高中数学北师大版4第二章参数方程

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.▱ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D的坐标是()A.(9，－1) B.(－3,1)C.(1,3) D.(2,2)【解析】设D点坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kAB＝kDC，,kAD＝kBC.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－0,－1－3)＝\f(y－1,x－5)，,\f(2－y,－1－x)＝\f(0－1,3－5)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))故D点坐标为(1,3).故应选C.【答案】C2.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A.两条直线 B.四条直线C.两个点 D.四个点【解析】由方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,y2－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))故选D.【答案】D3.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝eq\f(1,3)cos2x按伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y))后为()＝cosx ＝3coseq\f(1,2)x＝2coseq\f(1,3)x ＝eq\f(1,2)cos3x【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x，,y′＝3y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′,2)，,y＝\f(y′,3).))代入y＝eq\f(1,3)cos2x，得eq\f(y′,3)＝eq\f(1,3)cosx′.∴y′＝cosx′，即曲线y＝cosx.【答案】A4.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()＋y－1＝0 ＋y＋3＝0－y＋1＝0 －y＋3＝0【解析】因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】C5.平面内有一条固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是()【导学号：12990002】\f(3,2) \f(1,2) 【解析】以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一部分.2c＝4，c＝2,2a＝3，∴a＝eq\f(3,2)，∴b2＝c2－a2＝4－eq\f(9,4)＝eq\f(7,4).∴点P的轨迹方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,\f(7,4))＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(3,2))).由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是eq\f(3,2).【答案】A二、填空题轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________.【解析】如果x轴上的单位长度不变，y轴上的单位长度缩小为原来的eq\f(1,2)，圆x2＋y2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆.【答案】椭圆7.已知点A(－2,0)，B(－3,0)，动点P(x，y)满足eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))＝x2＋1，则点P的轨迹方程是____________.【解析】由题意得eq\o(PA,\s\up8(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up8(→))＝(－3－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(PB,\s\up8(→))＝(－2－x)(－3－x)＋(－y)2＝x2＋1，即y2＋5x＋5＝0.【答案】y2＋5x＋5＝08.如图1­1­2所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝eq\f(1,3)AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________.图1­1­2【解析】过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连结PH，PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)))2＋y2))＝1，化简得y2＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,9).【答案】y2＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,9)三、解答题9.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，求城市B处于危险区内的时间.【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B点坐标为(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝eq\f(40,\r(2))＝20eq\r(2).求得|MN|＝2eq\r(302－d2)＝20(km).所以eq\f(|MN|,20)＝1，所以城市B处于危险区内的时间为1h.为定点，线段BC在定直线l上滑动.已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程.【解】建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图)，则A点的坐标为(0,3).设外心P点的坐标为(x，y).∵P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)，C(x－2,0).∵P也在AB的垂直平分线上，∴|PA|＝|PB|，即eq\r(x2＋y－32)＝eq\r(22＋y2)，化简得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程.能力提升]1.方程x2＋xy＝0的曲线是()A.一个点 B.一条直线C.两条直线 D.一个点和一条直线【解析】x2＋xy＝x(x＋y)＝0，即x＝0或x＋y＝0.故方程x2＋xy＝0表示两条直线.【答案】C2.已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是()【导学号：12990003】\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1 \f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1(x<－3)\f(x2,27)－eq\f(y2,9)＝1 \f(x2,27)－eq\f(y2,9)＝1(x<－3)【解析】由题意知，B(－6,0)，C(6,0)由sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA，得b－c＝eq\f(1,2)a＝6，即|AC|－|AB|＝6.所以点A的轨迹是以B(－6,0)，C(6,0)为焦点，2a＝6的双曲线的左支且y≠0.其方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1(x<－3).【答案】B3.曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于eq\f(1,2)a2.其中，所有正确结论的序号是________.【解析】因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝eq\f(1,2)a2，即面积不大于eq\f(1,2)a2，所以③正确.【答案】②③4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图1­1­3，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,25)＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(64,7)))为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0).观测点A(4,0)，B(6,0).图1­1­3(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】(1)设曲线方程为y＝ax2＋eq\f(64,7)，∵点D(8,0)在抛物线上，∴a＝－eq\f(1,7)，∴曲线方程为y＝－eq\f(1,7)x2＋eq\f(64,7).(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知eq\b\lc\{