金融数学(第四章)第十讲定价模型

现代金融数学理论与模型浙江大学数学系李胜宏shli@2023/2/41第四章资本资产定价模型与套利定价理论本章前言第一节资本资产定价模型基本结论与推导第二节资本资产定价模型相关概念第三节

资本资产定价模型进一步的讨论第四节套利定价模型第五节CAPM与APT模型应用实例练习题2023/2/42

本章前言资本资产定价模型与套利定价模型是当代资本市场中具有非常重要地位的资产定价理论。资本资产定价理论从Markowitz资产组合理论出发，从市场角度对资产定价进行研究，并且得到了非常简洁易用、同时富有金融含义的资产组合定价公式。另一方面，套利定价理论从渐进无套利假设出发，利用无套利思想和相对定价方法，得到了多因子线性形式的定价公式。相比于资本资产定价模型，由于套利定价理论中不涉及到对市场组合有效性的检验，因此在实证中获得了更多的支持。2023/2/43

本章前言本章的结构如下：首先介绍资本资产定价模型的基本假设以及市场组合的概念，并基于上述假设给出资本资产定价模型的理论推导，随后将讨论模型产生出的一些常用概念和指标，例如Beta系数、Treynor比率等。然后，第三节将尝试放宽资本资产定价模型的部分基本假设。接下来将介绍套利定价模型。首先介绍单因子模型与多因子模型，然后讨论套利定价模型的基本假设并给出严格理论推导，并将套利定价模型与资本资产定价模型进行了全面的对比。作为资本资产定价模型和套利定价模型的应用实例，本章最后将介绍指数复制技术与Fama-French多因子模型。2023/2/44第一节资本资产定价模型基本结论与推导

作为第四章的开始，本节着重从理论角度讨论资本资产定价模型。首先讨论其基本假设以及与Markowitz资产组合理论的比较，随后介绍资本资产定价模型中最重要概念——市场组合，并且将其与Markowitz资产组合理论建立联系，最后将给出资本资产定价模型的理论证明。2023/2/45第一节资本资产定价模型基本结论与推导

4.1.1从Markowitz资产组合理论到资本资产定价模型第三章在Markowitz资产组合理论框架下，讨论了投资者对于证券投资组合的最优选择和构建问题，得到了经典的前沿边界，同时也给出了可行资产组合和前沿边界资产组合收益率之间的关系。特别地，在存在无风险资产的情形中，任何可行资产组合的超额期望收益率都等于一个前沿资产组合的超额期望收益率乘以相应的Beta系数。这样一来，任意可行资产组合的定价都可以利用前沿资产组合给出，这无疑大大简化了资产组合的定价问题。2023/2/46第一节资本资产定价模型基本结论与推导

但上述定价方法也有其一定的局限性。首先，由于不同投资者对各基础资产的收益率和方差的估计可能不同，因此上述方法得出的定价公式只是对单个投资者成立。同时，定价公式中的前沿资产组合选择有很大的任意性：一方面，并非所有前沿资产组合的信息在市场上都能得到；另一方面，选择不同的前沿资产组合便可能得到不同的定价公式，因此上述方法得到的定价公式缺少统一性。最后，也是Markowitz资产组合理论固有的局限性之一，就是模型中包含很多假设，并且其中不少假设都缺乏其合理性和实证支持。2023/2/47第一节资本资产定价模型基本结论与推导

为了解决上述问题，Markowitz的学生Sharpe、Lintner和Mossin在经典资产组合理论的基础上进一步地研究了市场均衡条件下资产收益和风险之间的关系，得到了著名的资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）。可以说，资本资产定价模型是现代金融学的核心内容，它具有简洁的形式和合理的金融意义，在理论和实际应用意义上均作出了重大的贡献，被推崇为体现了证券市场本质的经典经济模型，其中的一些概念时至今日仍在证券行业广泛使用。2023/2/48第一节资本资产定价模型基本结论与推导

CAPM相对于Markowitz资产组合理论最为关键的改进之一，是它从市场的角度来研究资产组合的定价。CAPM模型中引入了市场组合这一反映整个市场投资选择的概念，并根据市场组合是前沿组合这一推论，利用市场组合期望收益率及相应Beta系数给出市场中资产组合的定价。同时，在CAPM模型中得到的一些量，例如Beta系数、Sharpe指标等有着合理的经济解释。然而，CAPM模型也有着其局限性。其中最为关键的一点就是市场组合均方有效性检验的问题。研究表明，CAPM模型的检验等价于市场组合均方有效性的检验，而后者是不可行的。因此，CAPM缺乏实证证据支持。同时，在现实市场中，市场组合的可观测性也存在问题。此外，建立在Markowitz资产组合理论上的CAPM模型也同样有着假设不太合理的问题。2023/2/49第一节资本资产定价模型基本结论与推导

为了避开CAPM模型中市场组合有效性检验的问题，Ross（1976）提出了套利定价理论（ArbitragePricingTheory，APT）。从模型假设来看，套利定价理论采用了基于无套利假设的相对定价法，而非Markowitz资产组合理论以及CAPM模型中的均衡定价法，因此，APT模型放松了CAPM模型中一些必须的假设。从结论来看，APT是一种多因子线性定价模型，它在形式上与CAPM模型类似：利用一些“因子”的线性表示给出资产组合的定价。此时的“因子”不必再是市场组合期望收益率，因此APT模型不再需要对市场组合的有效性进行检验，从而在实证检验方面取得了较大的进展。2023/2/410第一节资本资产定价模型基本结论与推导

4.1.2资本资产定价模型的基本假设CAPM模型所得到的简洁的定价公式，离不开一系列严格的假设条件。由于CAPM模型建立在Markowitz资产组合理论基础上，其中一部分假设条件是Markowitz资产组合理论假设的继承；另一部分假设是CAPM模型所特有的假设，它们使CAPM模型在资产组合定价方面相对于Markowitz资产组合理论更上一个台阶。本节将给出并介绍这些基本假设。2023/2/411第一节资本资产定价模型基本结论与推导

假设1～4继承了3.2.3中Markowitz资产组合理论的假设，为了方便起见，此处重新叙述如下：假设1市场中有n种风险资产，它们的收益率分布对于每个交易个体已知（个体可以根据相关信息给出估计），并且它们的均值方差存在，均值不全相等，协方差矩阵非退化。假设2市场上资产的交易不存在摩擦，即不存在任何形式的交易成本，包括交易费用与市场流动性风险造成的交易成本。并且假设市场上允许对资产进行卖空，即允许资产投资权重为负数。另外，还假设资产无限可分，即可以买入或者卖出任意小份额的资产。市场是完全竞争的，单个个体的投资行为不会影响资产的市场价格。假设3市场交易个体按照均值-方差准则进行投资，即其期望效用函数完全或者近似地用资产收益率的均值方差表示。并且假设投资个体行为遵循二阶随机占优，即在期望收益率相同的情况下偏好风险小的资产（组合），在风险相同的情况下偏好期望收益率大的资产（组合）。假设4所有市场交易个体均有相同的单期投资期限。2023/2/412第一节资本资产定价模型基本结论与推导

假设5～6为经典CAPM模型所必须附加的假设。假设5市场中存在无风险资产，并且其市场买卖价格相等。假设6所有市场交易个体对市场中所有资产收益率分布的看法一致，即任一资产收益率的均值与协方差在所有个体看来都是相同的。2023/2/413第一节资本资产定价模型基本结论与推导

经典的CAPM模型将资产组合的期望收益率利用无风险资产收益率和市场组合收益率线性表示，而假设5恰好保证了无风险资产的存在性。当然，后面将会放松这一假设，在不存在无风险资产的情况下给出类似的结论——零Beta-资本资产定价模型。假设6确保所有个体的资产组合前沿边界和有效前沿边界均相同，也就是说，市场中存在唯一的前沿边界和有效前沿边界。这一假设在一定程度上将Markowitz资产组合理论对投资个体的组合选择特征刻画推广到宏观市场层面，使得CAPM模型得到了适用于整个市场而不仅仅是单个个体的结论。最后再来看一下假设3。投资特征满足假设3的个体一般被称为“Markowitz型投资者”。由于Markowitz资产组合理论模型考虑的最优问题是在期望收益率一定时使方差最小（或者方差一定时使期望收益率最大），因此Markowitz资产组合理论所给出的是对于Markowitz型投资者的组合投资决策刻画。在CAPM模型的基于Markowitz资产组合理论的推导中，假设3当然是必须的。但后面将会说明，假设3也可以放松：投资者可被假设为更为一般的“二基金分离性投资者”，同时，CAPM模型也可以在二基金分离的假设下给出。2023/2/414第一节资本资产定价模型基本结论与推导

4.1.3市场组合从本章开头的介绍可以知道，CAPM模型利用资产组合和与某个表现市场投资选择的“市场组合”之间的Beta系数来得到资产组合的期望收益率。因此，在正式讨论CAPM模型之间，本节将首先引入市场组合的概念，并得到市场组合的一些重要性质。2023/2/415第一节资本资产定价模型基本结论与推导

假设市场中共有n+1种资产

，其中

是风险资产，B为无风险资产。记

为市场中风险资产i的总投资价值在市场中风险资产的总投资价值中所占的比例，

。则市场组合（MarketPorfolio）定义为如下的投资组合m

：m

只包含风险资产，并且风险资产i的投资比例为

。在下文中，市场组合m

也用其收益率

得表示。

2023/2/416*[29]中给出了市场组合的另一种定义形式，那里假设市场中只有风险资产，并定义市场组合为这样一种投资组合，它的权重向量为市场中各风险资产投资量占市场总财富的比率组成的向量。不难看出，这种定义方式和本节中的定义方式本质相同。第一节资本资产定价模型基本结论与推导

假设市场中共有N

个投资个体，记

为个体j的初始财富，

为个体j风险资产投资额在初始财富中所占比例（假设大于0），

为个体j投资于资产i财富额占风险资产投资额的比例，

。假设市场中初始总财富为

，并且风险资产总投资额在初始总财富中所占比例为

，则下式成立：2023/2/417第一节资本资产定价模型基本结论与推导

这是因为等式两边均表示市场中风险资产i的总投资量。因此也就是说市场组合的权重是个体投资组合权重的凸组合，而该凸组合的权重即为每个个体风险资产投资额占市场风险资产投资总额的比例。2023/2/418第一节资本资产定价模型基本结论与推导

在3.3节对于存在无风险资产的前沿边界的讨论中，定理3.3.2表明，当无风险收益率

时，无风险前沿边界与风险前沿边界存在唯一的切点e，并且将该切点组合称为“市场组合”。下面的定理说明，在一定条件下，切点e便是此处定义的市场组合。引理4.1.1在假设1～6下，如果市场处于均衡状态，并且市场中所有风险资产都有严格正的供给量，则

2023/2/419第一节资本资产定价模型基本结论与推导

引理4.1.1的结果要求风险资产组成的最小方差组合的收益率A/C要比无风险资产高。直观来看，对于风险厌恶投资者来说，这个要求是合理的：最小方差风险资产组合的风险并不为零，既然承担了风险，其收益率应该要比无风险资产高。同时，该引理条件要求市场中所有风险资产都有严格正的供给量，这符合现实情况。而由于Markowitz资产组合理论和CAPM模型均在均衡市场框架中得到，因此该引理中市场均衡的条件也不过分。2023/2/420第一节资本资产定价模型基本结论与推导

引理4.1.1证明：首先，由于假设1～6成立，根据第三章的结论可知，市场上所有个体均会在同一条有效前沿边界上选择投资组合进行投资。如果

，根据定理3.3.2，所有个体的投资策略均为将所有财富投资于无风险资产

，同时持有多头的自融资组合

，且根据(3.3.4b)，

只由风险资产组成。如此，市场上风险资产的净需求量为0。然而条件中要求市场中所有风险资产都有严格正的供给量，因此市场中风险资产供大于求，这便与市场处于均衡状态的条件相矛盾。如果

，根据定理3.3.2，所有个体的投资策略均为卖空风险组合

，并买入无风险资产。由于条件要求市场中所有风险资产都有严格正的供给量，因此与上一情形相同，市场必然无法处于均衡状态，因此与条件相矛盾。综上，唯一可能的情况是

。□2023/2/421第一节资本资产定价模型基本结论与推导

2023/2/422第一节资本资产定价模型基本结论与推导

根据定理3.3.2，当

时，无风险前沿边界和风险前沿边界切点e存在，且处于有效前沿边界上。又根据假设6，市场中存在唯一无风险前沿边界和唯一风险前沿边界，因此切点e对应的切点组合

在市场中存在唯一。下面的定理便给出了切点组合

和市场组合的关系。定理4.1.2当

时，无风险前沿边界和风险前沿边界的切点e对应着市场组合。2023/2/423第一节资本资产定价模型基本结论与推导

证明：根据定理3.3.2，当

时，有效边沿边界上的投资策略均可表示为无风险资产

和切点组合

的仿射组合。记

为个体j投资于其切点组合的权重，因此个体投资于风险资产

的权重为

。记

为风险资产i在切点组合中所占权重。因此，个体j

投资于风险资产i的财富为

，市场中资产i总投资量为

，而市场中风险资产的总投资量为

。根据市场组合的定义，因此切点组合

即为市场组合

。上述论证中还附带得到了一个结论：市场组合一定为有效前沿组合。这个结论在后续推导中将起到重要作用。2023/2/424第一节资本资产定价模型基本结论与推导

4.1.4资本资产定价模型的理论推导在证明了市场组合是有效前沿边界组合后，CAPM模型定价公式的推导能够很方便地完成。定理3.3.3说，对于任意可行组合

和任意前沿组合

，其期望收益率有如下关系：由于市场组合

是前沿组合，用其代替

，便得到2023/2/425第一节资本资产定价模型基本结论与推导

或者等价地其中(4.1.3)便是CAPM模型的主要结论——CAPM定价公式，而

便是著名的Beta系数。2023/2/426第一节资本资产定价模型基本结论与推导

下面先对CAPM定价公式(4.1.3)进行初步的观察。首先，从形式上看，CAPM定价公式表明，

的超额期望收益率

表示为市场组合

的超额期望收益率

乘以一个常数

。如果市场组合可观察，它的期望收益率

和

的信息已知，为了确定任何可行资产

的期望收益率，唯一需要确定的便是

和市场组合

的协方差。还有一点值得注意的是，由于假设

，而市场组合处在有效前沿边界上，因此

。所以CAPM定价公式表明：资产组合q与市场组合之间的Beta系数越大，即资产组合q收益率与市场组合收益率相关性越大，其期望收益率也就越大。2023/2/427第一节资本资产定价模型基本结论与推导

(4.1.3)给出的是可行资产期望收益率与市场组合期望收益率之间的关系。事实上，可行资产的收益率

和市场组合收益率

之间也有类似的关系。定理4.1.3对于任何可行资产

，下式成立：其中特别地，若

是前沿资产，则且2023/2/428第一节资本资产定价模型基本结论与推导

证明：根据定理3.3.3，对于任意可行资产

，可做如下不相关的分解其中根据定理3.3.1，

是前沿资产组合，同时，前沿边界可以由任意两个前沿组合的仿射组合生成，不妨取这两个前沿组合为f

和

。因此2023/2/429第一节资本资产定价模型基本结论与推导

由于

与任意前沿边界资产的协方差均为0，故

。上式两边取期望，得到将(4.1.7)与(4.1.3)进行比较，可以知道此即(4.1.5)。注意到前沿边界可由

和

生成，(4.1.6)式类似可证。根据定理3.3.2，有效前沿边界上的投资策略均买入非负数量的市场组合，并且买入或者卖空无风险组合，因此2023/2/430第二节资本资产定价模型相关概念第一节中在Markowitz资产组合理论框架下得到了CAPM模型定价公式。可以看到，CAPM定价公式形式上非常简单，同时也具有合理的经济、金融解释。本节通过定义一些重要而常见的概念，从这个简单的定价公式中发掘更多的经济、金融意义。2023/2/431第二节资本资产定价模型相关概念4.2.1资本市场线与Sharpe比率回顾3.3节，存在无风险资产情形下的有效前沿边界在

平面上是一条从

点出发，斜率为

，经过点e的射线，其方程为这条射线便称为资本市场线（CapitalMarketLine，CML）2023/2/432第二节资本资产定价模型相关概念(4.2.1)左边的分式称为Sharpe比率（SharpeRatio），它被用来衡量资产组合的风险效益，也就是承担单位风险所能带来的超额收益。一个风险厌恶的投资者希望选择Sharpe比率更大的资产组合，因此资产组合的“优劣”性在一定程度上便可用Sharpe比率来衡量。不难看出，资本市场线上的任意资产组合的Sharpe比率等于常数

。因此，无风险有效前沿边界的“有效”性便体现在，其上的任何资产组合的Sharpe比达到最大值，其风险效益也越大；任何可行资产的Sharpe比率均不会大于有效前沿边界资产的Sharpe比率。2023/2/433第二节资本资产定价模型相关概念由于市场组合

位于资本市场线上，而资本市场线上的Sharpe比率为常数，因此对于任意位于资本市场线上的投资组合

，成立也即2023/2/434第二节资本资产定价模型相关概念其中(4.2.2)在形式上与CAPM定价公式(4.1.3)相似。事实上，由于

是有效前沿资产，根据(4.1.6)式，同时

，因此即(4.2.2)中的

就是Beta系数。但需要注意的是，此处的(4.2.2)只对前沿边界组合

成立，因此并不是真正意义上的CAPM公式。2023/2/435第二节资本资产定价模型相关概念4.2.2市场风险与Beta系数4.1.4节给出了Beta系数的数学定义，本节将进一步刻画Beta系数的性质与其在市场风险衡量中的实际意义。在(4.1.5)两边求方差，得到

这个等式表明，资产组合收益率的风险可以分解为两部分。第一部分正比于市场组合的风险

，它的存在与整个市场的风险相关，因此称为资产（组合）的系统性风险（SystematicRisk）；另一部分是2

，它只与资产组合自身相关，称为资产（组合）的非系统性风险（IdiosyncraticRisk）。2023/2/436第二节资本资产定价模型相关概念从Markowitz资产组合理论可以知道，若资产组合经过合理配置，其风险可能比单个基础资产的风险更小，这是因为通过组合，部分“反向”的风险得到对冲。下面利用(4.2.4)对这一对冲的过程进行进一步的研究。设1 为基础资产，它们通过权重

构成资产组合

。根据(4.1.5)，因此组合的风险为2023/2/437第二节资本资产定价模型相关概念注意到，即Beta系数关于单个下标有线性性。因此(4.2.5)变为由于

，不难看到，若用标准差来表示风险大小，组合的系统性风险其实是基础资产的系统风险的加权平均。2023/2/438第二节资本资产定价模型相关概念下面再来看一下非系统性风险。假设各基础资产的非系统性风险因素

互不相关并且一致有界，即则在特殊情形

下，2023/2/439第二节资本资产定价模型相关概念即当组合中基础资产数量n足够大时，组合的非系统性风险能够任意小，即组合的非系统性风险能通过增加组合成分数量来减小。在一般情形下，只要配置组合使其中基础资产足够“分散”，也即比例足够均匀使得则上述结论依然成立。因此，组合的非系统性风险其实是一种可分散风险（DiversifiableRisk）。与非系统性风险不同，系统性风险一般无法通过组合的分散化配置来消除。因此，系统性风险也称为不可分散风险（UndiversifiableRisk）。2023/2/440第二节资本资产定价模型相关概念通过上述讨论，(4.2.4)表明：组合的Beta系数衡量了系统性风险在资产组合风险中所占比例。在相同的资产组合风险之下，Beta系数越大，则资产组合的风险更多是由市场因素引起的；Beta系数越小，则资产组合的风险更多是由非系统性的个体因素造成的。另一方面，Beta值越大，说明资产组合的价格波动性相比于市场越大；Beta值越小，说明资产组合的价格波动性相比于市场越小。2023/2/441第二节资本资产定价模型相关概念4.2.3证券市场线与Treynor比率4.2.2节从风险角度考察了Beta系数的含义，而本节将从收益率角度来研究Beta系数的意义。对于任意资产组合

，由于Beta系数表示了资产组合的超额期望收益率与市场组合期望收益率之间的比例系数。注意到2023/2/442第二节资本资产定价模型相关概念故当

与

正相关时，Beta系数为正，

的期望收益率大于无风险收益率；反之，当

与

负相关时，Beta系数为负，

的期望收益率小于无风险收益率。这表明，资产组合要获得超过无风险收益率的收益率，它的收益率变化方向必须和整个市场宏观变化方向“相一致”；“逆市场而行”的资产组合无法获得高于无风险资产的期望收益率。2023/2/443第二节资本资产定价模型相关概念同时，4.2.2节的讨论表明，Beta系数衡量了系统性风险对资产组合风险的影响。则CAPM定价公式说明，由于组合承担了系统性风险，组合的收益率会比无风险收益率要高，其差额便是超额收益率

。也就是说，超额收益率在某种意义上是对组合所承担的系统性风险的风险补偿（RiskPremium）。当然从CAPM定价公式可以看到，组合的非系统性风险并无相应风险补偿。一种直观的理解是：资产（组合）的非系统性风险理论上是可以通过分散而基本消除的，因此并不会被市场所承认，也不存在由此而来的补偿。2023/2/444第二节资本资产定价模型相关概念由于

，组合Beta系数

越大，资产组合

的（超额）期望收益率就越大，风险补偿也就越大；Beta系数与风险补偿间存在正关系。将组合期望收益率和Beta系数的这种关系在

坐标上表示，便得到了如下的证券市场线（SecurityMarketLine，SML）。2023/2/445第二节资本资产定价模型相关概念根据前面的讨论，证券市场线有正的斜率在实际应用中，等式右端的量被称为Treynor比率（TreynorRatio），有时也称为收益-波动率比率（Reward-to-VolatilityRatio）。Treynor比率衡量了风险补偿与组合系统性风险的关系。Treynor比率越大，单位系统性风险带来的风险补偿越大。2023/2/446第二节资本资产定价模型相关概念Treynor比率和Sharpe比率都衡量了风险补偿与组合风险之间的关系，但是Treynor比率中只考虑了系统性风险，而Sharpe比率中还包括了非系统性风险。对于非系统性风险被完全分散的组合来说，两个比率是相同的。在实际应用中，Treynor比率和Sharpe比率均可为资产组合的评级提供标准，均为非常重要的指标。但Treynor比率只对完全分散的组合，或者没有非系统性风险的组合（例如国库券组合）有效，对与包含非系统性风险的组合，Treynor比率强调了其中系统风险因素，而会忽视其中的非系统风险因素。Sharpe比率和Treynor比率各有千秋：Sharpe比率的适用性更广，但如果需要着重评估系统性风险，Treynor比率更为合适。2023/2/447第二节资本资产定价模型相关概念4.2.4Alpha指标CAPM模型给出了资产组合的理论期望收益率，但实际市场中，资产组合的收益率常常偏离CAPM给出的理论期望收益率。该偏离程度可以用Jenson的Alpha指标（Jensen’sAlpha）进行衡量。Alpha指标定义为如果资产有正的a值，说明资产的实际收益率比经过风险调整的期望收益率还要高。因此，投资者们通常会寻找具有较高a值的组合进行投资。2023/2/448第二节资本资产定价模型相关概念然而，实际市场中具有正的Alpha指标的资产组合普遍存在吗？许多学者认为，现实市场的有效性足以保证正Alpha资产组合不会重复出现，因为投资者的大量投资会导致该资产组合的价格上升从而收益率下降。然而RussWermers对于共同基金市场的研究表明，由于投资者（基金经理）们的才能，投资组合往往有正的Alpha。当然，在扣除交易费用后，Alpha指标也常常会是负值。在现实应用（例如资产组合评估）中，Jensen的Alpha指标、Sharpe比率和Treynor比率往往结合在一起使用。Alpha指标的典型应用之一便是Alpha套利，它的主要思路为利用正a值组合与市场组合进行对冲，在部分消除市场风险的同时获取正的收益。2023/2/449第三节资本资产定价模型进一步的讨论第一节在一些假设和推导下，得到了经典的CAPM模型。模型具有简洁的结论，并且富有深刻的经济学含义。但不容忽视的一点是，CAPM模型是建立在一系列非常严格的模型假设上的，例如，假设3要求投资个体根据均值-方差准则进行投资决策；同时，第一节的推导中假设无风险资产存在。本节中将尝试放宽这两条假设。此外，本节最后还将对CAPM模型中的市场组合进行讨论，并且给出在实证中市场组合或其替代组合的寻找方法。2023/2/450第三节资本资产定价模型进一步的讨论4.3.1资本资产定价模型的二基金分离证明假设3对投资个体的效用函数的形式作出了假定，要求其（近似）存在资产的均值和方差表示，同时也假定投资者的决策特征服从均值-方差准则。然而，在实际中要得到个体效用函数的形式并非易事，而进一步要求其与资产收益率均值方差相关则更为困难。因此假设3事实上非常严格。一个随之而来的问题就是：能否将假设3替换为一个更为宽松的假设，而仍能完全或者基本得到经典CAPM模型的结论？回忆第二章中随机占优的概念，它有如下的思想：放弃对个体效用函数具体形式的假设，转而研究具有某些决策特征的个体在特定形式的随机计划子集上的偏好关系。受其启发，一个自然而然的想法是将假设3放松，只假设个体部分的决策特征（例如风险厌恶），同时利用随机占优方法来刻画具有这样决策特征的个体在资产中的偏好。本节便利用这条思路，在保持其他假设的同时，对假设3进行放松。2023/2/451第三节资本资产定价模型进一步的讨论回忆4.1节CAPM模型的推导中，有三个关键点。第一点为前沿边界的存在性，这可以由资产收益率协方差矩阵非退化的条件得到；第二点为前沿边界能够由两个前沿资产仿射组合生成，从而由第三章的定理3.3.3，任何可行组合与前沿组合和无风险组合的期望收益率之间满足关系(4.1.2)；第三点为市场组合处在前沿边界上。如果去掉假设3，则从第三章的结论不难看出，上述第一点和第二点仍然成立，但第三点便不再成立，因为投资者甚至可能不会偏好前沿边界组合。2023/2/452第三节资本资产定价模型进一步的讨论为了后面叙述方便，首先给出二基金分离的定义。如果市场中存在两个资产组合

和

，使得对于任何资产组合q，均存在实数

使得对于所有凹函数u

，则称资产收益率向量

具有二基金分离（Two-FundSeparation）性质。2023/2/453第三节资本资产定价模型进一步的讨论根据第二章二阶随机占优的定义，二基金分离也有如下等价表述：如果市场中存在两个资产组合

和

，使得对于任何资产组合q，均存在实数

满足由上述定义可知，分离基金

和

的期望收益率必不相等。如若不然，

，则根据第二章定理2.4.2，(4.3.2)蕴含着

2023/2/454第三节资本资产定价模型进一步的讨论也就是说，所有可行资产组合q的期望收益率均相等。这与假设1矛盾。直接利用上述定义来判断一组收益率向量是否具有二基金性质是有一定困难的。下面的定理给出了二基金分离性质的充分必要条件，简化了二基金分离性质的判断。在叙述定理前，先简要回顾一些基本结论。类似定理4.1.3的证明，可以得到对于任意可行资产组合

，成立其中e为切点组合，

。利用此条性质，便有下述定理成立：2023/2/455第三节资本资产定价模型进一步的讨论定理4.3.1资产收益率向量

满足二基金分离性质的充要条件为证明：可参见[29]。□此外，下面的定理4.3.2表明，分离基金一定是前沿边界资产组合。2023/2/456第三节资本资产定价模型进一步的讨论定理4.3.2若资产收益率向量具有二基金分离性质，则分离基金

和

是前沿资产组合。证明：假设不然，则不妨设

不是前沿资产组合，因此存在前沿资产组合

使得由于

和

是分离基金，对于可行资产

，存在实数

使得2023/2/457第三节资本资产定价模型进一步的讨论根据第二章定理2.4.2后的讨论，上式蕴含着由于

，由(4.3.6)和(4.3.4)知

。因此(4.3.7)变为

这与(4.3.5)矛盾。□2023/2/458第三节资本资产定价模型进一步的讨论在上述两个定理的基础上，根据本节开始的思想，现将假设3换为如下的假设：假设3’市场交易个体风险厌恶，同时资产收益率向量满足二基金分离性质。假设3’表明，市场中存在两个在二阶随机占优意义下“最优”的资产组合

和

。同时由于市场中交易个体均为风险厌恶，故从直观上看，这两个最优资产组合的仿射组合要“优于”市场中其他的资产组合。因此市场中的个体在面临资产选择问题时，最优的投资组合一定是

和

的仿射组合。由于

和

是前沿组合，因此个体一定会选择前沿资产进行投资。2023/2/459第三节资本资产定价模型进一步的讨论在一定的条件下，假设3’相比于原假设3确实更为宽松。首先，假设3蕴含着个体是风险厌恶的，同时下面的定理说明，在收益率分布的正态性假设下，资产收益率向量具有二基金分离性质。因此，假设3完全符合假设3’的条件。定理4.3.3在假设1、2和假设4-6下，若

均服从正态分布，则资产收益率向量满足二基金分离性质。2023/2/460第三节资本资产定价模型进一步的讨论证明：类似(4.3.3)式，对于所有

，成立

由于

均服从正态分布，作为它们的线性组合，

和

也是正态分布变量。又由于

，即

与

线性无关，因此

与

相互独立，故

利用定理4.3.1便可得证。□2023/2/461第三节资本资产定价模型进一步的讨论不难看出，定理4.3.3事实上还证明了在一定条件下分离基金的存在性。那么一个自然而然的问题是：如果两个分离基金存在，它们是唯一的吗？回忆资产组合理论中，“最优”的前沿边界可以由其上的两个资产组合仿射生成，而这两个资产组合不是唯一的。因此直觉表明，在二基金分离中的两个分离基金的选择同样不是唯一的。下面的定理证明了这个直觉。2023/2/462第三节资本资产定价模型进一步的讨论定理4.3.4若资产收益率向量满足二基金分离性质，那么任意两个前沿组合都可以作为分离基金。证明：任取前沿组合

和

，根据定理3.3.1，

和

可以仿射生成前沿边界，特别地，可以生成作为前沿组合的分离基金

和

，因此存在实数

和

使得2023/2/463第三节资本资产定价模型进一步的讨论根据定义，分离基金

和

满足对于任何资产组合

，均存在实数

使得对于所有凹函数u

，成立上式说明，前沿组合

和

满足对于任何资产组合q，均存在实数

使得对于所有凹函数u，2023/2/464第三节资本资产定价模型进一步的讨论因此

和

也可以作为两个分离基金。□根据上面的论述不难看到，当资产收益率向量满足二基金分离性质时，无风险资产和切点组合e

也可以作为两个分离基金，因此个体始终会选择它们进行投资。类似定理4.1.2的证明，不难得到，当

时，无风险前沿边界和风险前沿边界的切点e对应着市场组合。既然市场组合位于前沿边界上，利用4.1.4节中的证明，可以同样得到(4.1.3)式。也就是说，在将假设3替换为假设3’后，在二基金分离的框架下，CAPM定价公式仍然成立。这也便完成了本小节的目标。2023/2/465第三节资本资产定价模型进一步的讨论4.3.2不存在无风险资产的资本资产定价模型观察4.1节得到的经典CAPM定价公式(4.1.3)，其中包含了无风险利率

项。这说明，上述定价公式离不开假设5；若市场中不存在无风险资产，则上述定价公式便不再成立。为此，本部分将讨论在去除假设5后，经典的CAPM模型所需要进行的改变。2023/2/466第三节资本资产定价模型进一步的讨论首先回忆第三章中的结论。当市场中不存在无风险资产时，前沿边界不再是两条射线，而是在标准差-期望平面中的一支双曲线，这支双曲线的上半部分是有效前沿边界。根据第三章定理3.2.3，对于任意可行资产q，对于任意前沿资产p，它们的期望收益率有如下关系式：其中zc(p)是资产组合p的零协方差资产组合，2023/2/467第三节资本资产定价模型进一步的讨论此外，在假设1～假设4下，投资者只会选择在有效前沿边界上进行投资。通过类似4.1.3节的论证（在(4.1.1)中将

和各

均取1），不难得到，在不存在无风险资产的情形下，市场组合仍然是个体最优投资组合的凸组合。根据第三章定理3.2.1，有效前沿资产组合的凸组合仍然是有效前沿边界资产，因此市场组合m

也是有效前沿组合。进一步假设市场组合不是最小方差组合mvp，则由根据定理3.2.2可知，有效前沿组合存在零协方差组合，因此zc(m)存在。故将市场组合m

代入(4.3.8)式，便得到2023/2/468这条假设有其合理性。例如，当个体效用为二次效用并且资产收益率服从正态分布时，利用均衡理论可以证明，个体的最优投资组合落在除最小方差组合外的有效前沿边界上。关于具体证明，感兴趣的读者可以参见[29]。第三节资本资产定价模型进一步的讨论(4.3.9)是便是Black（1972）和Lintner（1969）发明的零-Beta资本资产定价模型，也被称为Black定价公式。2023/2/469第三节资本资产定价模型进一步的讨论4.3.3市场组合的有效性以及可替代性CAPM模型在出现的初期在实证方面得到了不少的支持，其中包括了Black，Jensen和Scholes（1972）以及Fama和MacBeth（1973）。但从上世纪80年代开始，各种针对CAPM模型的批评层出不穷。其中最为典型的是Banz（1981）发现的公司规模效应（sizeeffect）以及Fama和French（1992）的批评。因此，关于CAPM是否成立的争论一直持续着。Fama（1976）指出，对于CAPM模型的直接检验等价于对市场组合的均值-方差有效性的检验。然而，CAPM模型中的市场组合需要包含市场中所有个体的投资状况，是不可观测的。这使得对市场组合的有效性的检验无法进行。因此可以说，CAPM模型处于缺乏实证证据的支持的境地。2023/2/470第三节资本资产定价模型进一步的讨论另一方面，在实际应用中，CAPM模型定价公式(4.1.3)也需要市场组合收益率

的信息。如果市场组合不可观测，则上述定价公式便无法运用。为了解决此问题，一个直观的想法是：利用一个可以观察的、能大致反映市场信息的组合来替代市场组合进行实证分析。事实上，实证中经常使用道∙琼斯（DowJones）指数、上证综指等市场指数作为市场组合的替代组合，“粗略地”地应用CAPM模型。然而，这种替代方法是否合理？替代组合的有何选择标准或者选择方法？下面便围绕着这些问题进行讨论。2023/2/471第三节资本资产定价模型进一步的讨论首先，定理4.3.5表明，在一定条件下，将具有单位Beta系数的组合作为替代组合是不错的选择。定理4.3.5设组合

的收益率满足

，即

。而资产组合q的收益率与

的收益率之间有如下关系其中

。则资产q的Beta系数

。2023/2/472第三节资本资产定价模型进一步的讨论证明：定理4.3.5给出了替代组合的一个判断条件。那么，如何在市场中寻找市场组合的替代组合呢？下面的定理给出了一种方法。2023/2/473第三节资本资产定价模型进一步的讨论定理4.3.6假设有N个资产组合

，它们的收益率

的协方差矩阵

非退化，并且它们真实的Beta系数向量

已知。则存在该N

个资产组合的仿射组合

，使得

，其中

为资产组合i关于组合

的“Beta系数”。2023/2/474第三节资本资产定价模型进一步的讨论证明：取资产组合

，它关于资产组合

的权重向量为

。则不难看出，确实是资产

的仿射组合，且这便是所要证明的结论。□

2023/2/475第三节资本资产定价模型进一步的讨论定理4.3.6表明，只要部分基础资产的真实Beta系数已知，则可以利用这些基础资产构造一个替代组合

。由协方差的线性性易知，对于这些基础资产的仿射组合来说，利用替代组合

计算得到的Beta系数与真实的Beta系数相吻合，因此

在这些基础资产生成的“子市场”中也是不错的替代组合。2023/2/476第四节套利定价模型资本资产定价理论是现代金融经济学领域最经典的理论之一，它的一个最大的特点是将资产的期望收益率用无风险收益率和市场组合收益率进行线性表示，从而为资产定价提供了极大的便利。然而由于资本资产定价理论继承了Markowitz资产组合理论的严格假设，以及模型中关键量市场组合无法观察的特性，CAPM模型在实证方面存在很大的局限性。在CAPM模型的实际应用中，往往选择一些以可观察的资产组合（如股票指数）作为市场组合的替代组合。其实，从CAPM模型的推导过程中可以看出，将市场组合替换为任何非零方差的前沿资产组合，形如(4.1.3)的定价公式也应该成立。其实，这些方法的本质思路和CAPM是相同的，即将某资产组合的期望收益用无风险收益率和另一资产组合的期望收益率线性表示。2023/2/477第四节套利定价模型实证研究表明，使用了替代组合的CAPM模型的实证效果并不好，误差比较大。这可能有以下两方面的原因。一方面，影响到某资产组合收益率的因素除了另一个资产组合的收益率外还有很多，例如Banz提出的公司规模，又如一些宏观因素例如国内生产总值等，它们可能比资产收益率这个因素表现更为出色。由此产生的一种自然的想法是，能否类似CAPM模型，在经过适当的标准化后，研究这些因素与资产收益率之间的线性关系？这便是因子模型的思想。另一方面，CAPM用来线性表示的期望收益率（也就是因子）除了无风险收益率外只有一个，若增加因子数目，从理论上来说，定价公式的效果可能会更好。根据这个思想，多因子模型也就应运而生了。2023/2/478第四节套利定价模型基于多因子模型和一些基本假设，利用渐进无套利的思想，便能得到经典的套利定价模型（ArbitragePricingModel，APT）。套利定价模型由Ross（1976）首先得到，它刻画了资产的超额期望收益率与一些“因子”的风险溢价（RiskPremium）之间的近似线性关系。从形式上看，APT模型是CAPM模型的推广；然而，它们之间最为根本的不同点是，CAPM模型基于效用理论，而APT模型则基于渐近无套利思想得到.因此，APT模型能够避免CAPM模型中市场模型均方有效性检验的要求，这使得APT模型的应用相比与CAPM模型更有实证基础。此外，由于APT模型有着与CAPM模型类似的简洁的形式，这使得它在实证应用中十分简便。2023/2/479第四节套利定价模型4.4.1单因子模型根据定理4.1.3，将(4.1.5)稍作整理，得到其中无风险收益率

是常数，

为市场组合的超额收益率，

是期望为零、并且与市场组合收益率

不相关的随机项。上式表明，资产收益率受市场组合超额收益率影响，因此可以将后者看作资产收益率的一个影响因子。将上式推广，便得到任意可行资产组合

与其影响因子

间的如下线性关系：2023/2/480第四节套利定价模型其中

为常数，为随机变量。进一步假设上式满足如下三个条件：(1)不同可行资产组合i、j

对应的残差

不相关，即：(2)任意可行资产组合i对应的残差期望为零：(3)残差与因子不相关：这便是单因子模型。2023/2/481第四节套利定价模型由上述单因子模型可以推得资产组合收益率的协方差。事实上，其中最后一个等式用到了上述假设(1)-(3)，

为Kronecker记号：2023/2/482第四节套利定价模型当

时，(4.4.2)变为也就是说，任意两个不同的可行资产组合的协方差可以表示为三个部分的乘积：因子的方差

，以及两个资产组合

和

对因子

的敏感程度系数

和

。而当

时，(4.4.2)式变为2023/2/483第四节套利定价模型该式形如(4.2.4)式，并且有着类似的解释：任意可行资产组合的风险可以分解为系统性风险也即因子方差，以及个体风险也即随机项的方差。若将因子

选为市场组合的超额收益率

，类似4.2.2节可以得到，

其实就是资产关于市场组合的Beta系数。因此，在一般情形下，也将此处的

称为资产

关于因子

的Beta系数。2023/2/484第四节套利定价模型4.4.2多因子模型单因子模型在市场中所有可行资产组合与因子之间建立起了一种线性的关系，本质上体现了一种线性定价法则。当然，能够解释资产组合收益率变化的因子可能有多个，例如：市场中其他资产组合收益率、市场指数的增长率、宏观经济指标增长率，资产发行公司相关信息等。从数学角度来看，若将单因子模型(4.4.1)中的因子

数量增加，其拟合误差应该会减小。基于这种思想，多因子模型也便产生了。2023/2/485第四节套利定价模型假设影响资产收益率的因素有K个，分别记为

。假设资产组合i的收益率与这K

个因子之间存在如下线性关系：其中

和

为常数，

为随机变量。类似单因子模型，进一步作如下假设：2023/2/486第四节套利定价模型(1)不同可行资产组合对应的残差项

不相关，即(2)任意可行资产组合i对应的残差项的期望为零，即(3)残差项与因子不相关，即这便是多因子模型。当因子个数为K时，该模型也被称为K

因子模型。2023/2/487第四节套利定价模型多因子模型中的上述三条假设为多因子模型的相应推导提供了很大的便利，并且也有其一定的合理性。假设(1)要求残差项无关，这导致了不同资产组合间的相关性只能通过它们与因子的关系来体现（接下来的讨论便表明了这点）。残差项

对两个资产组合收益率间的相关性没有任何贡献，而只是对资产i本身的收益率产生影响。因此，残差项体现了资产组合的个体风险，而资产组合收益率和因子间的关系体现了资产组合的系统性风险。当然，在假设(1)的限制下，该因子模型的应用范围将受到一定的限制。2023/2/488第四节套利定价模型假设(2)要求残差项期望为零。这是一个自然的要求。在这个假设下，(4.4.3)右边的非残差项构成了资产组合收益率变量的一个无偏估计，也就是说，这个要求很容易满足，因为即使残差项的期望

不为零，将其合并入

并将

组作为新的残差项即可满足假设(2)。2023/2/489第四节套利定价模型假设(3)给出了残差项与因子间的不相关性。从线性回归角度来说，这条假设也是比较自然的，并没有给模型带来很大的限制。事实上，在将资产组合收益率

关于因子

进行线性回归时，要求做到残差项的方差最小，而此时残差项与因子的协方差必然为零，否则通过调整回归系数

减少该协方差必然会降低残差项的方差。2023/2/490第四节套利定价模型在多因子模型下，单因子模型的一些结论也类似成立。例如，可以通过计算直接得到不同可行资产收益率之间的协方差。事实上，2023/2/491第四节套利定价模型其中

，而当

时，(4.4.4)变为2023/2/492第四节套利定价模型也就是说，任意两个不同的可行资产组合的协方差可以表示为三个部分的乘积：因子的协方差矩阵

，以及两个资产组合

和

对因子

的敏感程度向量

和

。而当i=j时，(4.4.4)变为它有着明显的经济学解释：某资产收益率的风险由K个因子造成的系统性风险（因子协方差）加权之和与资产的个体风险（残差方差）组成。2023/2/493第四节套利定价模型之所以将残差项对应的不确定性称为个体风险，是因为该风险可以通过资产的高度多样化的组合而被消除。此处高度多样化有如下两个含义。第一，市场中的基础资产数量n

充分大；第二，资产组合投资于每种基础资产i的权重

一致充分小（例如，

）。事实上，记基础资产收益率向量为

，投资组合p的权重向量为

，因此

。而收益率方差2023/2/494第四节套利定价模型其中

。结合(4.4.4)，(4.4.5)可化为2023/2/495第四节套利定价模型其中假设

，则个体风险2023/2/496第四节套利定价模型当

时，由于资产组合投资于每种基础资产i的权重

一致充分小，即

，因此上式右端趋向于零。所以，当基础资产数量足够大时，高度多样化资产组合的个体风险可以小到忽略不计，资产组合的风险全部由系统性风险所体现，即

2023/2/497第四节套利定价模型最后讨论多因子模型(4.4.3)中的系数

与资产组合i关于因子

的Beta系数之间的关系。事实上，2023/2/498第四节套利定价模型因此可以从上述线性方程组中求解得到。特别地，若进一步假设各因子之间也是不相关的，则上式可以化简为

从而此时，因子模型中的回归系数

即为资产组合i关于因子

的Beta系数。

2023/2/499第四节套利定价模型4.4.3套利定价模型的基本假设本节开始套利定价模型的具体介绍。正如本章开头所介绍，APT模型刻画了资产的超额期望收益率与一些“因子”的风险溢价（RiskPremium）之间的近似线性关系。简单地说，套利定价模型表明，当市场中的资产数量足够多时，下面的等式近似成立其中

为常数，也被称为因子载荷（FactorLoading），l

为第

个因子lf%的风险溢价，即

2023/2/4100第四节套利定价模型如同CAPM模型，APT模型的成立也离不开一系列的基本假设。然而，从下面的论述不难看出，相比与CAPM模型，APT模型的假设更为宽松，更符合市场实际情况。假设1市场上资产的交易不存在摩擦，即不存在任何形式的交易成本，包括交易费用与市场流动性风险造成的交易成本。并且假设市场上允许对资产进行卖空，即允许资产投资权重为负数。另外，还假设资产无限可分，即可以买入或者卖出任意小份额的资产。市场是完全竞争的，单个个体的投资行为不会影响资产的市场价格。2023/2/4101第四节套利定价模型假设2市场是无套利的。市场中存在足够多的套利者，一旦市场中出现套利机会，他们会构造尽可能多的套利组合进行套利，从而消除套利机会。假设3市场中存在无风险资产，并且其市场买卖价格相等。假设4所有个体对市场中资产收益率有着相同的预期，任何资产的收益率满足K因子模型。假设5市场中资产的数量足够多；特别地，资产数量大于因子的数目。2023/2/4102第四节套利定价模型假设1和假设3延续了CAPM模型的假设，它为APT模型的建立以及推导提供了方便。假设2是关于市场的无套利假设，它的引入可以说是APT模型与前面的Markowitz资产组合理论和CAPM模型的一个最本质的区别。Markowitz资产组合理论和CAPM模型是基于个体效用的理论，它们通过研究并假设个体效用函数或者偏好特征，对市场中的资产进行绝对定价。因此，这两个模型的假设中包含了对个体偏好的假设，例如4.1.2节中的假设3。而APT模型是无套利模型，通过假设市场中不存在套利机会，它得到了所需定价的资产与市场中其它资产价格间必须存在的关系，从而对资产进行相对定价。因此，相比于CAPM模型的假设，APT模型的无套利假设占据了与CAPM模型关于个体偏好的假设同等的地位。2023/2/4103第四节套利定价模型根据4.4.2节的内容，假设4可以用如下的方式更准确地进行表述：任何资产组合i的收益率

与K个因子

之间存在如下线性关系：其中

和

为常数，

为随机变量。并且假设4是APT模型的核心假设。它的存在确保了APT模型近似线性定价公式的成立。假设5的提出是APT模型估计式成立的理论基础，同时避免推导过程中出现退化的情况。2023/2/4104第四节套利定价模型4.4.4套利定价模型的理论推导本节将给出APT模型的理论推导。在市场中构造一个子市场序列

，它满足：(1)单调递增性：(2)在

中，有n个风险资产和一个无风险资产。结合假设4，子市场

中的风险资产收益率满足如下模型：2023/2/4105第四节套利定价模型其中此外进一步假设其中s是一个正常数。这个假设要求对于子市场中的所有资产，K因子模型的残差可以被控制，从而做到一致的小。此外，为了推导的方便，本节中假设K个因子均为资产收益率。2023/2/4106第四节套利定价模型首先考虑一个简单的情形：假设K因子模型没有误差。那么如下结论成立：定理4.4.1假设(4.4.6)中残差项 ,则定理4.4.1表明，如果K因子模型对资产收益率给出了精确的估计，那么资产收益率的APT线性定价公式将严格成立。2023/2/4107第四节套利定价模型证明：结合定理假设和(4.4.6)知，

根据上式和(4.4.8)，只需证明

而该式可利用反证法用经典的无套利方法证明。假设(4.4.10)不成立，则存在

，使得2023/2/4108第四节套利定价模型或者

成立。构造资产组合

，它由无风险资产与K

个因子资产组成，其中投资于无风险资产的权重为

，而投资于因子l的权重为

。因此，资产组合

的收益率为2023/2/4109第四节套利定价模型当

时，，通过买入1元的资产组合

同时卖空1元的资产j构造的资产组合显然是一个自融资组合，并且利用(4.4.9)和(4.4.11)可得其收益为因此，这个自融资组合当前价值为零，而在将来有着严格正的收益，是一个套利组合，这与假设2所要求的市场无套利性相矛盾。2023/2/4110第四节套利定价模型当

时，同理可证明，通过卖空1元的资产组合

同时买入1元的资产j

构造的自融资资产组合也是一个套利组合，同样与假设2所要求的市场的无套利性相矛盾。综上，(4.4.10)成立。在(4.4.9)两边取期望，定理得证。2023/2/4111第四节套利定价模型定理4.4.1所得到的线性定价公式严格成立，这是一个非常漂亮的结论。但是不难发现，为了得到这样的结论，定理所需附加的条件也极为严格：多因子模型的残差项为零。从经济学意义上说，这样的假设要求风险资产的风险只来源于系统性风险，而不存在非系统性风险。这样的假设显然是不合理的。下面的定理放松了残差项为零的假设，尝试得到相似的结论。当然，此时的结论也相应地变弱：线性定价公式只是对大部分资产近似地成立。2023/2/4112第四节套利定价模型由于下面的推导过程以及结论是基于极限意义得到的，假设2中的无套利概念需要进行相应的推广。极限意义下的套利机会是指这样一个自融资套利组合序列，它们的期望收益率有严格大于零的下界，同时方差收敛于0。严格地说，套利组合序列

满足2023/2/4113第四节套利定价模型从直观意义上来看，假设市场中存在足够多的资产，如果市场中存在极限意义下的套利机会，则存在一个资产组合，它的构建成本为0，而期望收益率严格大于0，并且风险小到可以被忽略。对于套利者来说，这样的资产组合几乎是免费的午餐。如果套利者构造尽可能多的这样的组合进行套利，市场上不应该存在极限意义下的套利机会。因此，在下面的论述中，我们在4.4.3节假设的基础上，引入渐进无套利假设：2023/2/4114第四节套利定价模型假设2’（渐近无套利假设）市场中不存在极限意义下的套利机会。下面开始近似线性定价公式的证明。首先需要证明如下引理，它弱于(4.4.10)，但为近似线性定价公式的成立提供了必要条件。引理4.4.2对于任意实数

，存在正整数

，使得对于任意子市场

，除了至多

个资产外，其余资产i均满足2023/2/4115第四节套利定价模型证明：对于任意

，记

为

中不满足(4.4.12)的资产的数量。则由于

的单调性，

关于n单调递增。定理结论等价于存在

使得

假设结论不成立，则存在

，使得2023/2/4116第四节套利定价模型不失一般性地，假设

中不满足(4.4.12)的资产下标集合为

对于每个经济体

中的资产

，构造资产组合

，它由无风险资产与K个因子资产组成，其中投资于无风险资产的权重为

，而投资于因子l的权重为

。然后构造如下自融资组合

：2023/2/4117第四节套利定价模型则通过直接的计算可知，自融资组合

的收益额为2023/2/4118第四节套利定价模型其中

为符号函数。接着，对于

，取资产组合2023/2/4119第四节套利定价模型即

为

个自融资资产组合

的权重为

的等权重凸组合。因此

也是自融资组合，同时其期望收益率为并且根据(4.4.7)，其方差为2023/2/4120第四节套利定价模型由于(4.4.13)，上式可以推出因此，自融资组合序列

是极限意义下的套利组合，这与渐近无套利假设（假设2’）矛盾。因此引理得证。2023/2/4121第四节套利定价模型引理4.4.2有下面的直观理解。在残差项不为零的情形下，(4.4.10)不再严格成立，而往往只能做到近似成立，即然而，对这个近似式的精度可以做出要求。不管精度要求多高（也即不管

多小），除了有限个（

个）资产外，(4.4.16)对于市场中其余资产均成立。2023/2/4122第四节套利定价模型因此，当市场中资产数量足够多（远远大于

时），近似式(4.4.16)对于市场中绝大部分资产都是成立的。将(4.4.16)代入(4.4.6)并取期望，可以得到如下的套利定价模型：定理4.4.3（套利定价模型）在4.4.3节的假设下，对于资产

，下式近似成立：2023/2/4123第四节套利定价模型4.4.5套利定价模型与资本资产定价模型的区别与联系在现代金融经济学领域中，CAPM和APT是两个具有深远影响的资产定价理论。它们有着相似的形式，但同时也有着很多不同之处。CAPM和APT模型最大的一个相似之处，在于它们都将资产的期望收益率与一些影响因子进行关联，从市场上可以得到影响因子已知数据，进而对资产进行定价。从形式上看，它们都是将资产的超额期望收益率表示为一个或者多个因子的线性求和形式。特别地，如果APT模型中只有一个因子，并且该因子就是市场组合的超额收益率，那么不难看出，这样的APT模型在形式上是与CAPM一致的。从根本上说，CAPM模型与APT模型都体现了线性定价的思想。2023/2/4124第四节套利定价模型当然，除了形式上的相似性之外，CAPM模型与APT模型有着很多的不同之处。首先，CAPM模型和APT模型的一个最为根本的不同点在于它们的定价基本框架不同。CAPM模型是均衡定价模型，它从投资个体的效用出发，着眼于个体效用最大化，从而研究市场均衡时的定价。因此，这种定价方式也被称为“绝对定价”。另一方面，APT模型是无套利定价模型。它基于市场中不存在（极限意义下的）套利机会的假设，指出在此假设下，不同资产价格间应当存在一定的关系。因此，资产的价格可以由其他一些较为基础的资产的已知价格所表示，从而达到定价的目的。因此，这种定价方式也被称为“相对定价”。2023/2/4125第四节套利定价模型由于定价框架不同，CAPM与APT的模型假设自然也有不同之处。其中最突出的区别便是CAP