高中数学苏教版1第3章导数及其应用3．1导数的概念 第3章31

导数的概念3.1.1平均变化率1.理解并会求具体函数的平均变化率.(重点)2.会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义.(难点)[基础·初探]教材整理平均变化率阅读教材P67～P68例1以上部分，完成下列问题.平均变化率1.定义：一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2.实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.3.意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.1.判断正误：(1)f(x)＝x2，f(x)在[－1,1]上的平均变化率为0.()(2)f(x)＝x2在[－1,0]上的平均变化率小于其在[0,1]上的平均变化率，所以f(x)在[－1,0]上不如在[0,1]上变化的快.()(3)平均变化率不能反映函数值变化的快慢.()【解析】(1)√.f(x)在[－1,1]上的平均变化率为eq\f(f1－f－1,1－－1)＝eq\f(1－1,2)＝0.(2)×.f(x)＝x2在[－1,0]和[0,1]上的变化快慢是相同的.(3)×.平均变化率能反映函数值变化的快慢.【答案】(1)√(2)×(3)×(x)＝eq\f(1,x)在[1,2]上的平均变化率为________.【解析】函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为eq\f(\f(1,2)－1,2－1)＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]变化率的概念及意义的应用2023年冬至2023年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图3­1­1所示，据图回答：图3­1­1(1)2023年11月到2023年12月期间，小麦受旱面积变化大吗？(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增加最快？(3)从到与从到间，小麦受旱面积平均变化率哪个大？【精彩点拨】(1)(2)根据图形进行分析；(3)利用平均变化率公式进行具体分析.【自主解答】(1)由图形可知，在2023年11月～2023年12月期间，小麦受旱面积变化不大.(2)由图形可知，在～间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增加最快.(3)从～，小麦受旱面积平均变化率为eq\f(yB－yA,4)，从～，小麦受旱面积平均变化率为eq\f(yB－yC,1)＝yB－yC，显然yB－yC＞eq\f(yB－yA,4)，所以，从～期间小麦受旱面积平均变化率大.1.若已知函数的图象，可从函数的图象上大致分析函数的变化快慢.2.利用平均变化率的计算公式可以对函数的平均变化快慢进行具体精确的分析，在实际问题中，平均变化率具有更为具体的现实意义.[再练一题]1.物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s＝s(t).在运动的过程中测得了一些数据，如下表.t/s025101315…s/m069203244…物体在0～2s和10～13s这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？【解】应该用物体运动的平均速度刻画物体运动的快慢.在0～2s这段时间内，物体的平均速度为：eq\f(6－0,2－0)＝3(m/s)；在10～13s这段时间内，物体的平均速度为：eq\f(32－20,13－10)＝4(m/s).显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.求函数的平均变化率已知函数f(x)＝eq\f(1,x2)，(1)求f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率.(x0≠0)；(2)求f(x)在2到之间的平均变化率.【导学号：24830062】【精彩点拨】(1)由于自变量出现在分母中，因此题目中给出了“x0≠0”的条件.在一些特殊条件下，如果题干中未给出这一条件，就需分类讨论.因此，本例只需直接套用公式就可以了；(2)利用(1)的结论计算.【自主解答】(1)f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x)＝eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝eq\f(\f(－Δx2x0＋Δx,x0＋Δx2x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2x0＋Δx,x0＋Δx2x\o\al(2,0)).(2)把x0＝2，Δx＝－2＝代入(1)中得到的结论可得：－eq\f(2×2＋,2＋2×22)＝－.1.求平均变化率的步骤：(1)先求x2－x1，再计算f(x2)－f(x1)；(2)由定义得出eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx).2.注意事项：计算时要对f(x2)－f(x1)进行合理的变形，以便化简.[再练一题]2.求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近的平均变化率.【解】设自变量x在x＝2附近的变化量为Δx，则平均变化率为eq\f([2＋Δx2－22＋Δx＋1]－22－4＋1,Δx)＝eq\f(Δx2＋2Δx,Δx)＝Δx＋2.[探究共研型]平均变化率的应用探究1平均变化率的定义式为eq\f(fx2－fx1,x2－x1)，它刻画了函数f(x)在区间[x1，x2]内变化的快慢，eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)表示的是函数f(x)在哪个区间上的平均变化率？【提示】[x0－Δx，x0＋Δx]探究2平均变化率为0，能否说明函数没有发生变化？【提示】不能说明.理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx取值越小，越能准确地体现函数的变化情况.在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化.如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但f(x)的图象在[－2,2]上先减后增.探究3平均变化率的几何意义是什么？平均变化率的物理意义是什么？【提示】平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB的斜率.平均变化率的物理意义是变速运动的物体s＝s(t)在某一时间段内的平均速度.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲从25m/s到0m/s花了5s，乙从18m/s到0m/s花了4s，试比较两辆车的刹车性能.【精彩点拨】计算两车的平均变化率，从而确定刹车性能.【自主解答】甲车速度的平均变化率为eq\f(0－25,5)＝－5(m/s2)，乙车速度的平均变化率为eq\f(0－18,4)＝－(m/s2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好.平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函数值在减少.[再练一题]3.人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－＋＋10.(1)求运动员在第一个s内高度h的平均变化率；(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率.【导学号：24830063】【解】(1)运动员在第一个s内高度h的平均变化率为：eq\f(h－h0,－0)＝(m/s)；(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为eq\f(h2－h1,2－1)＝－(m/s).[构建·体系]1.函数y＝x2＋ax＋b，当自变量由0变化到1时，函数值的变化量为________.【解析】函数值的变化量为f(0＋1)－f(0)＝(0＋1)2＋a(0＋1)＋b－02－a·0－b＝1＋a.【答案】1＋a2.在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及邻的一点,，则该曲线在[1,]上的平均变化率为________.【解析】eq\f－2,－1)＝eq\f,＝【答案】3.如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,]中相应的平均速度是________(m/s).【解析】eq\x\to(v)＝eq\f(3＋－3＋22,＝(m/s).【答案】4.函数y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上的平均变化率是________.【解析】函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上的平均变化率是eq\f(sinπ－sin\f(π,2),π－\f(π,2))＝eq\f(－1,\f(π,2))＝－eq\f(2,π).【答案】－eq\f(2,π)5.物体的运动方程是s＝eq\r(t＋1)(s的单位：m；t的单位：s)，求物体在t＝1s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度.【解】物体在这段时间内的平均速度为eq\f(\r(1＋Δt＋1)－\r(1＋1),1＋Δt－1)＝eq\f(\r(2＋Δt)－\r(2)\r(2＋Δt)＋\r(2),Δt\r(2＋Δt)＋\r(2))＝eq\f(1,\r(2＋Δt)＋\r(2))，故物体在t＝1s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为eq\f(1,\r(2＋Δt)＋\r(2))m/s.我还有这些不足：(1)________________________________________