概率论与数理统计课件D随机事件及其概率

独立事件的概念独立试验序列n重贝努里试验概率模型互不相容（互斥）与相互独立的关系，在互斥和相互独立条件下，加法法则与乘法法则的表现形式。随机事件及其概率Ⅴ1如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响,即P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),则称事件A与事件B相互独立,简称事件A与B独立.事件的独立性:2可以证明:(1)事件A与事件B独立的充要条件是:P(AB)=P(A)P(B)(2)若事件A与B独立,则事件A与B,A与B,A与B也相互独立.事件的独立性:3推广:如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响,则称A1,A2,…,An相互独立.当然,若A1,A2,…,An相互独立,则有

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)事件的独立性:4特别提醒:(1)如果是要求多个相互独立的事件的并的概率,则应当利用狄.摩根定理将事件的并转换为事件的交,也就是考虑事件的逆的概率.即5特别提醒:(2)但是,经常有的难题要求求某些独立事件的交了再并的概率,这时候不得不套用广义加法法则,尤其常用的是三个事件的并的加法法则P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)6例如,常见的求AB+CD+EF的概率,则P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-

P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF)如果A,B,C,D,E,F相互之间独立,则上式中的各个交事件的概率再变成各概率之积.特别提醒:7甲,乙,丙3部机床独立工作,由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9,0.8及0.85.求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率.例18例19第二个问题也可以用对立事件来做,机床因无人照管而停工的对立事件是，最多有一台机床需要照管，因此其概率为：例110若例1中的3部机床性能相同,即设

P(A)=P(B)=P(C)=0.8

求:

例2(1)这段时间内恰有一部机床需人照管的概率.

(2)这段时间内恰有两部机床需人照管的概率.

11例2解答:12如图所示,开关电路中开关a,b,c,d开或关的概率都是0.5,且各开关是否关闭相互独立.求灯亮的概率以及若已见灯亮,开关a与b同时关闭的概率abcd例313解:令事件A,B,C,D分别表示开关a,b,c,d关闭,E表示灯亮,则E=AB+C+Dabcd例314P(E)=P(AB+C+D)

=P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD)

-P(CD)+P(ABCD)

例3=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C)

-P(A)P(B)P(D)-(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)

=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54=0.8125P(AB|E)=P(ABE)/P(E)=0.25/0.815=0.3077

15独立试验序列概型在概率论中,我们称在同样条件下重复进行试验的数学模型为独立试验序列概型.进行n次试验,若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它各次试验结果发生情况的影响,则称这n次试验是相互独立的.16贝努里试验:如果在每次试验中某事件A或者发生,或者不发生,且每次试验的结果与其它各次试验结果无关,即在每次试验中事件A发生的概率都是p(0<p<1),这样的试验我们称为贝努里试验.如果重复进行n次,则称为n重贝努里试验.17贝努里定理:如果事件A在每次试验中发生的概率都是p(0<p<1),则在n重贝努里试验事件A恰好发生k次的概率为:18一条自动生产线上产品的优质品率为0.6,现检查了10件,求至少有两件优质品的概率.

解:例419甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛,已知甲的命中率为0.9,乙的命中率为0.8,丙的命中率为0.7,现每人各投一次,求:

98年经济类考研题1(1)三人中至少有两人投进的概率;(2)三人中至多有两人投进的概率.

20解:设A="甲投进",B="乙投进",C="丙投进"则三人中至少两人投中的事件为AB+AC+BC三人中至多有两人投进的事件为98年经济类考研题12198年经济类考研题122设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()98年经济类考研题223解:由题设,A,B,C是三个相互独立的随机事件,那么其中任意两个事件或其对立事件的和,差,交与另一事件或者其对立事件是相互独立的,根据这一性质,只有B是不成立的.98年经济类考研题224

1994年经济类考研题251994年经济类考研题26这是因为,如果27设A,B,C三个事件两两独立,则A,B,C相互独立的充分必要条件是()

A.A与BC独立 B.AB与A+C独立

C.AB与AC独立 D.A+B与A+C独立2000年经济类考研题28解:选项B,C,D的两个事件中都出现事件A,因此都不可能独立.因此考察选项A,如A与BC独立,则P(ABC)=P(A)P(BC)但A,B,C两两独立,因此P(BC)=P(B)P(C)因此P(ABC)=P(A)P(B)P(C),即A,B,C相互独立