电力系统稳态分析第3章

第三章

电力系统稳态运行分析3．1简单电力系统正常运行分析3.1.1电力线路的电压损耗与功率损耗电力线路的电压损耗Z=R+jX最简单电路，取为参考相量电压降落的纵分量电压降落的横分量Ojd始端电压：电力线路的功率损耗3.1.1电力线路的电压损耗与功率损耗（续1）1S%1S¢%ZSD%2S¢%2S%1ySD%2ySD%Z2jB2jB3.1.1电力线路的电压损耗与功率损耗（续2）电压降落：始末端电压相量差电压降落是相量电压损耗：始末端电压数值差U1-U2，常以百分值表示要求线路通过最大负荷时不超过10%始末端电压偏移：实际电压与额定电压的数值差U1-UN，U2-UN常以百分值表示：电压调整：线路末端空载与负载时电压数值差U20-U2常以百分值表示：输电效率：末端输出功率与始端输入功率的比值输电效率总小于100%。无功没有类似指标。重要概念63.1.1电力线路的电压损耗与功率损耗（续3）

线路末端输出功率，但存在表示线路充电无功的对地电纳B/2，故阻抗支路末端流过容性无功功率△Qy2=BU22/2，相应的电流

Iy2＝BU/2，电流相位超前电压90度。套用公式，易知：从下图可见，末端电压高于始端电压。电压损耗(%)O结论：空载时，线路末端电压高于始端电压，电压损耗(%)与线路长度的平方成正比。无控制措施时，长线空载末端电压可能超过允许值。电力线路的空载运行特性7电力线路的负载运行特性

将线路末端电纳中的功率并入无功负荷或略去：Z=R+jXOdaQQ故形成直线QQ。结论：感性功率时，始端电压高于末端，相位滞后。3.1.1电力线路的电压损耗与功率损耗（续3）1）仅有无功负荷Q2容性无功时a故形成直线PP。结论：纯有功负荷时，始端电压总高于末端，相位超前。电力线路的负载运行特性（续）2)仅有有功负荷P2OdaPP9电力线路的负载运行特性（续2）3)同时具有有功负荷P2和无功负荷Q2只要负荷功率因数角j小于(90-a)或Q2/P2<X/R，则始端电压仍将高于并超前于末端电压，且这时的功率角d较Q2＝0时小。OdjPPSSQQj90-a3.1.2变压器中的功率损耗和电压损耗1）将线路计算公式套用于变压器的功率计算和电压计算：1S%2S%yTSD%TYZTSD%1S¢%3.1.2变压器中的功率损耗和电压损耗(续）2）将变压器参数代入功率和电压损耗计算公式：123.1.3辐射形网络的潮流计算利用已知的公式即可完成计算。

3种情况：已知末端功率和电压，计算网上潮流分布。已知始端功率和电压，计算网上潮流分布。已知末端功率和始端电压，计算网上的潮流。GT1T2

l4321Zl14ZT123ZT2Yl/2YT2YT3Zl14ZT123ZT2Y30Y20已知末端功率、电压3.1.3辐射形网络的分析计算（续1）已知始端功率、电压，同样计算。（功率损耗/电压损失符号不同）

已知末端功率、始端电压：

→迭代法求解3.1.3辐射形网络的分析计算（续2）15两端供电网潮流计算已知两电源端电压和系统负荷，求取潮流分布。先假设全网为额定电压UN，相角为零，得到负荷电流，并列写回路电压方程：G

l24321G

l3

l1Z2314Z1223Z34即：从而：同理：16推广至两电源、n+1段线路、n个负荷的情况：其中为循环功率，Zi为节点i

右侧线路阻抗的累加，Zi’

为节点i

左侧线路阻抗的累加。因为忽略了线路功率损耗，故有由计算结果可确定功率分点（两边线路功率都为流入节点）。在无功分点处将两端供电网解开成两个辐射形网络（因高压网的电压损耗主要由无功功率流过线路电抗引起，故一般无功分点处的电压低于有功分点和其余节点的电压）。应用辐射形网络潮流计算的方法进行计算，即可得最终潮流分布。两端供电网潮流计算（续1）17环形网络潮流计算——单电压级（续2）环形网络供电网潮流计算单电压级的环形网络可在任一节点处解环，化为两端供电网，且有和计算方程类似环形网：Z231Z1223Z31Z2311’Z1223Z13

如果环形网各段线路单位长度参数完全相等，则有18环形网络潮流计算——多电压级（续3）电磁环网计算闭式电网中含有变压器时构成多电压级，称为电磁环网。略去变压器和线路的导纳，把变压器阻抗归算到二次侧与线路阻抗合并。将网络在A点解开，并把电源电压归算到二次侧，可得两端供电网。易知K1、K2变比不等时，电压降落K1:1

l1BAK2:1

l2K1:1Z’T1BAK2:1Z’T2BAZ’T1A’Z’T2称环路电势。19环形网络潮流计算——多电压级（续4）环路电势的数值等于环路空载时归算阻抗一侧端口处的电压：环路电势引起循环功率：Z’T1BZ’T2K1:1Z’T1BAK2:1Z’T2如变压器用P型等值电路，则可用两端供电网的公式计算。碰到稍复杂的网络，可使用电力网络的化简方法，如：等值电源法、负荷移置法、消去节点法等。更复杂的要使用计算机进行求解。电网运行经济性指标：电网年电能损耗（）已知各个负荷的年有功和无功功率曲线时，理论上可准确计算年电能损耗：3.1.4电力网的电能损耗3.1.4电力网的电能损耗（续1）年最大负荷利用小时数

根据年负荷曲线（最大值），可求得全年所需电能：年负荷率（可衡量负荷曲线的平坦程度）223.1.4电力网的电能损耗（续2）1）计算法已知各个负荷的年有功和无功功率曲线时，理论上可准确计算年电能损耗：逐个计算线路或变压器的年电能损耗电网年电能损耗为全部线路和变压器电能损耗之和年电能损耗计算方法计算法、年负荷损耗率法、最大负荷损耗时间法2）

年负荷损耗率法电力线路的年电能损耗变压器的年电能损耗3.1.4电力网的电能损耗（续3）线路通过最大负荷时的功率损耗年负荷损耗率年负荷率经验数值K＝0.1~0.4（或

较小时取小的数值）变压器年接入运行小时数（缺省值8000h）变压器空载损耗3）

最大负荷损耗时间法电力线路的年电能损耗变压器的年电能损耗3.1.4电力网的电能损耗（续4）线路通过最大负荷时的功率损耗最大负荷损耗时间h（根据和负荷功率因素查表）3．2复杂电力系统潮流计算基于节点电压法的潮流计算3.2.1节点电压方程与节点导纳矩阵和阻抗矩阵

3.2.1节点电压方程与节点导纳矩阵和阻抗矩阵(续1）

节点导纳矩阵与节点电压方程

3.2.1节点电压方程与节点导纳矩阵和阻抗矩阵(续2）1）对角元Yii（自导纳）：对角元大小等于与该节点直接连接的所有支路的导纳的总和。节点导纳矩阵的形成2）非对角元Yji（互导纳）：非对角元等于直接相连在节点j、i

之间的支路导纳的负值。若节点i、j之间直接相连支路阻抗的倒数为，则非对角元若节点i、j之间无直接联系，则非对角元对称矩阵

3.2.1节点电压方程与节点导纳矩阵和阻抗矩阵(续3）节点注入电流规定流向网络为正，流出为负。参考节点为大地，故阶数等于网络节点数。n节点系统的节点导纳矩阵为n×n阶方阵

对称复数矩阵

高度稀疏的矩阵：一个节点平均与3~5个相邻节点有直接联系，故除对角元外，每行（列）只有3~5个非零元素。

节点导纳矩阵与节点电压方程的特点3.2.1节点电压方程与节点导纳矩阵和阻抗矩阵（续4）

节点导纳矩阵的修改原网络节点增加一接地支路

节点数不变，节点导纳矩阵Y阶数不变

只有自导纳发生变化：原网络节点i、j之间增加一条支路节点导纳矩阵Y阶数不变，相应对角元，非对角元改变原网络节点i，j之间去掉一条支路（相当于增加一条支路）节点导纳矩阵Y阶数不变，相应对角元，非对角元改变3.2.1节点电压方程与节点导纳矩阵和阻抗矩阵（续5）

将原网络节点i,j之间为的支路改为的支路：相当于先将支路切除（加上支路）后投入支路：

原网络节点i引出一条新支路，同时增加一个新节点j。

节点增加一个，Y增加一阶

原导纳矩阵Y中只有自导纳改变：

新增的第j行和第j列中的非零元素：新增的第j行的自导纳为：增加一台变压器或改变变压器变比时可参照上述方法修改Y

采用非标准变比变压器等值电路例：已有节点i,j之间无直接相连支路，现其间增设一变压器

3.2.1节点电压方程与节点导纳矩阵和阻抗矩阵（续6）－变压器实际变比－变压器两端电网额定电压之比ZT,Ym：通过变压器试验数据按变压器SN

、1侧UN计算求取

标么值：上述结果按照潮流计算选取的基准功率、电压（1侧电网的UN）计算☼改变变压器变比：去掉原变比变压器、增加新变比变压器3.2.1节点电压方程与节点导纳矩阵和阻抗矩阵（续7）节点导纳矩阵的逆矩阵称为节点阻抗矩阵3.2.2功率方程和节点分类功率方程电力系统中已知的往往是功率，需要用已知的功率来代替未知的电流：这是已知导纳矩阵和节点注入功率，求节点电压的方程。复数方程，实用中往往化成实数方程。节点分类

根据节点给定变量（已知变量）的不同，可分为三种类型的节点：1）

PQ节点：给定（已知）注入有功功率和无功功率负荷节点有功和无功功率给定的发电机母线2）PV节点：给定注入有功功率和节点电压的大小有无功储备的发电机母线

设调相机或SVC的变电所母线3）平衡节点（1个）：给定电压的大小和相位（）3.2.2功率方程和节点分类（续）3．3高斯－塞德尔法潮流计算3.3高斯－塞德尔法潮流计算

功率方程是一组关于电压的非线性代数方程式，不能用解析法直接求解，只能用数值方法求解。高斯法是一种简单的方法---迭代方法。功率方程：3.3高斯－塞德尔法潮流计算（续1）

高斯法简介高斯法的基本思想是用迭代计算求解k为迭代次数，即把第k次迭代结果代入等式右边，求取第k+1次结果，再代入右边，求取下次迭代的结果，直到所有节点电压的前一次迭代值与后一次迭代值向量差的模小于给定的允许误差ε，即：2)

利用求平衡节点注入功率。3）利用电路基本原理求取支路功率和支路功率损耗1）迭代线路潮流、损耗和平衡节点功率的计算线路潮流：yijyi0yj0平衡节点功率：线路损耗：3.3高斯－塞德尔法潮流计算（续2）若存在PV节点p，若PV节点p给定的节点电压（大小）为，假设已完成第k次迭代，接着做第k+1次迭代：

①

求出节点p的注入无功功率

②

然后再根据求出节点p电压后，修正，即大小保持不变，相角按迭代结果。

③

其余步骤同上

如果越限，即时，则用或代入求取后，不再进行修正，即PV节点转化为PQ节点3.3高斯－塞德尔法潮流计算（续3）高斯－塞德尔法高斯法在第k+1次迭代时，等式右边出现的都是节点电压第k次的迭代值事实上，计算第k+1次迭代的时，前i-1个节点电压的第k+1次迭代值已经求得利用此结果，对于上述的前i-1个节点电压直接利用第k+1次迭代结果，可以提高收敛速度。3.3高斯－塞德尔法潮流计算(续4）3．4牛顿－拉夫逊法潮流计算3.4.1牛顿－拉夫逊法简介

牛顿-拉夫逊法是解非线性方程的有效方法，它每一次迭代，将非线性问题化成线性问题求解，逐步逼近。非线性函数具有n个未知变量X、n阶非线性联立代数方程组F(X)：

3.4.1牛顿－拉夫逊法简介(续1）3.4.1牛顿－拉夫逊法简介（续2）矩阵形式表示：或：与单变量相似方法求解：3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流

节点注入电流：节点注入功率：按电压表示形式不同，有两种表示方法：一、极坐标形式3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流（续1）牛顿－拉夫逊法采用线性化逐步逼近计算潮流。设已进行了k次迭代：将方程在第k次近似解处用泰勒级数展开，3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流（续2）其中：n为节点总数，m为PV节点个数。矩阵阶数2（n-1）-m

功角偏差除平衡节点外，共有n-1个电压幅值偏差，要除去1个平衡节点、m个PV节点，为n-m-1个写成矩阵形式：n-1n-m-1也可表示为：雅可比矩阵元素计算3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流（续3）1）非对角线元素（）：雅可比元素是变量，与各节点电压有关。对第k+1次迭代计算，都是第k次迭代得到的值2）

对角线元素（）计算：3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流（续4）513.4.2牛顿-拉夫逊法潮流计算（续5）PQ节点：二、直角坐标标形式

n个节点的系统，除已知的平衡节点2个变量外，共2(n-1)个变量待求。除平衡节点外，每个节点以2个方程描述，故有2(n-1)个方程。可解。PV节点：潮流计算的修正方程（第k次迭代）：3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流（续6）按泰勒级数展开，取一次项（线性逼近）：

1）非对角线元素（）的计算：3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流（续7）雅可比矩阵元素计算

2）对角线元素（）的计算：3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流（续8）算出、、及雅可比矩阵各元素，即求解修正方程：3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流（续9）根据求得的修正量，进行解的修正：牛顿-拉夫逊法潮流计算迭代流程：3.4.2牛顿－拉夫逊法计算潮流（续10）

雅可比矩阵的特性非奇异方阵节点电压以极坐标形式表示时，矩阵为2(n-1)-m阶数量少，但存在三角函数运算节点电压以直角坐标形式表示时，矩阵为2(n-1)阶数量多，但不存在三角函数运算，速度稍快一些矩阵元素与节点电压有关，所以每次迭代都要重新计算高度稀疏矩阵具有结构对称性，但数值不对称计算中PV节点无功越限时，PV节点要转化为PQ节点。3.4.2牛顿－拉夫逊法潮流计算（续11）稀疏矩阵表示法节点导纳矩阵、雅可比矩阵是一个高度稀疏的矩阵，若用二维数组存放时，0元素会占用大量内存，同时会出现对0元素进行了大量不必要的计算。因此需应用稀疏矩阵技巧高斯消去法对稀疏矩阵进行前代计算时，消元后的上三角元素中的非零元素个数可能会增加。增加的非零元素称作注入元。出现注入元的可能性和数目与矩阵中原始非零元素的位置有关3.4.3牛顿－拉夫逊法计算潮流的几个问题593.4.3牛顿－拉夫逊法计算潮流的几个问题（续1）高斯消去法求解思路（常用按行消去，逐行规格化）节点优化编号的思路节点导纳矩阵（或牛拉法的雅可比矩阵）非对角元素aij对应于系统中节点i和节点j之间直接相连的支路若改变电网节点编号，对应的节点导纳矩阵或雅可比矩阵的行、列号将改变，非零元素在矩阵中的相对位置相应发生变化，则出现非零注入元的可能性和数目也将发生变化3.4.3牛顿－拉夫逊法计算潮流的几个问题（续2）序号网络节点编号方案导纳矩阵形式消元后的上三角阵1×××××××××××××××××××ΔΔΔ×ΔΔ×Δ×2××××××××××××××××××××××2354231415613.4.3牛顿－拉夫逊法计算潮流的几个问题（续3）准优化节点排序的方法－按静态最少出线支路数排序按节点所连支路数的多少排序（不含接地支路；节点间有多条并联支路时只算一条），连接支路数最少的节点排在前面（连接支路数相同的节点的编号顺序可颠倒）非零元素尽量安排在导纳矩阵的准对角线上或靠近对角线 特点：导纳矩阵形成前，通过对各节点连接支路数多少的分析，可一次定出节点编号，计算工作量较小准优化节点排序的方法－按动态最少出线支路数排序先对支路数最少的一个节点编号，接着将该节点从网络中消去修改未编号节点所连支路数，再回到上一步，直到全部编号 特点：与上述方法相比，考虑了消去过程中节点支路数的变化（或导纳矩阵非0元素的变化），因而注入元数目更少牛顿－拉夫逊法潮流计算的收敛性迭代次数与系统规模无关、每次迭代时间与节点数成正比平方收敛特性初值修正量的限制3.4.3牛顿－拉夫逊法计算潮流的几个问题（续4）功率误差迭代次数012345610-410-3633.4.3牛顿－拉夫逊法计算潮流的几个问题（续5）3．5P-Q分解法65

P-Q分解法潮流计算的修正方程

3.5P-Q分解法（续1）

P-Q分解法潮流计算派生于极座标牛顿-拉夫逊法潮流由P主要与δ

相关，Q与U相关，得（有功、无功解耦）：

一般线路dij较小，且GijBij，故cosdij1，GijsindijBij由于 故66DP和DQ计算方法同牛-拉法潮流B’和B’’阶数不同、结构不同，

前者涉及除平衡节点外的所有节点，后者只涉及PQ节点进一步简化，可忽略B’中与P和d