第2章控制系统数学模型

自动控制理论

第二章控制系统的数学模型宋潇潇西华大学电气与电子信息学院目录2.1控制系统的微分方程2.2控制系统的传递函数2.3动态结构图自动控制理论以自动控制系统为研究对象，无论是对控制系统进行分析还是对校正装置进行综合，都需要建立控制系统的数学模型。所谓数学模型是指能够描述系统变量之间关系的数学表达式。控制系统的数学模型不是惟一的。线性定常连续系统，常用的数学模型有微分方程和传递函数。2.1控制系统的微分方程2.1.1建立系统微分方程的一般步骤建立控制系统数学模型有解析法和实验法两种实验法：通过实验对系统在已知输入信号作用下的输出响应数据进行测量，利用模型辨识方法，来建立反映输入量和输出量之间关系的数学方程。解析法：通过分析控制系统的工作原理，利用系统各组成部分所遵循的物理学基本定律来建立变量之间的关系式。用解析法建立控制系统微分方程的一般步骤：1)确定系统的输入量和输出量；2)根据各环节在系统中的工作要求及其所遵循的基本客观规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组；3)消除中间变量，并将方程标准化。例2.1确定下图中RCL电路的微分方程。解：(1)确定输入和输出量(2)建立微分方程(3)消除中间变量，使方程标准化，得到这是一个二阶常系数线性微分方程。例2.2确定力学系统的微分方程(1)确定输入量和输出量(2)创建微分方程组：根据牛二定律得到其中(3)消除中间变量得到，使方程标准化。该机械模型也是一个二阶常系数线性微分方程。两个例题属于不同类型系统，但可具有形式相同的数学模型，这些具有形式相同数学模型的相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系，当这些相似系统中相似的参数取同样的数值、输入变量具有相同的函数形式时，这两个系统输出量的变化规律是相同的。我们将此类系统称为相似系统。QUIETTIME……练习1：如图所示由质量、弹簧和阻尼器构成得机械位移系统。其中m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。要求确定外力F(t)为输入量，位移y(t)为输出量时，系统的数学模型。质量-弹簧-阻尼器系统m解：根据牛顿第二定律，可以写出物体的受力平衡方程为消去中间变量并将所得方程整理成标准形式，有2.2控制系统的传递函数传递函数是线性定常连续系统最重要的数学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以求取零初始条件下的系统在任意形式输入信号作用下的输出响应，还可以研究结构和参数的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论的重要研究方法——根轨迹分析法和频域分析法都是建立在传递函数基础上的。2.2.1传递函数的定义传递函数定义为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。控制系统最基本的数学模型是时域内的微分方程，n阶系统微分方程的一般形式为得到例2.4求解例2.1中RLC网络的传递函数。解：微分方程为：对其进行拉氏变化，得到：则传递函数为：传递函数描述了系统把输入转换为输出的传递关系。传递函数和微分方程可以相互转换。Laplace变量s可以看成是微分算子，即同理积分算子是QUIETTIME……练习2将例2.2中的微分方程转换成传递函数的形式。解：对其进行拉氏变化，得到：则传递函数为：练习3已知控制系统的微分方程为求出控制系统的传递函数。解：在零初始条件下，对微分方程式两边同时进行拉氏变换，可求得故控制系统的传递函数：问题&思考系统传递函数的表达式为

当输入发生变化时，系统的传递函数会发生变化吗？若初始条件不为零，系统的输出会变吗？系统的传递函数会发生变化吗？2.2.2传递函数的性质1)传递函数是复变量s的有理真分式，只适用于线性定常系统。2)传递函数不能反映系统内部的中间变量。3)传递函数描述系统的内部固有动态特性。4)传递函数不能反映系统的物理性质。5)传递函数的分母部分决定着系统的暂态响应的基本特点和动态本质。6)传递函数可用零-极点的方式进行表示。是传递函数的零点，也称环节或系统的零点;是传递函数的极点，也称环节或系统的极点。传递函数的极点决定了系统的稳定性，并在很大程度上决定了系统的性能。2.2.3典型环节的传递函数自动控制系统是由一些元件或装置组合而成的，这些有着不同物理结构和作用原理的元件装置却可能具有相同的传递函数，也就具有了相同的动态性能。从方便研究控制系统动态性能的角度考虑，我们可以按照传递函数的形式去划分环节。线性定常系统中的典型环节有比例环节、积分环节、惯性环节、二阶振荡环节、微分环节和延迟环节等。1.比例环节比例环节的输出量与输入量成一定比例，时域中的数学模型是一个代数方程比例环节的传递函数比例环节应用广泛，实际中线性电位器，旋转变压器等都可以近似地认为是比例环节。比例环节不失真，输出信号成正比的复现输入信号。2.惯性环节一阶惯性环节的输出量和输入量之间的关系为一阶惯性环节的传递函数为T为惯性环节的时间常数

惯性环节的特点是具有一个储能元件，输出信号不能瞬时完成与输入信号完全一致的变换。在单位阶跃输入信号，输出信号将按照指数曲线上升。惯性环节的阶跃响应是单调上升的，是非周期过程，因而也称惯性环节为非周期环节。3.积分环节积分环节的输出量是输入量的积分。时域中输出量和输入量之间的关系表示为积分环节的传递函数为积分时间常数。在单位阶跃输入信号，输出信号如图所示：积分环节的输出量与输入量的积分成正比，当输入突变时，输入要延迟时间后才等于输入；若输入为零，输出将保持输入变成零时刻的值不变。4.微分环节纯微分环节的微分方程为纯微分环节的传递函数为

是微分时间常数。当输入量为单位阶跃响应时，理想的纯微分环节是当

时，其微分环节输出为一个面积为，幅值为无穷大，宽度为零的理想脉冲。纯微分环节在实际中是得不到的，因为在实际系统或元件中惯性是普遍存在的，所以实际的微分环节常带有惯性。其传递函数为实用的一阶微分环节的单位阶跃响应为纯微分环节是输出与输入信号对时间的响应成正比，反映了输入信号的变化率。5.振荡环节振荡环节的输出量与输入量之间的关系为振荡环节的传递函数ξ-阻尼系数或阻尼比；T-时间常数为无阻尼自然振荡频率当输入量为单位阶跃响应时，振荡环节的输出响应具有振荡的特点，因阻尼系数的不同，而具有不同的振荡形式。例2.1中的RLC网络为振荡环节的例子。6.纯滞后环节纯滞后环节的输出量在经过延迟时间后复现输入量，其动态方程为纯滞后环节的传递函数为

是滞后时间常数。输入为阶跃响应时，纯滞后环节的响应曲线如图纯滞后环节的输出在延迟了时间后，与输入具有相同的波形。QUIETTIME……问题&思考微分 积分你能发现一些新的环节吗？这些环节有何关系？2.3动态结构图结构图是动态系统结构图的简称，也称方框图等。结构图利用方框、信号线、相加点和分支点等符号直观地反映控制系统的组成、控制系统各组成部分之间的连接关系以及系统中信号的传递方向和运算关系等。通过结构图的简化，可以获得系统的传递函数，也可以求取系统在任意输入信号作用下的输出响应。2.3.1动态结构图的组成与建立(1)基本图形符号信号流线：带箭头的有向线段，箭头方向表示信号的传递方向。方框图：表示环节输入与输出之间信号传递关系。分支点：把一个信号分成多路进行输出。相加点：进行两个或多个信号的代数和运算。(2)系统动态结构图建立的步骤利用系统各组成部分的微分方程得到，步骤一般为：1)列写控制系统各组成部分的微分方程，零初始条件进行拉氏变换，写出表示各环节输出量与输入量之间关系的方程式。2)根据上述关系绘制结构图的基本单元。3)将各结构图基本单元相同的信号线连接起来，即可获得控制系统的结构图。需要注意的是：结构图是数学模型的图形化表示，只反映信号的传递和运算关系，并不代表真实系统物理结构。建模过程中，中间变量选择不同，将导致系统有不同的结构图，但由结构图简化得到的系统输入量输出量之间的关系是相同的。例2.5绘制下图所示系统的动态结构图。解：每一个元件代表一个环节，建立各关节的方框图：对于电阻对于电容对于电感对于电阻得到动态结构图为：QUIETTIME……问题&思考写出系统的传递函数2.3.2动态结构图等效变换结构图清楚地反映了控制系统中各变量之间的关系，利用结构图求其系统传递函数时，总是要对结构图进行简化，简化到一个输入量和一个输出量之间只剩一个函数方框时，方框里的传递函数就是对应输入量和输出量之间的传递函数。结构图的简化应遵循等效原则，即变换前后各变量之间的数学关系保持不变。结构图等效变换的数学实质是在结构图上进行运算，消去中间变量。简化的过程表现为结构图上是环节的合并以及相加点和分支点的消除。1.多个环节串联结构图中几个环节按照信号流向首尾相连，前一环节的输出作为后一环节的输入，这种连接方式称为串联连接。由于所以，串联连接的环节合并成为一个环节，等效的传递函数为此结论可以推广到n个环节串联的情况，等效环节的传递函数为各串联环节传递函数的乘积。2.多个环节并联当两个或多个环节具有相同的输入量，而总输出量为各环节输出量的代数和时，称环节为并联连接。因为：所以：由此可见，两个环节并联的等效传递函数等于两个环节传递函数的代数和。此结论可推广到n个环节的并联，即n个环节并联后的等效传递函数为并联各环节传递函数的代数和。3.反馈连接将环节的输出量反送到输入端与输入信号进行比较后作为环节的输入量，就构成了反馈连接。环节反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。通常把信号输入点R(s)到信号输出点C(s)的通道称为前向通道，前向通道上所有环节的传递函数之积定义为前向通道传递函数；把输出信号C(s)到反馈信号B(s)的通道称为反馈通道，反馈通道上所有环节的传递函数之积定义为反馈通道传递函数。把偏差信号E(s)到输出信号C(s)再经反馈信号B(s)到偏差信号E(s)的封闭通道称为回路，回路上所有环节的传递函数之积定义为回路传递函数。负反馈是自动控制系统最基本的结构形式，当反馈极性为负时，偏差信号等于输入信号与反馈信号之差，有整理可得系统反馈后的闭环传递函数GB(s)为QUIETTIME……问题&思考正反馈时系统的闭环传递函数GB(s)是什么？这两个系统传递函数相同吗？问题&思考4.相加点和分支点的变换很多系统的结构图中会出现环路相扣的情况，导致无法利用上述等价关系来实现结构图的简化。通过信号相加点、分支点的移动和互换可以使得环节之间具有典型的串联、并联和反馈连接形式，最终将结构图简化为一个输入量和一个输出量之间只有一个传递函数方框的形式，获得系统的传递函数。相加点、分支点的移动和互换也必须遵循等效原则。1)信号相加点的移动相加点前移相加点后移2)信号分支点的移动分支点前移分支点后移3)相邻的信号相加点和相邻的信号分支点的位置交换相邻分支点间移动相邻相加点间移动相加点与分支点间的移动相加点与分支点间的移动QUIETTIME……例2.6求解下图的传递函数

解：例2.7具有针对给定补偿的控制系统结构图如图所示，Y(s)/R(s)。QUIETTIME……练习5：具有多反馈回路的系统结构图如图所示，试利用等效变换的方法简化结构图，求取系统的传递函数Y(s)/R(s)。解：结构图具有多重反馈连接，反馈连接不存在交叉现象，可采用由内而外的办法，逐级合并反馈连接的环节。(1)内环正反馈连接环节合并如下图所示(2)串联连接环节合并如下图所示(3)并联连接环节合并如下图所示（4）反馈连接环节合并如下图所示

问题&思考5.梅逊公式对于复杂的控制系统往往含有多个相互交叉的回路，对于这样的系统可利用梅逊公式求解系统的传递函数，而无须进行结构图等效变换。梅森增益公式n：从输入节点到输出节点前向通道的个数：从输入节点到输出节点的第k条前向通道的各环节传递函数乘积

：特征式，计算公式为：：所有回路增益之和：所有两两互不接触回路的增益乘积之和：所有三个互不接触回路的增益乘积之和：第k条前向通道的的特征余子式，即除去与第k条前向通道相接触回路后的特征式例2.7通过梅逊公式求解传递函数。解：如图所示，系统有两条前向通道和一个闭环回路。则：回路有：前向通道有：根据梅逊公式，则有例2.8通过梅逊公式求解传递函数。解：系统有5个闭环回路：系统没有两两不接触的回路，因此四条前向通道：根据梅逊公式得到QUIETTIME……练习6：通过梅逊公式求解传递函数。解：系统有2个闭环回路：系统没有两两不接触的回路，因此两条前向通道：根据梅逊公式得到问题&思考采用梅逊公式求系统闭环传函问题&思考对于多输入多输出问题如何处理？2.3.3反馈控制系统的传递函数在实际控制中，控制系统通常受到两种信号的影响：1)输入信号，2)扰动信号(1)开环传递函数定义：系统反馈信号与误差信号之比，即：注意闭环系统的开环传递函数，与开环系统的传递函数是不同的。区分开环传递函数和回路传递函数。(2)闭环传递函数1)输入信号作用下的闭环传递函数定义：输出信号与输入信号的比值，即2)扰动信号作用下的闭环传递函数定义：输出信号与扰动信号的比值，即3)系统的总输出定义：同时受到输入信号和扰动信号作用时的传递函数。由叠加原理可知，系统的输出是两种信号单独作用时系统的输出之和。(3)系统的误差传递函数1)输入信号作用下的误差传递函数定义：误差信号与输入信号的比值，即2)扰动信号作用下的误差传递函数定义：误差信号与扰动信号的比值，即3)系统总误差定义：同时受到输入信号和扰动信号作用时的误差。由叠加原理可知，系统的输出是两种信号单独作用时系统的误差之和。信号流图（自学部分）信号流图是一种表示线性代数方程组的图示方法。用来描述线性控制系统时，信号流图和结构图一样，它也是一种描述系统各部分之间信号传递关系的数学图示模型，具有直观形象的特点。但信号流图又与结构图不同，它只能用来描述线性系统。结构图通过等价变换可以得到控制系统的闭环传递函数，但对于复杂控制系统，结构图的简化过程是一件很复杂的事，甚至会出现找不到有效办法可以解除的交叉环路。对于信号流图，可以利用梅逊（Mason）公式直接求取系统输入输出变量之间的传递函数而不必对信号流图进行简化。2.4.1信号流图的概念

信号流图是由节点和支路两种基本元素组成的信号传递网络。其中，节点代表信号或变量用符号“o”表示，节点之间用有向线段连接，称为支路，支路具有有向性和有权性。信号流图的基本单元与结构图中的函数框等价，如图所示，它们表示了同样的变量变换关系，即1.节点的类型1)输入节点：只有输出支路的节点，代表自变量或外部输入变量，也称源节点，如图中的节点X02)输出节点：只有输入支路的节点，代表被控量或输出变量，也称汇节点，如图中的X6。3)

混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，代表中间变量，如图中的节点X1~X5。混合节点兼有结构图中信号相加点和信号分支点的功能。混合节点处的信号是所有输入支路信号的和，而由混合节点引出的所有信号是同一个信号。任何一个混合节点都可以通过增加一条单位传输的输出支路，而变成输出节点如图中的节点X6。2.通道及通道传输1)通道：从一个节点出发沿着支路箭头方向通过各个相连支路到达另外一个节点的路径，通道经过各支路传输的乘积称为通道的传输或增益。2)前向通道：从输入节点到输出节点、且每个节点只经过一次的通道，前向通道上各支路传输的乘积称为前向通道传输或增益。3.回路及回路增益1)回路：起点和终点为同一个节点、且每个节点只经过一次的通道，也称回环或反馈环，回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。2)不接触回路：没有任何公共节点的回路。2.4.2信号流图的绘制

信号流图可以由结构图绘制，也可以由系统的微分方程绘制。

从结构图绘制信号流图时，可把结构图中的变量和函数方框分别对应为信号流图中的节点和支路，传递函数就是支路的传输。一般应先确定节点，对应输入变量设一个输入节点，对应输出变量设一个输出节点，然后在结构图的每个分支点处和每个相