信息分析与预测：层次分析法(AHP法)

层次分析法(AHP法)

(AnalyticHierarchyProcess)定量分析方法（一）生活中最常见的行为是？决策管理预测评价选择……层次分析法与决策在日常生活中我们常常面临各种选择：就医选择医院；入学选择学校；就业选择单位；旅游选择地点；购物选择商品；科研选择课题；

……

面临选择时需要做出决策，而往往鱼和熊掌不可兼得，因为资源和条件是有限的。在这种情况下，我们该如何决策呢决策需要明确的目标；决策需要弄清给定的约束条件(资源)；决策需要可靠的依据(理论、方法、数据、信息)；决策需要考虑可能的方案(目标实现途径和效果)；决策需要丰富的经验。层次分析法与决策决策是指在既定目标和条件下的行为选择。决策通常是指在面临多种选择时需要根据一定的标准从多个方案中比较、选择出最优方案。决策大致分为三种：——因果判断，如归纳、演绎、穆勒五法；——概率推断，如统计分析法；——系统推断，如综合与分析、系统分析、层次分析。层次分析法是把复杂问题或综合问题看作是一个系统，属于决策中的系统推断和综合判断，通过把系统、综合、分析方法层次化、数量化和模型化来解决问题。层次分析法与决策品牌：海尔、新飞、容声和雪花四种电冰箱选购一种。标准：要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。要求：名牌、多功能、价廉、省电。层次分析法与决策日常生活中面临的决策问题：购物地点：泰山、杭州和承德三处选一个旅游点。标准：要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通的便利和旅游的费用。要求：玩好、住好、吃好、方便、便宜。日常生活中面临的决策问题：旅游层次分析法产生的背景客观世界复杂多样

——需要解决的问题综合、复杂系统普遍存在

——任何需要解决的问题都可以看作是一个系统许多决策问题无法定量化

——现实问题需要量化分析思维方式需要改变

——满足需要的层次分析法应运而生人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。在很多情况下单纯依靠定性分析方法或片面强调定量研究都难以解决庞杂的问题。需要定性与定量结合。层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。层次分析法的产生层次分析法的学习内容层次分析法是什么——概念层次分析法怎么用——原理层次分析法如何用——方法层次分析法有何用——应用知识要点：一、层次分析法的概念与特点二、层次分析法的基本原理三、层次分析法的实施步骤五、层次分析法的主要应用六、层次分析法的应用实例层次分析法一、层次分析法的概念与特点层次分析法的概念层次分析法(AHP法)是将复杂问题分解成组成元素，并按各元素之间的支配关系分为目标、准则、方案等层次，形成递阶层次结构，依靠一定的数学模型将定性分析的结果进行定量处理和表达的一种方法。适用于解决结构复杂、准则多且不易量化的决策问题。

层次分析法的优点系统性——将问题和对象视作系统，按照分析、比较、判断、综合的思维方式进行决策。

实用性——定性与定量相结合。

简洁性——计算简便，结果明确。一、层次分析法的概念与特点

层次分析法的局限囿旧——只能从原有的方案中优选出一个方案，没有办法得出更好的新方案；

粗略——比较、判断以及结果的计算过程很粗糙，不适用于精度较高的决策问题；

主观——从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素对整个过程的影响很大。可以采取专家群体判断来克服。一、层次分析法的概念与特点当因素过多（超过9个时），标度工作量太大，容易引起混乱，影响判断矩阵的准确性。对判断矩阵的一致性讨论过多，而对其合理性考虑不够。对判断矩阵的调整和修正没有统一的模式，多凭专家的经验和技巧，缺乏科学的理论与方法依据。一、层次分析法的概念与特点

层次分析法的局限二、层次分析法的基本原理

基本原理把复杂系统分解成目标、准则和方案等层次；把人的决策思维过程层次化、数量化、模型化；对非定量事件进行定量化处理；将定性分析与定量分析有机结合；将参与决策的专家经验判断定量化。

基本思路将复杂系统的问题分解成相互关联的元素；分析元素之间的隶属关系并建立递阶层次结构；通过成对比较的方式确定同一层次中各元素相对于上一层共同准则的重要性权值；综合参与决策的专家意见，进行综合评价，确定备选方案相对重要性的总排序。层次分析法主要利用特征向量原理来推导结果。二、层次分析法的基本原理

特征向量原理假定要对n个物体A1，A2，…，An进行重量排序，将其重量分别设为W1，W2，…Wn，虽然这n个物体的重量是未知的，但它们之中任意两个物体的相对重量是可以判断的，于是可以得到由重量比值为元素构成的判断矩阵。将其设为A，则有：

二、层次分析法的基本原理特征向量矩阵

显然向量公式（1-1）满足：（1-1）对称互反矩阵用向量W=（W1，W2，…，Wn）T右乘矩阵A，得：即

AW=nW（1-3）

（1-2）根据向量原理，若矩阵满足公式（1-3），则说明矩阵A有唯一的且不为零的最大特征根λmax，且λmax=n；W是矩阵A与最大特征根对应的特征向量，所以，只要知道矩阵A，即可求得A的最大特征根及其特征向量，从而得出这n个物体重量排序的结果；在实际工作中，由于层次分析法判断矩阵构成的特殊性（专家主观经验判断赋值），λmax的值与n之间存在着偏差，为了避免误差过大影响判断结果，需要检验判断矩阵的一致性。三、层次分析法的实施步骤层次分析法的实施步骤：采用五步法

1.建立递阶层次结构模型

2.构造判断(成对比较)矩阵

3.判断矩阵的一致性检验

4.层次单排序及一致性检验

5.层次总排序及一致性检验

层次分析法的实施流程目标概念化构造层次结构模型建立判断矩阵单层排序计算相对权重单层一致性检验是否通过总排序计算合成权重总判断一致性检验是否通过评估总结果系统分析1－9标度特征向量法层次分析法的实施流程1.建立递阶层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层三个层次，绘出递阶层次结构图（一般为树状结构图）。

最高层：决策的目的、要解决的问题，称目标层。

最低层：决策时的备选方案，称方案层。

中间层：考虑的因素、决策的准则，称准则层。层次分析法的基础：把复杂的研究对象分解成若干个相互联系的元素，将性质相同或相近的元素归为一类，形成互不相同的层次。上一层元素作为准则，对相邻下一层的某些元素起支配作用，同时受上一层元素支配。根据元素间从上至下的支配关系建立递阶层次结构模型。层次分析法的递阶层次结构模型目标层准则层方案层层次间元素的关系：在递阶层次结构模型中，上下层次之间存在着支配关系（隶属关系）。除第一层外，每个元素至少受上一层的一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层的一个元素。上下层元素的联系比同一层次中元素的联系要强得多。同一层元素之间是相互独立的（并列关系）。层次结构的类型：层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即上一层元素可能并不支配下一层的所有元素，称为不完全层次结构。若上层元素与下层元素所有元素之间都存在着逻辑关系，则称为完全层次结构。完全递阶层次结构模型不完全递阶层次结构模型确定判断准则或评价标准（划分标准）明确上下层间的逻辑关系（支配关系）如何有效建立递阶层次结构模型呢递阶层次结构模型构造的关键例1大学毕业生就业选择问题大学毕业生就业在“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说，选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）；②工作收入较好（待遇好）；③单位名声好（声誉等）；④生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。工作选择可供选择的单位P1’

P2，…Pn

目标层准则层方案层贡献收入晋升机会声誉工作环境生活环境大学生就业选择的层次结构模型目标层O(选择旅游地)P2杭州P1泰山P3承德准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2.选择旅游地的层次结构模型如何在3个目的地中按照景色、费用、居住、饮食、交通等因素选择最佳旅游地点。2.构造判断(成对比较)矩阵

层次分析法的核心：建立判断矩阵；确定各元素的权重：采用一致矩阵法确定各层次各元素之间的权重（采用成对比较的互反矩阵）；权重确定的方法：采用同层元素两两比较法；具体操作方法：在确定了层次结构之后，上一层的一个元素对应下一层的一组元素，将上层元素看作约束条件，把与其对应的下层元素进行两两比较，所得结果构成判断矩阵。其中O1为与某层次元素A1，A2，…，An有联系的上一层次的一个因素；aij表示两元素Ai与Aj相对于O1的重要程度；进行两两比较，需要将相对重要性用统一的标准衡量，才能保证构成判断矩阵的元素具有一致性。判断矩阵元素aij的标度方法（一般采用Saaty的1～9标度作为比较标准）标度含义1表示两个因素相比，具有同样重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2，4，6，8上述两相邻判断的中值倒数因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij

设要比较各准则C1,C2,…,Cn对于目标O的重要性A是成对比较矩阵A是正互反矩阵由判断矩阵A可以确定C1,…,Cn相对于O的权向量选择旅游地目标层O(选择旅游地)准则层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C53.判断矩阵的一致性检验当判断矩阵不能保证完全一致时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化，这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的一致性程度。通常用作为度量判断矩阵偏离一致性程度的指标。CI的值越大，说明一致性越差。CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有满意的一致性CI越大，一致性越差一般的，当一致性比率时，则认为判断矩阵A具有满意的一致性，通过一致性检验。可用特征向量W作为权向量，否则就要调整判断矩阵A，使其具有满足的一致性。定义一致性比率：3.判断矩阵的一致性检验为了衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI。对于1～9阶判断矩阵，RI的值如下表所示。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n12345678911101～9阶判断矩阵RI取值表单层次排序的计算方法建立判断矩阵之后，需要进行量化处理和计算，求解最大特征根和特征向量，然后计算一致性偏差CI，查表取RI值，得出CR，进行一致性检验。求解最大特征根和特征向量的方法有：和积法、方根法和幂法。严格的计算方法是幂法，需要利用计算机进行精确计算。和积法和方根法可以利用计算器完成。下面介绍和积法与方根法的计算过程。4.单层次排序及一致性检验（一）和积法：设有一个的判断矩阵A其中（AW）i表示向量AW的第i个元素（5）进行一致性检验首先计算一致性偏差CI=(λmax–n)/(n-1)然后计算随机一致性比率CR=CI/RI若CR≦0.1，则判断矩阵A满足一致性检验。用和积法进行单层次排序及一致性检验计算实例解:(1)用和积法计算①将判断矩阵A的每一列进行归一化处理设有判断矩阵AAAWAWAWAWAWAW（二）方根法：设有一个的判断矩阵A（5）进行一致性检验首先计算出一致性偏差CI=(λmax–n)/(n-1)然后计算随机一致性比率CR=CI/RI若CR≦0.1，则判断矩阵A满足一致性检验。解:(2)用方根法计算AAWAWAWAWA总层次排序的计算是在单层次排序的基础上，根据递阶层次结构，从最高层开始，采用逐层叠加的方法，由高到低进行合成排序，从而得到最终总排序结果。具体的计算方法是：假设C是紧邻总目标层的第一层，且C有n个元素C1，C2，…，Cn。经计算，C层的单层次排序权值为c1，c2，…，cn；与C相邻的下一层D有m个元素D1，D2，…，Dm，且相对于Cj的单层次排序权值为d1j，d2j，…，dmj，则D层次相对于总目标的排序权值如下表所示。5.总层次排序及一致性检验层次总排序权值表

以上考虑的是完全递阶层次结构模型：上一层元素对下一层各元素都有支配关系。不完全递阶层次结构模型的层次总排序权值计算可以只考虑上一层与下一层有支配关系的相应元素。在计算层次总排序权值时，每递推一层，就要进行一次一致性检验。假设Cj支配的D层次元素构成的判断矩阵的一致性偏差为CIj，相应的平均随机一致性指标为RIj，则D层次总排序的随机一致性比率为：若CR≤0.1，则层次总排序的结果具有满意的一致性。四.层次分析法的主要应用

应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。

层次分析法的关键：建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。

层次分析法的核心：构造成对比较矩阵是量化处理的依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1

国家实力分析例2

工作选择过河的效益

A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3例3

横渡江河、海峡方案的抉择待评价的科技成果直接经济效益

C11间接经济效益

C12社会效益

C13学识水平

C21学术创新

C22技术水平

C23技术创新

C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4科技成果的综合评价五、层次分析法的应用实例实例1：某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP方法对3人进行综合评估、量化排序。目标层O选一领导干部

准则层B

方案层P⑴建立递阶层次结构模型健康状况业务知识口才写作能力工作作风政策水平健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风A的最大特征值相应的特征向量为：⑵构造成对比较矩阵一致性指标随机一致性指标RI=1.24(查表)一致性比率CR=0.07/1.24=0.0565<0.1通过一致性检验(3)单层排序及一致性检验假设3人关于6个标准的判断矩阵为：健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风可求得各属性的最大特征根值和特征向量特征值健康情况业务知识写作能力口才