第二章 连续时间系统时域分析(宋寿鹏)

第二章连续时间系统的时域分析

（Time–domainanalysisofcontinuous-timesystems）连续时间系统：处理连续时间信号的系统

本章的重点是在LTI系统性质的基础上，利用一些特定的数学手段，在给定系统及输入信号的条件下，求解系统的输出响应。

描述连续时间系统的数学工具是常系数微分方程，也即系统的输入与输出之间通过它们的时间函数及对时间t的各阶导数的线性组合。要求系统的响应实际上就是求解这一微分方程。本章的主要研究内容微分方程的建立与求解初始条件的确定零输入响应与零状态响应冲激响应与阶跃响应卷积定义、物理意义及性质LTIf(t)y(t)信号与系统研究的内容§2.1引言一、系统数学模型的时域表示时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。二、系统分析过程经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；卷积积分法:

任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)§2.2微分方程的建立与求解1.微分方程的建立依据：KCL、KVL法则。例如：数学模型的一般形式：时间常数阻尼比系统固有频率齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。2.微分方程的求解（经典法解微分方程）全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。

我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为时的方程的解，初始条件初始条件的确定是要解决的主要问题。齐次解的形式：无重根：有重根：系统自然频率，即微分方程对应的特征方程的根。常数，由系统初始条件决定几种典型激励函数相应的特解激励函数e(t)响应函数y(t)的特解3.系统响应划分自由响应＋强迫响应(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应(Transient+Steady-state)

也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。(1)自由响应：强迫响应：4.各种系统响应定义

是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。

由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

(2)暂态响应：稳态响应：

不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

(3)零输入响应：零状态响应：

没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由系统状态值求出待定系数。

系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，待定系数由下式确定。

例1.求微分方程的齐次解解：系统的特征方程为：特征根：重根故齐次解为：例2.给定微分方程若已知：分别求特解。解：（1）.将代入，得设特解的形式为：将其代入原方程，得根据方程两边对应相等原则，得故特解为：（2）将代入设得故，特解为§2.3初始条件的确定（从0－到0＋的跳变）系统起始条件：输入信号作用于系统前的一瞬间记为0－，在此时刻的边界条件称为起始条件，或起始状态。记为：系统初始条件：输入信号在t=0时作用于系统，系统的起始状态会发生跳变，此时的边界条件称为初始条件。记为：1.基本概念微分方程求解时待定系数Ai由系统的初始条件来确定。当求系统的零输入响应时，初始条件等于起始条件。跳变规则：（1）换路定律1：当电感电压有限时，电感电流是连续的。即（2）换路定律2：当电容电流有限时，电容电压是连续的。即2.边界条件的跳变问题（1）物理概念法换路定律，基尔霍夫定律。例：（a）(a):开关闭合前:开关闭合后:（b）开关闭合前，开关闭合后:(b)（2）函数匹配法思路：跳变与否由函数决定。根据t＝0时刻微分方程左右两端的及其各阶导数相平衡确定初始条件。例:已知微分方程：确定其初始条件。解：设对其进行积分式中，表示从0－到0＋相对单位跳变函数将和代入微分方程，得根据对应项相等，可看出在t=0时，从0－到0＋有－9个单位跳变当已知时，求解微分方程的步骤一、元件的算子模型注意：是代表一种运算作用在时间函数上，而不是相乘。所以，二、算子的运算规则1.满足分配律，可进行因式分解2.不满足交换律而除非,否则3.不满足消去律即同上式不符同样有即等式两边中相同的算符不能随便消去。三、传输算子

一个单输入、单输出的线性非时变系统可用一个n阶常系数线性微分方程来描述，其算子形式为式中为算子多项式。所以……2.3-1一、定义一个LTI系统，当其初始状态为0时，输入信号为单位冲激信号δ(t)时所引起的响应称为单位冲击响应，简称冲击响应，用h(t)表示。

同样，系统在单位阶跃信号U(t)作用下所产生的零状态响应称为阶跃响应，用g(t)来表示LTI“0”LTI“0”2-5连续系统冲激响应与阶跃响应二、冲激响应与阶跃响应的关系LTI“0”LTI“0”三、单位冲激响应

激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。1、部分分式法1）一阶系统的单位冲激响应t>0时，因所以，冲激响应的形式为：特征方程：特征根：将（2）（3）代入（1）得：所以，一阶系统的冲激响应为：2）高阶系统的单位冲激响应(自习)传输算子特征方程：a）当n>m，且特征根均为单根时：将H(p)展开成部分分式：b）当n>m，特征根有重根时：设重根为：p1=p2···=pr其余为单根将H(p)展开成部分分式：c）当n=m时：先用长除法，再展开成部分分式：此时，h(t)中含有冲激信号d）当n<m时：同样先用长除法，再展开成部分分式：a）求传输算子H(p)；b）如果m≥n,用长除法将H(p)化为真分式；c）H(p)部分分式；d）根据H(p)部分分式的各项，写出单位冲激响应h(t)；3）求单位冲激响应的一般步骤求f(t)=(t)时的零状态响应h(t)。例1：已知描述某系统的微分方程为答：例：

已知描述某系统的微分方程如下，求f(t)=(t)时的零状态响应h(t)。解：2、系数平衡法系统自然频率为单位冲激响应形式与零输入响应形式相同，即以h(t)=y(t)，f(t)=(t)代入方程，平衡系数可得四、单位阶跃响应求解方法：激励为单位阶跃信号时系统的零状态响应.例5：求例1系统当f(t)=U(t)时的零状态y(t)。解：

例6：已知描述某系统的微分方程为求f(t)=U(t)时的零状态y(t)。解：2.6零状态响应的求解

——卷积积分LTI“0”信号分解响应合成(卷积)(卷积)图2.6-1一、卷积积分1.有始信号分解为矩形窄脉冲信号f(t)t0f(0)图2.6-2(a)f(t)t0f(0)f0f1f2fk0f(t)t…2.6-1

上式表明有始时间信号可分解为一系列具有不同幅度、不同时延冲激信号的迭加——卷积积分2.卷积积分定义……2.6-3二、响应的合成(冲激响应为例)“0”LTI3.对任意的无始无终信号，有4.若把信号分解为阶跃信号的迭加，同理可得……2.6-4三、示例例2.6-1如图2.6-5(a)电路，已知f(t)如图(b)所示，求h(t)、g(t)及零状态响应i(t)f(t)0tRLf(t)i(t)图2.6-5(a)图2.6-5(b)Rf(t)解：容易写出算子方程Lp2.7卷积积分的性质一、卷积的代数律

（交换律、结合律、分配律）1.交换律前面已经证明：……2.7-1从系统的观点看卷积的交换律即：也就是说

信号不仅是信息的一种体现，也是系统时间特性的一种体现。即：信号可由系统来实现系统可用信号来仿真

2.结合律如图

从系统的观点看，两个系统级联时，总系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。即y1h(t)h(t)且与级联次序无关。

h(t)

h2h(t)图2.7-23.分配律

如图,分配律表明，并联LTI系统对输入f(t)的响应等于各子系统对f(t)的响应之和。

h1(t)图2.7-3……2.7-3二、卷积的微分与积分1.微分可推广到n次微分……2.7-6……2.7-72.积分

两个函数卷积后的积分等于其中一个函数积分后与另一函数卷积。即：……2.7-6…….2.7-73.根据微分、积分性质，显然……..2.7-8001-1tt(a)(b)图2.7-80tt00t1-1解：如图2.7-9-2图2.7-9波形如图2.7-10t0图2.7-10卷积的图解说明用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。

一、图解示例如图2.8-3所示，已知)(1tf和)(2tf用图解定积分限求)()(21tftf*。110034tt图2.8-3(a)(b)103t1)如图2.8-4(a)图2.8-4(a)02)13如图2.8-4(b)图2.8-4(b)tt-433)10tt-4如图2.8-4(c)图2.8-4(c)3t-4t4)10如图2.8-4(d)图2.8-4(d)t0347相应波形如图2.8-5所示图2.8-5结论：1.积分上下限是两函数重迭部分的边界

下限为两函数左边界的最大者上限为两函数右边界的最小者2.卷积的时限=两函数时限之和。例2.8-101t如图2.8-6所示图2.8-6解：01t如图2.8-7(a)图2.8-7(a)01如图2.8-7(b)图2.8-7(b)t01t如图2.8-7(c)图2.8-7(c)相应波形如图2.8-8所示t0图2.8-8思考：例2.8-2)()()(

)()(

)()(

21221tftftytUetftUetftt*===--求已知1010tt如图2.8-9(a).(b)所示图2.8-9(a)(b)解：10t如图2.8-10(a)所示图2.8-10(a)10t如图2.8-10(b)所示图2.8-10(b)例