高中数学人教B版第一章立体几何初步 6

第15课时1.2.3课时目标1.理解面面垂直的概念．2．掌握面面垂直的判定定理和性质定理．3．理解线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化．识记强化1．如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．2．如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．3．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，则四棱锥的五个面PAB，PAD，PCD，PBC和ABCD中，互相垂直的有()A．3对B．4对C．5对D．6对答案：C解析：由题意，知PA⊥平面ABCD，BC⊥平面PAB，AD⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，故平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PAD，平面PAD⊥平面PCD，共5对，故选C.2．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED答案：D解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．3．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直答案：C解析：因为b∥α，所以在α中必有一条直线c与b平行，因为a⊥平面α，所以a⊥b.4．已知直线m，n，平面α，β，且m⊥α，n⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥n；②若α⊥β，则m∥n；③若m⊥n，则α∥β；④若m∥n，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：因为α∥β，且m⊥α，所以m⊥β，又n⊂β，所以m⊥n，故①正确；②中的m，n还可能相交或异面；③中的α，β还可能相交；因为m∥n且m⊥α，所以n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，故④正确，故选B.5．若m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案：C解析：对于A，m与α可以平行，也可以斜交；对于B，α与β也可以相交；C显然正确；对于D，β与γ也可以平行．故选C.6．已知两个平面垂直，则下列命题中正确命题的个数是()①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则该垂线必垂直于另一个平面．A．3B．2C．1D．0答案：B解析：如图，正方体中互相垂直的两个平面A1ABB1，ABCD.对于①，一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线，如图中直线A1B与AB不垂直；②显然正确；对于③，一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，如图中直线AB；对于④，由面面垂直的性质定理，知④正确．故选B.二、填空题(每个5分，共15分)7.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AB＝AD＝3，AC＝5，BC＝4，则四面体ABCD的各面中有________组平面互相垂直．答案：三解析：∵AD⊥平面ABC，∴平面ABD⊥平面ABC，平面ACD⊥平面ABC；可得BC⊥平面ABD，∴平面BCD⊥平面ABD.8．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.答案：②③④⇒①(或①③④⇒②)解析：由α⊥β，n⊥β，m⊥α，可以推出m⊥n；由m⊥n，n⊥β，m⊥α，可以推出α⊥β.9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(填写一个你认为正确的条件即可)．答案：DM⊥PC(答案不唯一)解析：连接AC.由题意，可知AC⊥BD，PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题10．(12分)如图所示，设AB是⊙O的直径，C是圆周上的任一点，PA⊥面ABC.求证：面PAC⊥面PBC.证明：在⊙O中，AB是直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，又PA⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴PA⊥BC，又AC∩PA＝A，故BC⊥面PAC.∵BC⊂面PBC，∴面PAC⊥面PBC.11．(13分)如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O1，O分别是上、下底面的中心，A1O⊥平面ABCD(1)求证：平面O1DC⊥平面ABCD.(2)若点E在棱AA1上，且AE＝2EA1，则在棱BC上是否存在点F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，请说明理由．解：(1)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC与BD的交点为O，O1为A1C1∵AA1綊CC1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，∴四边形A1O1CO为平行四边形，∴A1O∥CO1∵A1O⊥平面ABCD，∴CO1⊥平面ABCD.∵CO1⊂平面O1DC，∴平面O1DC⊥平面ABCD.(2)F为BC的三等分点(靠近点B)时，有EF⊥BC.过点E作EH⊥AC于点H，连接FH，则EH∥A1O.∵A1O⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥EH.∵eq\f(AE,AA1)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AH,AC)＝eq\f(1,3).又eq\f(BF,BC)＝eq\f(1,3)，∴HF∥AB.又AB⊥BC，∴HF⊥BC，∴BC⊥平面EFH.∵EF⊂平面EFH，∴EF⊥BC.能力提升12．(5分)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA＝AB.(1)求证：平面PCE⊥平面PCD；(2)求点D到平面PCE的距离．解：(1)如图，取PD的中点F，连接AF，则AF⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥DA，PA∩DA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD.∴AF⊥平面PCD.取PC的中点G，连接EG，FG.∵FG綊eq\f(1,2)DC，AE綊eq\f(1,2)DC，∴AFGE为平行四边形，∴AF∥EG.∴EG⊥平面PCD.∵EG⊂平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD.(2)过点D作DH⊥PC于点H.∵平面PCE⊥平面PCD，∴DH⊥平面PCE，即DH为点D到平面PCE的距离．在Rt△PAD中，PA＝AD＝a，则PD＝eq\r(2)a.在Rt△PCD中，PD＝eq\r(2)a，CD＝a，则PC＝eq\r(3)a，∴DH＝eq\f(PD·DC,PC)＝eq\f(\r(6),3)a.13．(15分)如图所示，已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E.(1)求证：AP⊥平面BDE；(2)求证：平面BDE⊥平面BDF.证明：(1)∵PC⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，∴PC⊥BD.由AB＝BC，D为AC的中点，得BD⊥AC.又PC∩AC＝