高中数学高考一轮复习一轮复习 函数模型及其应用

课时作业(十四)函数模型及其应用1．(多选)(2023·玄武区月考)某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是()A．x＝10时取最小值 B．x＝45时取最小值C．最小值为850万元 D．最小值为360万元BD[由题知一年总运费为eq\f(900,x)×9＝eq\f(8100,x).一年的总运费与总存储费用之和为4x＋eq\f(8100,x)≥2eq\r(4x·\f(8100,x))＝360，当且仅当4x＝eq\f(8100,x)，即x＝45时，等号成立，所以，当x＝45时，一年的总费用与总存储费用之和最小为360万元．故选BD.]2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()D[依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．]3.(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则()A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为元B．甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝＋1C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)ABCD[由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为元，故A正确；甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1＝＋1，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝元，故C正确；易知当x>2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)，故D正确，故选ABCD.]4．2023年5月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受阳光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：购票人数1～5051～100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为()A．20 B．30C．35 D．40B[设两个旅游团队的人数分别为a，b，且a，b∈N*，不妨令a≥b.∵1290不能被13整除，∴a＋b≥51.若51≤a＋b≤100，则11(a＋b)＝990，得a＋b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a＋13b＝1290，②联立①②解得b＝150，a＝－60，不符合题意；若a＋b>100，则9(a＋b)＝990，得a＋b＝110，③由共需支付门票费为1290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，得11a＋13b＝1290，④联立③④解得a＝70，b＝40.∴这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B.]5．射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢的密度为，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈1，结果精确到()A． B．C． D．C[由射线测厚技术原理公式得eq\f(I0,2)＝I0e－×μ，∴eq\f(1,2)＝e－μ，－ln2＝－μ，μ≈，故选C.]6．要制作一个容积为16m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元．侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解析：设长方体容器底面矩形的长、宽分别为xm，ym，由题意可知xy＝16，即y＝eq\f(16,x)，所以容器的总造价为z＝2(x＋y)×1×10＋20xy＝20(x＋eq\f(16,x))＋20×16，由基本不等式得，z＝20(x＋eq\f(16,x))＋20×16≥40eq\r(x·\f(16,x))＋320＝480，当且仅当x＝y＝4，即底面是边长为4m的正方形时，总造价最低．答案：4807．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则它的销售额应为________万元．解析：依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(alog48＋b＝1，,alog464＋b＝4，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4.))解得a＝2，b＝－2，所以y＝2log4x－2，当y＝8时，即2log4x－2＝8，解得x＝1024(万元).答案：10248．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt，0<t<\f(1,2)，,\f(1,kt)，t≥\f(1,2)，))(如图所示)实验表明，当药物释放量y<(mg/m3)时对人体无害．(1)k＝________；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．解析：(1)由题图可知，当t＝eq\f(1,2)时，y＝1，∴eq\f(2,k)＝1，∴k＝2.(2)由(1)可知：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2t，0<t<\f(1,2)，,\f(1,2t)，t≥\f(1,2)．))当t≥eq\f(1,2)时，y＝eq\f(1,2t)，令y<，得t>eq\f(2,3)，∴在消毒后至少经过eq\f(2,3)小时，即40分钟人方可进入房间．答案：(1)2(2)409．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．(1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．解析：(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2；当4<x≤20时，设v＝ax＋b，a≠0显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函数v＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，x∈N＋,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤∈N＋))(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20，))当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4<x≤20时，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝.所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米．10．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(eq\f(1,2))mt(c，m为常数).(1)求c，m的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解析：(1)由题意可列方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c（\f(1,2)）4m,32＝c（\f(1,2)）8m，))两式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4)．))(2)由题意可列不等式128(eq\f(1,2))eq\f(1,4)t≤，所以(eq\f(1,2))eq\f(1,4)t≤(eq\f(1,2))8，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．11．(创新型)我们定义函数y＝[x]，([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”．例如[]＝4，[5]＝5，{}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费(单位：元)()A．2[x＋1] B．2([x]＋1)C．2{x} D．{2x}C[如x＝1时，应付费2元，此时2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，排除A，B项；当x＝时，付费为2元，此时{2x}＝1，排除D项．故选C项．]12．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.解析：依题意有192＝eb，48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以e22k＝eq\f(48,eb)＝eq\f(48,192)＝eq\f(1,4)，所以e11k＝eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)(舍去)，于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)×192＝24(h).答案：2413.尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝＋.(1)已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于级的为“小地震”，介于级到级之间的为“有感地震”，大于级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；(2)2023年汶川地震为里氏8级，2023年日本地震为里氏9级，问：2023年日本地震所释放的能量是2023年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取eq\r(10)＝解析：(1)由题意知E＝1012.代入lgE＝＋M，化简得M＝eq\f(lg1012－,＝eq\f(12－,＝.因为>，所以该次地震为“破坏性地震”．(2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2焦耳．由题意知，lgE1＝＋×8＝，lgE2＝＋×9＝，即E1＝，E2＝所以eq\f(E2,E1)＝＝10eq\r(10)，取eq\r(10)＝，得eq\f(E2,E1)＝32.故2023年日本地震所释放的能量是2023年汶川地震所释放的能量的32倍。14．某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和eq\f(y,x)的范围；(2)现有两个奖励函数模型：①y＝eq\f(x,150)＋2；②y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．解析：(1)y＝f(x)的定义域是[10，1000]，值域是(0，9]，eq\f(y,