北京市海淀区九年级(上)期中数学试卷-

九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共

8

小题，共

16.0

分）1.抛物线

y=x2+1

的对称轴是（ ）A.

直线

x=−1 B.

直线

x=1C.

直线

x=0D.

直线

y=12.点

P（2，-1）关于原点对称的点

P′的坐标是（ ）A.

(−2,1) B.(−2,−1) C.

(−1,2)D.

(1,−2)3.下列

App

图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）A.B.C.D.4.用配方法解方程

x2-2x-4=0，配方正确的是（ ）A.

(x−1)2=3 B.

(x−1)2=4 C.

(x−1)2=5 D.

(x+1)2=3如图，以

O

为圆心的两个同心圆中，大圆的弦

AB

是小圆的切线，5.点P

为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB

的长为（232252）6.将抛物线

y=（x+1）2-2向上平移

a

个单位后得到的抛物线恰好与

x

轴有一个交点，则

a

的值为（A.

−1）B.1 C.

−2D.

27.如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A.B.C.D.8.已知一个二次函数图象经过

P1（-3，y1），P2（-1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若

y3＜y2＜y4，则

y1，y2，y3，y4的最值情况是（ ）A.

y3最小，y1最大C.

y1最小，y4最大二、填空题（本大题共

8

小题，共

16.0

分）B.

y3最小，y4

最大D.

无法确定9.写出一个以

0和

2为根的一元二次方程：

．第

1

页，共

21

页10.若二次函数

y=ax2+bx+c

的图象如图所示，则

ac

0（填“＞”或“=”或“＜”）．11.12.若关于

x的方程

x2-4x+k-1=0

有两个不相等的实数根，则

k的取值范围是

．如图，四边形ABCD

内接于⊙O，E

为直径CD

延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE

的大小为

．13.已知

O为△ABC

的外接圆圆心，若

O在△ABC

外，则△ABC

是

（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017

年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015

年和

2017

年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国

2015

至

2017

年新能源汽车保有量年平均增长率为

x，依题意，可列方程为

．14.15.如图，在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线

y=ax2+bx+c

与

x

轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足

y＜0

的

x

的值

．16.如图，⊙O

的动弦

AB，CD

相交于点

E，且

AB=CD，∠BED=α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD=α，②∠OAB=90°-α，③∠ABC=12α

中，一定成立的是

（填序号）．三、计算题（本大题共

1

小题，共

5.0

分）17.解方程：x（x+2）=3x+6．第

2

页，共

21

页四、解答题（本大题共

11

小题，共

63.0

分）18.如图，将△ABC

绕点

B

旋转得到△DBE，且

A，D，C

三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．19.下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O

的内接正三角形．作法：如图，①作直径

AB；②以

B

为圆心，OB

为半径作弧，与⊙O

交于

C，D

两点；③连接

AC，AD，CD．所以△ACD

就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）完成下面的证明：证明：在⊙O

中，连接

OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC

为等边三角形（

）（填推理的依据）．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD（

）（填推理的依据）．∴△ACD

是等边三角形．第

3

页，共

21

页20.第

4

页，共

21

页已知-1

是方程

x2+ax-b=0

的一个根，求

a2-b2+2b

的值．21.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以

O

为圆心

AB

为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点

A

到顶棚的距离为

0.8a，顶棚到路面的距离是

3.2a，点

B到路面的距离为

2a．请你求出路面的宽度

l．（用含

a的式子表示）22.如图，在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线

y=x2+ax+b

经过点

A（-2，0），B（-1，3）．求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为

C，直接写出点

C

的坐标和∠BOC

的度数．23.如图，用长为

6m

的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x

m，窗户的透光面积为

ym2（铝合金条的宽度不计）．求出

y与

x

的函数关系式；如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24.如图，在△ABC

中，AB=AC，以

AB

为直径作⊙O

交

BC

于点

D，过点

D

作

AC

的垂线交

AC

于点

E，交

AB

的延长线于点

F．求证：DE与⊙O相切；若

CD=BF，AE=3，求

DF

的长．第

5

页，共

21

页25.第

6

页，共

21

页有这样一个问题：探究函数

y=|x−3|+x+32

的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数

y=|x−3|+x+32的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：化简函数解析式，当

x≥3

时，y=

，当

x＜3时

y=

；根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数

y=|x−3|+x+32

的图象；结合画出的函数图象，解决问题：若关于

x

的方程

ax+1=|x−3|+x+32

只有一个实数根，直接写出实数

a的取值范围：

．26.在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线

y=ax2-2x（a≠0）与

x

轴交于点

A，B（点

A

在点B

的左侧）．当

a=-1

时，求

A，B

两点的坐标；过点

P（3，0）作垂直于

x轴的直线

l，交抛物线于点

C．①当

a=2时，求

PB+PC

的值；②若点

B

在直线

l

左侧，且

PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出

a

的取值范围．27.第

7

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21

页已知∠MON=α，P

为射线

OM

上的点，OP=1．如图

1，α=60°，A，B

均为射线

ON

上的点，OA=1，OB＞OA，△PBC

为等边三角形，且

O，C两点位于直线

PB

的异侧，连接

AC．①依题意将图

1补全；②判断直线

AC

与

OM的位置关系并加以证明；若

α=45°，Q

为射线

ON上一动点（Q

与

O

不重合），以

PQ

为斜边作等腰直角△PQR，使

O，R

两点位于直线

PQ

的异侧，连接

OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR

的面积．28.在平面直角坐标系

xOy

中，点

A

是

x

轴外的一点，若平面内的点

B

满足：线段

AB的长度与点

A到

x轴的距离相等，则称点

B是点

A的“等距点”．（1）若点

A

的坐标为（0，2），点

P1（2，2），P2（1，-4），P3（-3，1）中，点

A的“等距点”是

；若点

M（1，2）和点

N（1，8）是点

A

的两个“等距点”，求点

A

的坐标；记函数

y=33x（x＞0）的图象为

L，⊙T

的半径为

2，圆心坐标为

T（0，t）．若在

L

上存在点

M，⊙T

上存在点

N，满足点

N

是点

M

的“等距点”，直接写出

t

的取值范围．第

8

页，共

21

页答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵抛物线

y=x2+1，∴抛物线对称轴为直线

x=0，即

y

轴，故选：C．由抛物线解析式可直接求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k

中，对称轴为

x=h，顶点坐标为（h，k）．2.【答案】A【解析】解：点

P（2，-1）关于原点对称的点

P′的坐标是（-2，1），故选：A．根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．3.【答案】B【解析】解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；B．此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，符合题意；C．此图案是轴对称图形，不符合题意；D．此图案是中心对称图形，不符合题意；故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转

180°后与原图重合．4.【答案】C【解析】解：∵x2-2x-4=0∴x2-2x=4∴x2-2x+1=4+1∴（x-1）2=5故选：C．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．此题主要考查了解一元二次方程的解法---配方法，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为

1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是

2的倍数．5.【答案】A【解析】解：如图：连接

OP，AO∵AB

是⊙O

切线∴OP⊥AB，∴AP=PB= AB在

Rt△APO

中，AP=∴AB=2故选：A．=由题意可得

OP⊥AB，AP=BP，根据勾股定理可得

AP

的长，即可求

AB

的长．本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练运用垂径定理是本题是关键．【答案】D【解析】解：新抛物线的解析式为：y=（x+1）2-2+a=x2+2x-1+a，∵新抛物线恰好与

x轴有一个交点，∴△=4-4（-1+a）=0，解得

a=2．故选：D．根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与

x轴有一个交点得到△=0，由此求得

a

的值．考查了抛物线与

x

轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故

a

不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【答案】B【解析】解：A．此图案绕中心旋转

36°或

36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；此图案绕中心旋转

45°或

45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；此图案绕中心旋转

60°或

60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；此图案绕中心旋转

72°或

72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B．根据旋转对称图形的概念解答．第

9

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21

页第

10

页，共

21

页本题主要考查旋转对称图形，解题的关键是掌握如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于

360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．【答案】A【解析】解：∵二次函数图象经过

P1（-3，y1），P2（-1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在

0和

1

之间，∴P1（-3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3

最小，y1

最大，故选：A．根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0

和1

之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．【答案】x2-2x=0【解析】解：∵0+2=2，0×2=0，所以以

0和

2

为根的一元二次方程为

x2-2x=0，故答案为：x2-2x=0．此题为一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个即可．本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．【答案】＜【解析】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与

y轴的交点为在

y

轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．首先由抛物线的开口方向判断

a

与

0

的关系，由抛物线与

y

轴的交点判断

c与

0的关系，进而判断

ac

与

0的关系．考查二次函数

y=ax2+bx+c

系数符号的确定．二次项系数a

决定抛物线的开口方向和大小．常数项

c决定抛物线与

y轴交点．【答案】k＜5【解析】解：根据题意得△=（-4）2-4（k-1）＞0，解得

k＜5．故答案为

k＜5．第

11

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21

页根据判别式的意义得到△=（-4）2-4（k-1）＞0，然后解一元一次不等式即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程

ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac

有如下关系：当△＞0

时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0

时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0

时，方程无实数根．【答案】110°【解析】解：∵∠C=70°，AB∥CD，∴∠B=70°∴∠ADE=110°．故答案为：110°．根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．【答案】钝角三角形【解析】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．又∵O

为△ABC

的外接圆圆心，若

O

在△ABC

外，∴△ABC

是钝角三角形，故答案为钝角三角形．根据锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部；判断即可；本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是记住：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．14.【答案】45.1（1+x）2=172.9【解析】解：设我国

2015

至

2017年新能源汽车保有量年平均增长率为

x，根据题意得：45.1（1+x）2=172.9．故答案为：45.1（1+x）2=172.9．设我国

2015

至

2017

年新能源汽车保有量年平均增长率为

x，根据统计图中2015

年及2017

年的我国新能源汽车保有量，即可得出关于x

的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】2（答案不唯一）【解析】解：∵在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线

y=ax2+bx+c

与

x

轴交于（1，0），（3，0）两点，∴当

y＜0的

x

的取值范围是：1＜x＜3，∴x

的值可以是

2．故答案是：2（答案不唯一）．根据函数图象可以直接得到答案．考查了抛物线与

x

轴的交点坐标，需要学生熟悉二次函数图象的性质并要求学生具备一定的读图能力．16.【答案】①③【解析】解：如图，连接

OC，设

OB

交

CD

于

K．∵AB=CD，OD=OC=OB=OA，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠CDO=∠OBA，∵∠DKO=∠BKE，∴∠DOK=∠BEK=α，即∠BOD=α，故①正确，不妨设，∠OAB=90°-α，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OBE+∠BEK=90°，∴∠BKE=90°，∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误，∵CD=AB，∴ = ，∴ = ，∴∠ABC= ∠DOB= α，故③正确．故答案为①③．如图，连接

OC，设

OB

交CD

于K．利用全等三角形的性质以及圆周角定理一一判断即可；本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：x（x+2）-3（x+2）=0，（x+2）（x-3）=0，x+2=0或x-3=0，所以

x1=-2，x2=3．【解析】先变形得到

x（x+2）-3（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为

0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为

0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．第

12

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页18.【答案】证明：∵将△ABC

绕点

B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA=BD．∴∠A=∠ADB．∵∠A=∠BDE，∴∠ADB=∠BDE．∴DB平分∠ADE．【解析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到

BA=BD，从而得到∠A=∠ADB，根据∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE，从而证得结论．本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．19.【答案】三条边都相等的三角形是等边三角形对的弦相等【解析】（1）解：如图，△ACD为所作；在同圆或等圆中，相等的圆心角所（2）证明：在⊙O

中，连接

OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴△ACD是等边三角形．故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．利用画圆的方法作出

C、D两点，从而得到△ACD；在⊙O

中，连接OC，OD，BC，BD，利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形，则∠BOC=60°，接着分别计算出∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC=CD=AD，从而判断△ACD是等边三角形．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20.【答案】解：∵-1

是方程

x2+ax-b=0的一个根，∴1-a-b=0，第

13

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页∴a+b=1，∴a2-b2+2b=（a+b）（a-b）+2b=a-b+2b=a+b=1．【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到

1-a-b=0，即

a+b=4，然后利用整体代入的方法计算代数式

a2-b2+2b的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根．21.【答案】解：如图，连接

OC，AB

交

CD

于

E，由题意知：AB=0.8a+3.2a+2a=6a，所以

OC=OB=3a，OE=OB-BE=3a-2a=a，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过

O，∴CD=2CE，在

Rt△OCE

中，由勾股定理得：CE=OC2−OE2=(3a)2−a2=22a，∴CD=2CE=42a，所以路面的宽度

l为

42a．【解析】连接

OC，求出

OC

和

OE，根据勾股定理求出

CE，根据垂径定理求出

CD

即可．本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出

CE

的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．22.【答案】解：（1）∵抛物线

y=x2+ax+b经过点

A（-2，0），B（-1，3），∴4−2a+b=01−a+b=−3，解得

a=6b=8，∴y=x2+6x+8．（2）∵y=x2+6x+8=（x+3）2-1，∴顶点

C坐标为（-3，-1），∵B（-1，3）．∴OB2=12+32=10，OC2=32+12=10，BC2=[（-3）-（-1）]2+（-1-3）2=20，∴OB2+OC2=BC2，则△OBC是以

BC

为斜边的直角三角形，∴∠BOC=90°．【解析】第

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21

页第

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页将点

B，C

的坐标代入解析式得出关于

a，b

的方程组，解之可得；将抛物线解析式配方成顶点式得出点

C

的坐标，再根据两点间的距离公式求出

OB2=10，OC2=10，BC2=20，从而依据勾股定理逆定理求解可得．本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据题意灵活设出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质与勾股定理逆定理．23.【答案】解：（1）∵大长方形的周长为

6m，宽为

xm，∴长为

6−3x2m，∴y=x•(6−3x)2=-32x2+3x（0＜x＜2），（2）由（1）可知：y

和

x

是二次函数关系，a=-32＜0，∴函数有最大值，当

x=-32×(−32)=1

时，y最大=32m2．答：窗框的长和宽分别为

1.5m

和

1m

时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为

1.5m2．【解析】由题意可知窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y

和

x的函数关系式；由（1）中的函数关系可知

y

和

x

是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．本题考查的是长方形的面积公式及二次函数的最值问题，属较简单题目．24.【答案】（1）证明：连接

OD，∵AB

是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴∠1=∠2，∵OA=OD，∴∠2=∠ADO，∴∠1=∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF=∠AED=90°，∴OD⊥ED，∵OD过

0，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠1=∠2，CD=BD，∵CD=BF，∴BF=BD，∴∠3=∠F，∴∠4=∠3+∠F=2∠3，∵OB=OD，∴∠ODB=∠4=2∠3，∵∠ODF=90°，∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°，∵∠ADB=90°，∴∠2=∠1=30°，∴∠2=∠F，∴DF=AD，∵∠1=30°，∠AED=90°，∴AD=2ED，∵AE2+DE2=AD2，AE=3，∴AD=23，∴DF=23．【解析】连接

OD，求出

AC∥OD，求出

OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；求出∠1=∠2=∠F=30°，求出

AD=DF，解直角三角形求出

AD，即可求出答案．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．25.【答案】x

3a＜0

或

a≥1

或

a=23【解析】解：（1）当x≥3

时，y== =3；==x；当x＜3

时，y=故答案为

x，3；（2）根据（1）中的结果，画出函数

y=的图象如下：第

16

页，共

21

页（3）根据画出的函数图象，当

a＜0时，直线

y=ax+1与函数

y= 只有一个交点；当

a≥1

时，直线

y=ax+1

与函数

y=3（x＜3）的图象有一个交点，与函数

y=x（x≥3）无交点；当

a= 时，直线

y= x+1

经过点（3，3）．故若关于

x的方程

ax+1= 只有一个实数根，实数

a

的取值范围：a＜0或a≥1

或

a= ，故答案为

a＜0或

a≥1

或

a= ．根据题意，化简函数解析式即可．根据化简的解析式画出图象即可．根据图象即可求得．本题考查了一次函数的图象和性质，关键是能根据解析式画出图象．26.【答案】解：（1）当

a=-1

时，有

y=-x2-2x．令

y=0，得：-x2-2x=0．解得

x1=0，x2=-2．∵点

A在点

B的左侧，∴A（-2，0），B（0，0）．（2）①当

a=2

时，有

y=2x2-2x．令

y=0，得

2x2-2x=0．解得

x1=0，x2=1．∵点

A在点

B的左侧，∴A（0，0），B（1，0）．∴PB=2．当

x=3

时，yC=2×9-2×3=12．∴PC=12．∴PB+PC=14．②点

B在直线

l左侧，如图所示：第

17

页，共

21

页∵PB+PC≥14，∴3-x+ax2-2x≥14，可得：a≤-59

或

a≥2．【解析】把

a=-1

代入解析式解答即可；①把

a=2

代入解析式解答即可；②根据

PB+PC≥14，得出

a的取值范围即可．本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用二次方程的解法解答．27.【答案】解：（1）①如图所示：②结论：AC∥OM．．理由：连接

AP∵OA=OP=1，∠POA=60°，∴△OAP

是等边三角形．∴OP=PA，∠OPA=∠OAP=60°，∵△PBC

是等边三角形，∴PB=PC，∠BPC=60°，∴∠OPA+∠APB=∠BPC+∠APB，即∠OPB=∠APC，∴△OBP≌△ACP（SAS）．∴∠PAC=∠O=60°，∴∠OPA=∠PAC，∴AC∥OM．第

18

页，共

21

页（2）作

PH⊥OQ

于

H，取

PQ

的中点

K，连接

HK，RK．∵∠PHQ=∠PRQ=90°，PK=KQ，∴HK=PK=KQ=RK，∴P，R，Q，H

四点共圆，∴∠RHQ=∠RPQ=45°，∴∠RHQ=∠POQ=45°，∴RH∥OP，∴S△POR=S△POH=12×22×22=14．【解析】①根据题意，周长图形即可；②只要证明△OBP≌△ACP（SAS）即可解决问题；作

PH⊥OQ于

H，取

PQ

的中点

K，连接

HK，RK．只要证明

OP∥RH

即可解决问题；本题考查作图-复杂作图、平行线的判定、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、四点共圆