(1)维纳过程是一种马氏过程;(2)E(X(t))=0,D[X(t)]=2t,

R(t1,t2)=2min(t1,t2)。(3)t1,t2,,tn,且0=t0<t1<<tn<+,有X(ti)X(ti-1)~N(0,2(titi-1)),i=1,2,,n

(4)X(t),t0为Wiener过程,则对t1,t2,,tn,且0=t0<t1<<tn<+,有D[X(ti)]=2ti,1in;

R(ti,tj)=E[X(ti)X(tj)]=2ti,i,j=1,2,,n,i<j

例铁路工程队每天铺一段长为li的路轨。假设由于生产钢轨的误差，使得每段钢轨与标定的长度l0之差li=lil0，i=1,2,均具有正态分布N(0,02),且彼此相互独立。现考察第n(n=1,2,)天时，铺轨的总长度L(n)与标定总长度L0(n)的统计性质。6泊松过程(Poisson过程)考察一个来到某“服务点”要求服务的“顾客流”，顾客到服务点的到达过程就是一个泊松过程(Poisson过程)。s.p.{X(t),t0}若满足：(1)

X(t)0,X(0)=0,X(t)取整数值;(2)0t1<t2,有X(t1)X(t2);(3)0t1<t2,有X(t2)X(t1)代表在时间间隔(t1,t2]上事件出现的次数;称{X(t),t0}为计数过程。若X(t)还是独立增量过程,则称{X(t),t0}为独立增量计数过程。{X(t),t0}是一个计数过程,且满足(1)

X(0)=0(a.e.);(2)

X(t)是独立增量过程;(3)t1,t2T=[0,+),t1<t2,增量X(t2)X(t1)服从参数为(t2

t1)的Poisson分布,即称{X(t),t0}为具有参数为的