第3章 工程构件静力学平衡问题

工程力学第三章工程构件的静力学平衡问题一、平面汇交力系平衡的条件汇交力系平衡的充要条件是：

力系的合力FR等于零，或力系的矢量和等于零。用矢量式表达为：

汇交力系平衡的几何条件是：

力系的力多边形自行封闭。

（1）几何法§3-1平面力系的平衡条件和平衡方程

即:汇交力系的平衡条件是力系中各力在x轴和y轴投影的代数和分别等于零。汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零，即:（2）解析法满足采用解析法求解平衡问题时，未知铰链约束反力的方向一般不能直接确定假设指向：一般假设为坐标轴的正向计算结果为正假设方向与实际方向相同计算结果为负，假设方向与实际方向相反【例】水平力P作用在门式刚架的D点，如图所示，刚架的自重忽略不计。试求A、B两处的约束力。3）建立坐标系，列平衡方程：4）联立求解：FA为负值，说明图中所假设的指向与其实际指向相反，FB为正值，说明图中所假设的指向与其实际指向相同。FAABCDyxFB解:1）选取刚架为研究对象；2）画受力图；aO2a【例】一拱形桥由三个铰拱组成，如图所示。各拱重量不计，已知作用于点H的水平力Fp，试求A、B、C和D处各个支座反力。解：首先对AE、EBF、FCG和GD，进行受力分析取为GD研究对象，建立平衡方程：xy解得(2)取FCG为研究对象，建立平衡方程解得xy(3)取EBF为研究对象，建立平衡方程解得(4)最后，取为AE研究对象。例如图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。P246ACBOED(a)解：(1)取制动蹬ABD作为研究对象。OPAFBBFDD(b)O45°PFBFDD(b)xy(3)列出平衡方程：又联立求解，得PABDC例已知重物P=20kN,不计杆重以及滑轮尺寸,求杆AB和BC的受力.解:取B点分析Bxy)(压64.74kNFBC-=)(拉64.54kNFAB=(假设均受拉)所以所以求解汇交力系平衡问题的主要步骤和要点如下：1）根据题意，选取研究对象；2）画受力图。3）作力多边形或列平衡方程。4）求解未知量并分析结果。求解平面汇交力系平衡问题的重点是解析法。平面一般力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。即其中二、平面一般力系平衡的条件平面一般力系的平衡方程需要满足

所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。平面一般力系平衡的解析条件：求解物体在平面力系作用下的平衡问题需要注意：无论是求投影还是求力对点之矩的代数和,都不要遗漏参加平衡的力;应用平衡方程时，要特别注意力的投影及力对点之矩的正负号;应用力矩平衡方程时,适当的选取投影轴和矩心。投影轴的选取：尽可能使更多的力在投影轴上；矩心应尽量选择力的交汇处。【例3.1】图所示为悬臂式吊车结构简图。图中AB为吊车大梁，BC为钢索，A处为固定铰链约束。已知起重电动机E与重物的总重力为FW

（因为两滑轮之间的距离很小，FW可视为集中力作用在大梁上），梁的重力为FQ，作用在AB的中点D处，已知角度θ=30o。求：

1）电动机处于任意位置时，钢索BC所受的力和支座A处的约束力。2）分析电机处于什么位置时，钢索的受力最大，并确定其数值。

FWCB

AD

Eq

AB

lFPM

q【例3.2】A端固定的悬臂梁AB受力如图所示。梁的全长上作用有集度为q的均布载荷；自由端B处承受一集中力FP和一力偶M的作用。已知FP=ql，M=ql2；l为梁的长度。试求固定端处的约束力。【例3.3】图示之刚架，由立柱AB和横梁BC组成。B处为刚性节点。刚架在A处为固定铰链支座；C处为辊轴支座；受力如图所示。若图中FP和l均为已知，求A、C两处的约束力。FPB

A

Cll

【例3.4】图示的简单结构中，半径为r的四分之一圆弧杆AB与折杆BDC在B处用铰链连接，A、C两处均为固定铰链支座，折杆BDC上承受力偶矩为M的力偶作用，力偶的作用面与结构平面重合。图中l=2r。若r、M均为已知，试求：A、C两处的约束力。平面任意力系平衡方程的三种形式：刚体平衡条件二矩式A、B连线与x轴不垂直三矩式A、B、C三点不共线一矩式∑Fxi=0∑Fyi=0∑mo(F)=0∑Fxi=0∑mA(F)=0∑mB(F)

=0∑mA(F)=

0∑mB(F)=

0∑mC(F)=

0【例3.5】图所示结构中，A、C、D三处均为铰链约束。横梁AB在B处承受集中载荷FP。结构各部分尺寸均示于图中，若已知FP和l，试求：撑杆CD的受力以及A处的约束力。

l/2

l/2

B

D

A

C

l/2

FP

塔式起重机的结构简图如图所示。起重机自重为W，载重为W1，平衡物重W2。要使起重机在空载、满载且载重在最远处时均不翻到，试求平衡物重。eCbla工程实际问题：翻倒问题(2)列平衡方程：1)空载时（W1=0）：不翻到的条件是：可得空载时平衡物重量W2的条件：解：（1）取塔式起重机整体为研究对象,受力分析如图。（整机在平面平行力系作用下处于平衡。）eCbla2)满载且载重位于最远端时,不翻到的条件是：eCbla综合考虑，平衡物重量W2应满载的条件：可得满载时平衡物重量W2的条件：【练习题】翻到问题一种车载式起重机，车重Q=26kN，起重机伸臂重G=4.5kN，起重机的旋转部分与固定部分共重W=31kN。尺寸如图所示，单位是m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量Pmax。AB3.02.51.82.0（3）联立求解：

（2）列平衡方程：（4）不翻条件：FA≥0故最大起重重量为Pmax=7.5kNAB3.02.51.82.0解：（1）取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。平面汇交力系:两个独立方程，只能求两个独立未知数。平面力偶系:一个独立方程，只能求一个独立未知数。平面一般力系：三个独立方程,只能求三个独立未知数。§3–2简单的刚体系统平衡问题（1）静定问题——当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。（2）静不定问题——当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。一、静定与静不定概念：静定静不定静不定静不定物体系统平衡问题的特点是：

仅仅考察系统整体平衡，无法求得全部未知力。求解物系平衡问题的基础：1）物系平衡时，组成该物系的每一个物体，以及每一个子系统都将处于平衡状态。整体平衡，局部必然平衡2）研究对象有多种选择3）分清内力和外力内力和外力是相对而言的,视研究对象不同而不同。外力：研究对象以外的物体作用于研究对象上的力。内力：研究对象内部各部分间的相互作用力。4）刚体系统的受力分析过程确定约束力，注意作用与反作用力，使力系平衡。一般先整体后局部。求解物系平衡问题时要注意的问题：（1）恰当选取研究对象（2）综合考察整体与局部的平衡（3）画受力图注意施力体与受力体，作用力与反作用力关系（4）列平衡方程时避免求解联立方程【例3.6】图所示之静定结构是由二根梁AB和BC通过中间铰链(B)处连接成一体，这种梁称为组合梁，其中C处为辊轴支座，A处为固定端。DE段梁上承受均布载荷作用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为M。若q、M、l等均为已知。试求：A、C两处的约束力。

CllllABDMFRCEq【例3.7】图所示为房屋和桥梁中常见的三铰拱结构模型。结构由两个构件通过中间铰连接而成：A、B两处为固定铰链支座；C处为中间铰。各部分尺寸均示于图中。拱的顶面承受集度为q的均布载荷。若已知q、l、h，且不计拱结构的自重，试求：A、B两处的约束力。ABChl/2l/2q【作业题】物块重W=12kN，由3根杆AB、BC和CE组成的构架及滑轮E支承。已知：AD=DB=2m，CD=DE=1.5m，不计杆及滑轮的重量，设滑轮半径为r，求支座A、B的反力以及BC杆的内力。DCBAE一、滑动摩擦定律（1）滑动摩擦力定义：两表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，接触面间产生的彼此阻碍相对滑动的阻力。

（2）分类：滑动摩擦力的大小根据主动力作用的不同分为静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力动滑动摩擦力方向：作用在接触处，与相对滑动的趋势或相对滑动方向相反§3-3考虑摩擦时的平衡问题二、静滑动摩擦力物体P和FN作用下处于静止状态FNPFFs加水平拉力F，由0逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止说明：存在一阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，即静滑动摩擦力，简称静摩擦力。大小：由平衡条件确定说明：静摩擦力大小随水平力F的增大而增大。静摩擦力是接触面对物体作用的切线约束反力，指向与物体相对滑动趋势相反。FNPFFs三、最大静滑动摩擦力达一定数值时物体处于将动、未动的临界状态最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力。F静摩擦力达到最大值FNPFFmax实验证明：最大静摩擦力的大小与接触面法向反力成正比，即其中：fs为静滑动摩擦因数，大小可由实验测定，与接触物体的材料和表面状态有关，与接触面积的大小无关。FN为接触物体间的正压力。（静摩擦定律或库仑定律）静摩擦力的大小随主动力的情况而改变介于零与最大值之间，即利用摩擦和减少摩擦的途径四、动滑动摩擦力接触面之间出现相对滑动动滑动摩擦力，简称动摩擦力。F接触物体间作用有阻碍相对滑动的阻力FNPFFd其中：f为动滑动摩擦因数，大小与接触物体的材料和表面状态有关，可由实验测定。FN为接触物体间的正压力。实验表明：动摩擦力的大小与接触面间的正压力成正比，即（对多数材料，通常情况下）二、摩擦角与摩擦自锁一、摩擦角支撑面对平衡物体的约束反力包含两个分量：FN和Fs。

FNFRAαFs支撑面的全约束反力

物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达最大值Fmax，偏角α达到最大值ψ，称为摩擦角。

即摩擦角的正切等于静滑动摩擦因数FNFRAαFmaxψ物块处于平衡的临界状态时的全反力：

临界平衡时，全约束反力FRA的作用线将形成以接触点为顶点的锥面称为摩擦锥。如物体间沿任何方向的摩擦因数相同，即摩擦角相同，则摩擦锥是一个顶角为2ψ的圆锥。

FNFRAFmaxψψ（2）摩擦自锁现象物块平衡时，全约束反力FR必在摩擦角之内（1）只要作用于物块的全部主动力的合力作用线在摩擦锥内，无论力有多大，物块比保持静止。这种现象称为自锁。FQFRψmψmA（2）如果全部主动力的合力作用线在摩擦锥之外，无论主动力有多小，物块一定滑动。这种现象称为不自锁。（3）介于自锁和不自锁之间称为临界状态。物块保持静止物块发生运动物块处于临界状态静滑动摩擦因数的测定即PFRBOααψmA重力P与全约束反力FR作用平衡，FR与斜面法线的夹角等于α当物块处于临界状态时，FR与法线夹角等于摩擦角ψm由可求摩擦因数，即斜面自锁的条件即斜面的倾角小于或等于摩擦角。螺纹的自锁条件若螺旋千斤顶的螺杆与螺母间的摩擦因数为0.1，则αααα(a)(b)(c)为保证螺旋千斤顶自锁，一般取螺纹升角取滑动摩擦平衡问题的特点三、滑动摩擦平衡问题（1）分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力F。

（2）未确定新增的未知量，需补充方程，F≤fsFN，补充方程数目与摩擦力数目相同。

增加了未知量的数目

（3）有摩擦时平衡问题的解不是一个确定的值。

求：物块是否静止，摩擦力的大小和方向．已知：。物块处于非静止状态．向上．而(向上)解：取物块，画受力图，设物块平衡例凸轮机构如图所示。已知推杆与滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。解：取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置.挺杆不被卡住时用几何法求解解：【例3.9】梯子的上端B靠在铅垂的墙壁上，下端A搁置在水平地面上。假设梯子与墙壁之间为光滑约束，而与地面之间为非光滑约束，如图所示。已知：梯子与地面之间的摩擦因数为fs;梯子的重力为FW。设：1）

若梯子在倾角1的位置保持平衡，求A、B两处约束力FNA、FNB和摩擦力FA。2）

若使梯子不致滑倒，求其倾角的范围。

AB

CFw

a

§3-4空间力系迎面风力侧面风力b工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；(b)图中去掉风力后为空间平行力系。空间力系空间汇交力系空间力偶系空间任意力系

xyFoabgz1.力在直角坐标轴上的投影一次（直接）投影法二次（间接）投影法

应该注意：力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影是矢量。

j

xyFogz力的投影与分力力F在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系：以表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿坐标轴方向的单位矢量，则2.空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的合力矢

由空间力的投影有合力的大小方向余弦其中分别为合力沿x、y、z轴的投影。空间汇交力系平衡的充分和必要条件是：力系的合力等于零。同时满足即：即力系中各力在坐标轴上的投影的代数和分别等于零。例如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。xzy30oαABDGCEF1.取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。解：F1F2FAyzF1AxCEBFyFzFxFyz2.列平衡方程xzy30oαABDGCEFF1F2FAxzy30oαABDGCEFF1F2FAyzF1AxCEBFyFzFxFyz3.联立求解。xzy30oαABDGCEFF1F2FA三、力对轴之矩以门绕z轴的转动为例来讨论。将力F分解成Fz和Fxy，可见

Mz(Fz)=0;Mz(Fxy)=MO(Fxy)力F对z轴之矩Mz(F)等于力在垂直于z轴的平面内的分量Fxy对z轴与该平面的交点O之矩。力与轴相交或平行（力与轴共面）时，对轴之矩为零。故力F对轴z之矩可写为：Mz(F)=MO(F