第六章 IIR数字滤波器

第6章无限冲激响应(IIR） 滤波器设计6.1滤波器的基本概念；6.2模拟低通滤波器设计；6.3冲激响应不变法；6.4双线性Z变换法；6.5数字高通、带通及带阻滤波器设计；1.滤波原理6.1滤波器的基本概念若中的有用成分和希望去除的成分 各自占有不同的频带,通过一个线性系统可将有效去除.分类:低通(LP),高通(HP),带通(BP),带阻(BS)2.滤波器的分类加法性噪声经典滤波器每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器.对数字滤波器,从实现方法上,有IIR滤波器和FIR滤波器之分,转移函数分别为:FIRDF:IIRDF:现代滤波器维纳滤波器是这类滤波器的典型代表种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器乘法性噪声卷积性噪声信号的频谱和噪声道频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。0通带过度带阻带1(或)3.滤波器的技术要求低通：绝对指标分别为通带和阻带的容限相对指标（dB）---常用0通带允许的最大衰减；阻带内应达到的最小衰减单位(dB)若幅度下降到0.707,则幅平方下降0.5（半功率点）：若幅度下降到0.01：高通：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减带通：为带宽。：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减带阻：：通带允许的最大衰减；：阻带内应达到的最小衰减1.给定所设计的滤波器的技术指标：LP,HPBP,BS2.设计出一个，使满足给定的技术要求没有考虑相位？如何设计数字滤波器设计的一般步骤:6.2模拟低通滤波器的设计一、概述上面两式将要求的衰减和模拟滤波器的幅平方特性联系了起来。注意，由于衰减指标只有两个，因此也只能和幅平方特性的两个特殊频率相联系。我们的目的是由幅平方特性求出模拟滤波器的转移函数，如何将二者联系起来？因为所以，由注意，由于衰减指标只有两个，只能和幅平方特性的两个特殊频率相联系，因此，幅平方特性的表达式必须简化。将按不同的原则简化，可得到不同形式的滤波器，即不同的表达式：1.巴特沃兹(Butterworth)滤波器称为截止频率，N称为滤波器阶数。2.切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器其中3.切比雪夫II型滤波器：Jacobian函数本课程只讨论Butterworth和Chebyshev-I滤波器的设计（二者都是全极点型）4.椭圆滤波器由有二、Butterworth滤波器的设计

1.确定截止频率和滤波器阶数N：分别将，代入得：两式的比为(i)(ii)(6.1)则可以是以下区间的任意数值由式(i),(ii)可分别得到(6.2)2.确定求极点：令则有或写成即2N个极点均匀分布在s平面半径为的圆上，取左半平面的N个赋予，右半平面的N个赋予对有：所求的传递函数为在虚轴上和右半平面内无极点，因果稳定。(6.4)注意:（1）将成对共轭极点对应的两个因子相乘，可将传递函数化成实系数二阶网络级联结构.（2）指标，的单位是：弧度/秒；若给定频率（Hz）指标，利用公式化成角频率。(6.3)3.巴特沃思滤波器幅频响应的特点:（2）.当时，“最平”幅频响应滤波器.（4）.当时，单调减少，衰减速度比通带快，N越大，衰减越快。例8.1(P292)例8.3(p296)给定如下技术指标，设计模拟低通Butterworth滤波器习题P8.1(P365)切比雪夫多项式：当三、切比雪夫I型模拟低通滤波器设计令：两式相加得递推公式：由定义可知：由递推公式知确是的多项式。首项系数是由定义有设计步骤：2.求和注意：因此：时，切比雪夫多项式要重新定义，采用双曲函数：求n要利用另外的条件：必须不大于1其中在这种定义下得到的仍为多项式且与有相同形式。将代入得到注意到则有即其中d，k分别为定义过的判别因子和选择性因子。3.确定求根其中令可得注：最后导出：切比雪夫滤波器的极点分布

反映了实际频率最后得到转移函数为：思考题：以例8.5为例按上述关键步骤编写Matlab程序求切比雪夫I型低通滤波器的传递函数。6.3用冲激响应不变法设计IIRDF频率变换复平面映射模拟低通设计数字滤波器设计步骤:由s平面到z平面：时域：复频域：双边Laplace变换

对离散信号做拉普拉斯变换令：即：这是抽样信号的L变换与z-变换之间的关系。而z平面与s平面之间的映射关系为映射关系讨论：令则由（为方便可以用T代替Ts）有由指数函数的周期性有s平面每一条宽度为的左半带形区域都重叠映射到z平面的单位圆内。非带限信号会产生频率混叠。利用上一节的方法，可设计出模拟滤波器获得数字滤波器H(z)最直接的方法可以如下：利用：？但这样做，将不再是的有理多项式，给极－零分析带来困难。令：冲激响应不变法模拟滤波器的冲激响应数字滤波器的单位抽样响应若则其拉氏逆变换为在因果稳定的前提下就有注：用欧拉公式将正弦函数换成指数函数再求和。步骤:缺点:？线性转换关系例6.3设模拟滤波器的系统函数为试用冲击响应不变法,设计IIR数字滤波器.解:G(s)有两个一级极点s1=-1,s2=-3,故所求数字滤波器的系统函数为6.4用分式线性映射(双线性变换)法设计IIRDF做正切变换实现频率压缩则注意到则有双线性变换关系：将